mentira bialgebra

En matemáticas, una bialgebra de Lie es el caso teórico de Lie de una biálgebra : es un conjunto con una estructura de álgebra de Lie y una estructura de coalgebra de Lie que son compatibles.

Es una biálgebra donde la multiplicación es asimétrica y satisface una identidad dual de Jacobi , de modo que el espacio vectorial dual es un álgebra de Lie , mientras que la comultiplicación es un 1- cociclo , de modo que la multiplicación y la comultiplicación son compatibles. La condición de cociclo implica que, en la práctica, se estudian sólo clases de biálgebras que son cohomólogas a una biálgebra de Lie en un colímite.

También se denominan álgebras de Poisson-Hopf y son el álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie .

Las bialgebras de mentira ocurren naturalmente en el estudio de las ecuaciones de Yang-Baxter .

Definición

Un espacio vectorial es una biálgebra de Lie si es un álgebra de Lie, y existe la estructura del álgebra de Lie también en el espacio vectorial dual que es compatible. Más precisamente, la estructura del álgebra de Lie está dada por un corchete de Lie y la estructura del álgebra de Lie está dada por un corchete de Lie . Entonces el mapa dual a se llama coconmutador y la condición de compatibilidad es la siguiente relación de cociclo: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\ ,\ ]:{\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \delta ^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \delta ^{*}}$ ${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)}$

¿Dónde está el adjunto? Tenga en cuenta que esta definición es simétrica y también es una biálgebra de Lie, la biálgebra de Lie dual. ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=[X,Y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Ejemplo

Sea cualquier álgebra de Lie semisimple. Para especificar una estructura biálgebra de Lie, necesitamos especificar una estructura de álgebra de Lie compatible en el espacio vectorial dual. Elija una subálgebra de Cartan y una selección de raíces positivas. Sean las subálgebras de Borel opuestas correspondientes, de modo que y haya una proyección natural . Luego define un álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{\pm }\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}={\mathfrak {b}}_{-}\cap {\mathfrak {b}}_{+}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {b}}_{\pm }\to {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g'}}:=\{(X_{-},X_{+})\in {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (X_{-})+\pi (X_{+})=0\}}$

que es una subálgebra del producto y tiene la misma dimensión que . Ahora identifícate con dual of a través del emparejamiento. ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \langle (X_{-},X_{+}),Y\rangle :=K(X_{+}-X_{-},Y)}$

donde y es la forma de matar. Esto define una estructura bialgebra de Lie en , y es el ejemplo "estándar": subyace al grupo cuántico de Drinfeld-Jimbo. Tenga en cuenta que tiene solución, mientras que es semisimple. ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Relación con los grupos de Poisson-Lie

El álgebra de Lie de un grupo G de Poisson-Lie tiene una estructura natural de bialgebra de Lie. En resumen, la estructura del grupo de Lie da el corchete de Lie on como de costumbre, y la linealización de la estructura de Poisson en G da el corchete de Lie on (recordando que una estructura lineal de Poisson en un espacio vectorial es lo mismo que un corchete de Lie en el espacio vectorial dual espacio vectorial). Con más detalle, sea G un grupo de Poisson-Lie, siendo dos funciones suaves en la variedad del grupo. Sea el diferencial en el elemento identidad. Claramente, . La estructura de Poisson en el grupo induce entonces un paréntesis en , como ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g^{*}}}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in C^{\infty }(G)}$ ${\displaystyle \xi =(df)_{e}}$ ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle [\xi _{1},\xi _{2}]=(d\{f_{1},f_{2}\})_{e}\,}$

¿Dónde está el soporte de Poisson ? Dado el bivector de Poisson en la variedad, defina como la traducción derecha del bivector al elemento identidad en G. Entonces uno tiene eso ${\displaystyle \{,\}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ^{R}}$

${\displaystyle \eta ^{R}:G\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$

El coconmutador es entonces el mapa tangente:

${\displaystyle \delta =T_{e}\eta ^{R}\,}$

de modo que

${\displaystyle [\xi _{1},\xi _{2}]=\delta ^{*}(\xi _{1}\otimes \xi _{2})}$

es el dual del coconmutador.

Ver también

• mentira coalgebra
• Manin triple

Referencias

• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Actas del 8º Taller Internacional de Física Matemática, Instituto Arnold Sommerfeld, Claausthal, RFA, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN  3-540-53503-9 .
• Vyjayanthi Chari y Andrew Pressley, Una guía para grupos cuánticos , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 . 
• Beisert, N.; Derrame, F. (2009). "La matriz r clásica de AdS / CFT y su estructura bialgebra de Lie". Comunicaciones en Física Matemática . 285 (2): 537–565. arXiv : 0708.1762 . Código Bib : 2009CMaPh.285..537B. doi :10.1007/s00220-008-0578-2. S2CID  8946457.