Manin triple

En matemáticas, una terna de Manin consiste en un álgebra de Lie con una forma bilineal simétrica invariante no degenerada , junto con dos subálgebras isótropas y tal que es la suma directa de y como un espacio vectorial. Un concepto estrechamente relacionado es el doble de Drinfeld (clásico) , que es un álgebra de Lie de dimensión par que admite una descomposición de Manin. ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Los triples Manin fueron introducidos por Vladimir Drinfeld en 1987, quien los bautizó en honor a Yuri Manin . ^[1]

En 2001, Delorme  [fr] clasificó las triples de Manin donde es un álgebra de Lie reductiva compleja . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Triples de Manin y biálgebras de Lie

Existe una equivalencia de categorías entre las triples de Manin de dimensión finita y las biálgebras de Lie de dimensión finita.

Más precisamente, si es un triple de Manin de dimensión finita, entonces puede convertirse en una biálgebra de Lie dejando que la función coconmutadora sea el dual del corchete de Lie (usando el hecho de que la forma bilineal simétrica en se identifica con el dual de ). ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\to {\mathfrak {p}}\otimes {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\otimes {\mathfrak {q}}\to {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Por el contrario, si es una biálgebra de Lie, entonces se puede construir una triple de Manin dejando que sea el dual de y definiendo el conmutador de y para hacer que la forma bilineal en sea invariante. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {p}}\oplus {\mathfrak {p}}^{*},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}^{*})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {p}}\oplus {\mathfrak {q}}}$

Ejemplos

• Supóngase que es un álgebra de Lie semisimple compleja con forma bilineal simétrica invariante . Entonces hay una terna de Manin con , con el producto escalar en dado por . La subálgebra es el espacio de elementos diagonales , y la subálgebra es el espacio de elementos con en una subálgebra de Borel fija que contiene una subálgebra de Cartan , en la subálgebra de Borel opuesta, y donde y tienen el mismo componente en . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ((w,x),(y,z))=(w,y)-(x,z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle (x,x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Referencias

1. Drinfeld, VG (1987). Gleason, Andrew (ed.). "Grupos cuánticos" (PDF) . Actas del Congreso Internacional de Matemáticos de 1986. 1. Berkeley : American Mathematical Society : 798–820. ISBN. 978-0-8218-0110-9.Sr. 0934283  .
2. Delorme, Patrick (1 de diciembre de 2001). "Clasificación de los triples de Manin pour les algèbres de Lie réductions complexes: Avec un appendice de Guillaume Macey". Revista de Álgebra . 246 (1): 97-174. arXiv : matemáticas/0003123 . doi :10.1006/jabr.2001.8887. ISSN  0021-8693. SEÑOR  1872615.