Clase fundamental

En matemáticas , la clase fundamental es una clase de homología [ M ] asociada a una variedad compacta orientable conexa de dimensión n , que corresponde al generador del grupo de homología . La clase fundamental puede considerarse como la orientación de los símplices de dimensión superior de una triangulación adecuada de la variedad. ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$

Definición

Cerrado, orientable

Cuando M es una variedad cerrada , orientable y conexa de dimensión n , el grupo de homología superior es cíclico infinito : y una orientación es una elección de generador, una elección de isomorfismo . El generador se denomina clase fundamental . ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} \to H_{n}(M;\mathbf {Z} )}$

Si M está desconectado (pero aún orientable), una clase fundamental es la suma directa de las clases fundamentales para cada componente conectado (correspondiente a una orientación para cada componente).

En relación con la cohomología de De Rham, representa la integración sobre M ; es decir, para M, una variedad suave, una n -forma ω se puede emparejar con la clase fundamental como

${\displaystyle \langle \omega ,[M]\rangle =\int _{M}\omega \ ,}$

que es la integral de ω sobre M , y depende únicamente de la clase de cohomología de ω.

Clase Stiefel-Whitney

Si M no es orientable, , y por lo tanto no se puede definir una clase fundamental M que viva dentro de los enteros. Sin embargo, toda variedad cerrada es -orientable, y (para M conexa). Por lo tanto, toda variedad cerrada es -orientada (no solo orientable : no hay ambigüedad en la elección de la orientación), y tiene una clase -fundamental. ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )\ncong \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} _{2})=\mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$

Esta clase fundamental se utiliza para definir la clase Stiefel–Whitney . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$

Con límite

Si M es una variedad compacta orientable con borde, entonces el grupo de homología relativa superior es nuevamente cíclico infinito , y por lo tanto la noción de clase fundamental puede extenderse al caso de variedad con borde. ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbf {Z} }$

Dualidad de Poincaré

El teorema de dualidad de Poincaré relaciona los grupos de homología y cohomología de variedades cerradas orientadas n -dimensionales: si R es un anillo conmutativo y M es una variedad cerrada R -orientable n -dimensional con clase fundamental [M] , entonces para todo k , la función

${\displaystyle H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R)}$

dado por

${\displaystyle \alpha \mapsto [M]\frown \alpha }$

es un isomorfismo. ^[1]

Usando la noción de clase fundamental para variedades con borde, podemos extender la dualidad de Poincaré a ese caso también (ver dualidad de Lefschetz ). De hecho, el producto de límite con una clase fundamental da un resultado de dualidad más fuerte diciendo que tenemos isomorfismos , suponiendo que tenemos que son variedades -dimensionales con y . ^[1] ${\displaystyle H^{q}(M,A;R)\cong H_{n-q}(M,B;R)}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial A=\partial B=A\cap B}$ ${\displaystyle \partial M=A\cup B}$

Véase también la dualidad de Poincaré torcida

Aplicaciones

En la descomposición de Bruhat de la variedad bandera de un grupo de Lie , la clase fundamental corresponde a la celda de Schubert de dimensión superior , o equivalentemente, el elemento más largo de un grupo de Coxeter .

Véase también

• Elemento más largo de un grupo de Coxeter
• Dualidad de Poincaré

Referencias

1. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (1.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . pp. 241–254. ISBN 9780521795401.Señor 1867354  .

Fuentes

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (1.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 9780521795401.Señor 1867354  .

Enlaces externos

• Clase fundamental en el Atlas Manifold.
• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre la clase fundamental.