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celosía cuadrada

Alicatado cuadrado vertical . Los vértices de todos los cuadrados junto con sus centros forman una red cuadrada vertical. Para cada color, los centros de los cuadrados de ese color forman una red cuadrada diagonal que es en escala lineal √2 veces más grande que la red cuadrada vertical.

En matemáticas , la red cuadrada es un tipo de red en un espacio euclidiano bidimensional . Es la versión bidimensional de la red de números enteros , denotada como . [1] Es uno de los cinco tipos de redes bidimensionales clasificadas por sus grupos de simetría ; [2] su grupo de simetría en notación IUC como p4m , [3] notación Coxeter como [4,4] , [4] y notación orbifold como *442 . [5]

Dos orientaciones de una imagen de la red son, con diferencia, las más comunes. Convenientemente se les puede denominar celosía cuadrada vertical y celosía cuadrada diagonal; este último también se llama celosía cuadrada centrada . [6] Se diferencian por un ángulo de 45°. Esto está relacionado con el hecho de que una red cuadrada se puede dividir en dos subredes cuadradas, como es evidente en el color de un tablero de ajedrez .

Simetría

La categoría de simetría de la celosía cuadrada es el grupo de papel tapiz p4m . Un patrón con esta red de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que la red misma. Una red cuadrada vertical puede verse como una red cuadrada diagonal con un tamaño de malla que es √2 veces mayor, con los centros de los cuadrados agregados. En consecuencia, después de sumar los centros de los cuadrados de una red cuadrada vertical, se obtiene una red cuadrada diagonal con un tamaño de malla que es √2 veces más pequeño que el de la red original. Un patrón con simetría rotacional cuádruple tiene una red cuadrada de rotocentros cuádruples que es un factor √2 más fino y está orientado diagonalmente con respecto a la red de simetría traslacional .

Respecto a los ejes de reflexión existen tres posibilidades:

clases de cristal

Los nombres de las clases de celosía cuadrada , la notación de Schönflies , la notación de Hermann-Mauguin , la notación orbifold , la notación de Coxeter y los grupos de fondos de pantalla se enumeran en la siguiente tabla.

Ver también

Referencias

  1. ^ Conway, Juan ; Sloane, Neil JA (1999), Empaquetamientos, celosías y grupos de esferas, Springer, p. 106, ISBN 9780387985855.
  2. ^ Golubitsky, Martín ; Stewart, Ian (2003), La perspectiva de la simetría: del equilibrio al caos en el espacio fase y el espacio físico, Progreso en Matemáticas, vol. 200, Springer, pág. 129, ISBN 9783764321710.
  3. ^ Campo, Michael; Golubitsky, Martin (2009), Simetría en el caos: una búsqueda de patrones en matemáticas, arte y naturaleza (2ª ed.), SIAM, p. 47, ISBN 9780898717709.
  4. ^ Johnson, Norman W .; Weiss, Asia Ivić (1999), "Enteros cuadráticos y grupos de Coxeter", Revista Canadiense de Matemáticas , 51 (6): 1307–1336, doi : 10.4153/CJM-1999-060-6. Véase en particular la parte superior de la p. 1320.
  5. ^ Schattschneider, Doris ; Senechal, Marjorie (2004), "Tilings", en Goodman, Jacob E .; O'Rourke, Joseph (eds.), Manual de geometría discreta y computacional , Matemáticas discretas y sus aplicaciones (2ª ed.), CRC Press, págs. 53–72, ISBN 9781420035315. Véase en particular el cuadro de la pág. 62 que relaciona la notación IUC con la notación orbifold.
  6. ^ Johnston, Bernard L.; Richman, Fred (1997), Números y simetría: una introducción al álgebra, CRC Press, p. 159, ISBN 9780849303012.
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