Vectores fila y columna

Matriz que consta de una sola fila o columna

En álgebra lineal , un vector columna con elementos ${\displaystyle m}$ es una matriz ^[1] que consta de una sola columna de entradas , por ejemplo, ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.}$$

De manera similar, un vector fila es una matriz para algunos ⁠ ⁠ , que consta de una sola fila de ⁠ ⁠ entradas, (A lo largo de este artículo, se utiliza negrita tanto para los vectores fila como para los vectores columna). ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}$$

La transpuesta (indicada por T ) de cualquier vector fila es un vector columna, y la transpuesta de cualquier vector columna es un vector fila: y $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.}$$

El conjunto de todos los vectores de fila con n entradas en un campo dado (como los números reales ) forma un espacio vectorial de n dimensiones ; de manera similar, el conjunto de todos los vectores de columna con m entradas forma un espacio vectorial de m dimensiones.

El espacio de vectores fila con n entradas puede considerarse como el espacio dual del espacio de vectores columna con n entradas, ya que cualquier funcional lineal en el espacio de vectores columna puede representarse como la multiplicación por la izquierda de un único vector fila.

Notación

Para simplificar la escritura de vectores de columna en línea con otro texto, a veces se escriben como vectores de fila con la operación de transposición aplicada a ellos.

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

o

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

Algunos autores también utilizan la convención de escribir tanto los vectores de columna como los vectores de fila como filas, pero separando los elementos de los vectores de fila con comas y los elementos de los vectores de columna con punto y coma (ver la notación alternativa 2 en la tabla siguiente). ^{[ cita requerida ]}

Operaciones

La multiplicación de matrices implica la acción de multiplicar cada vector de fila de una matriz por cada vector de columna de otra matriz.

El producto escalar de dos vectores columna a , b , considerados como elementos de un espacio de coordenadas, es igual al producto matricial de la transpuesta de a con b ,

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}$$

Por la simetría del producto escalar, el producto escalar de dos vectores columna a , b también es igual al producto matricial de la transpuesta de b con a ,

$${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}$$

El producto matricial de un vector columna y un vector fila da el producto externo de dos vectores a , b , un ejemplo del producto tensorial más general . El producto matricial de la representación del vector columna de a y la representación del vector fila de b da los componentes de su producto diádico,

$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}$$

que es la transpuesta del producto matricial de la representación del vector columna de b y la representación del vector fila de a ,

$${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$$

Transformaciones matriciales

Una matriz M de n × n puede representar una función lineal y actuar sobre los vectores fila y columna como la matriz de transformación de la función lineal . Para un vector fila v , el producto v M es otro vector fila p :

$${\displaystyle \mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.}$$

Otra matriz n × n Q puede actuar sobre p ,

$${\displaystyle \mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.}$$

Luego, se puede escribir t = p Q = v MQ , por lo que la transformación del producto matricial MQ asigna v directamente a t . Continuando con los vectores de fila, se pueden aplicar transformaciones matriciales que reconfiguran aún más el espacio n a la derecha de las salidas anteriores.

Cuando un vector columna se transforma en otro vector columna bajo una acción matricial n × n , la operación ocurre hacia la izquierda,

$${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },}$$

lo que lleva a la expresión algebraica QM v ^T para la salida compuesta a partir de la entrada v ^T. Las transformaciones matriciales se acumulan hacia la izquierda en este uso de un vector de columna para la transformación de entrada a matriz.

Véase también

• Covarianza y contravarianza de vectores
• Notación de índice
• Vector de unos
• Vector de entrada única
• Vector unitario estándar
• Vector unitario

Notas

1. Artin, Michael (1991). Álgebra . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. pág. 2. ISBN. 0-13-004763-5.

Referencias

• Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis de matrices y álgebra lineal aplicada, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 1 de marzo de 2001
• Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (novena edición), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7.ª ed.), Pearson Prentice Hall