Los sistemas de numeración de base mixta son sistemas de numeración posicional no estándar en los que la base numérica varía de una posición a otra. Esta representación numérica se aplica cuando una cantidad se expresa utilizando una secuencia de unidades que son múltiplos de la siguiente más pequeña, pero no por el mismo factor. Estas unidades son habituales, por ejemplo, para medir el tiempo; un tiempo de 32 semanas, 5 días, 7 horas, 45 minutos, 15 segundos y 500 milisegundos podría expresarse como una cantidad de minutos en notación de bases mixtas como:
... 32, 5, 07, 45; 15, 500... ∞, 7, 24, 60; 60, 1000
o como
En el formato tabular, los dígitos se escriben encima de su base y un punto y coma indica el punto de la base . En formato numérico, cada dígito tiene su base asociada adjunta como subíndice, y el punto de base está marcado por un punto o punto . La base de cada dígito es el número de unidades correspondientes que forman la siguiente unidad más grande. Como consecuencia, no existe una base (escrita como ∞) para el primer dígito (el más significativo), ya que aquí la "siguiente unidad más grande" no existe (y no se podría agregar una unidad mayor de "mes" o "año" a la secuencia de unidades, ya que no son múltiplos enteros de "semana").
El ejemplo más familiar de sistemas de base mixta es el cronometraje y los calendarios. Las raíces de tiempo occidentales incluyen, tanto cardinal como ordinalmente, años, décadas y siglos decimales , septenarios para los días de una semana, meses duodecimales en un año, bases 28 a 31 para los días dentro de un mes, así como base 52 para las semanas de un año. El tiempo se divide además en horas contadas en base 24 horas, minutos sexagesimales dentro de una hora y segundos dentro de un minuto, con fracciones decimales de estos últimos.
Un formulario estándar para fechas es2021-04-10 16:31:15, que sería un número de base mixta según esta definición, teniendo en cuenta que las cantidades de días varían tanto por mes como con años bisiestos. En cambio, un calendario propuesto utiliza una base de 13 meses, semanas cuaternarias y días septenarios.
Un sistema numérico de base mixta suele expresarse mejor con una tabla. Una tabla que describe lo que se puede entender como los 604800 segundos de una semana es la siguiente, comenzando la semana en la hora 0 del día 0 (medianoche del domingo):
En este sistema numérico, el número de base mixta 3 7 17 24 51 60 57 60 segundos se interpretaría como 17:51:57 el miércoles, y 0 7 0 24 02 60 24 60 sería 00:02:24 el domingo. Las notaciones ad hoc para sistemas numéricos de base mixta son algo común.
El calendario maya consta de varios ciclos superpuestos de diferentes raíces. Un tzolk'in de conteo corto se superpone a una base de 20 días nombrados con días numerados tridecimales . Un haab' consta de días vigesimales, meses octodecimales y años de base 52 formando una ronda . Además, una larga cuenta de días vigesimales, winal octodecimal, luego tun base 24 , k'atun , b'ak'tun , etc., rastrea las fechas históricas.
Un segundo ejemplo de un sistema de numeración de base mixta en uso actual es el diseño y uso de la moneda, donde se imprime o acuña un conjunto limitado de denominaciones con el objetivo de poder representar cualquier cantidad monetaria; la cantidad de dinero queda entonces representada por el número de monedas o billetes de cada denominación. Al decidir qué denominaciones crear (y, por tanto, qué raíces mezclar), se busca un compromiso entre un número mínimo de denominaciones diferentes y un número mínimo de monedas individuales necesarias para representar cantidades típicas. Así, por ejemplo, en el Reino Unido se imprimen billetes de £50, £20, £10 y £5, y se acuñan monedas de £2, £1, 50p, 20p, 10p, 5p, 2p y 1p. la serie 1-2-5 de valores preferidos .
Antes de la decimalización , las cantidades monetarias en el Reino Unido se describían en términos de libras, chelines y peniques, con 12 peniques por chelín y 20 chelines por libra, de modo que "£1 7s 6d", por ejemplo, correspondía a la base mixta. número 1 ∞ 7 20 6 12 .
Las unidades habituales de los Estados Unidos son generalmente sistemas de bases mixtas, con multiplicadores que varían de una unidad de tamaño a otra de la misma manera que lo hacen las unidades de tiempo.
La representación de bases mixtas también es relevante para las versiones de bases mixtas del algoritmo FFT de Cooley-Tukey , en el que los índices de los valores de entrada se expanden en una representación de bases mixtas, los índices de los valores de salida se expanden en una representación de bases mixtas correspondiente. representación de base con el orden de las bases y los dígitos invertidos, y cada subtransformada puede considerarse como una transformada de Fourier en un dígito para todos los valores de los dígitos restantes.
Los números de bases mixtas de la misma base se pueden manipular mediante una generalización de algoritmos aritméticos manuales. La conversión de valores de una base mixta a otra se logra fácilmente convirtiendo primero los valores posicionales de un sistema al otro y luego aplicando los dígitos de un sistema a estos.
APL y J incluyen operadores para convertir hacia y desde sistemas de base mixta.
Otra propuesta es el llamado sistema numérico factorial :
Por ejemplo, el número más grande que podría representarse con seis dígitos sería 543210, que equivale a 719 en decimal : ¡5×5! +4×4! + 3×3! +2×2! +1×1! Puede que no quede claro a primera vista, pero el sistema de numeración basado en factoriales es inequívoco y completo. Cada número se puede representar de una y sólo una manera porque la suma de los respectivos factoriales multiplicada por el índice es siempre el siguiente factorial menos uno:
¡Existe una correspondencia natural entre los números enteros 0, ..., n ! − 1 y permutaciones de n elementos en orden lexicográfico, que utiliza la representación factorial del número entero, seguida de una interpretación como código de Lehmer .
La ecuación anterior es un caso particular de la siguiente regla general para cualquier representación de base de base (ya sea estándar o mixta) que expresa el hecho de que cualquier representación de base de base (ya sea estándar o mixta) es inequívoca y completa. Cada número se puede representar de una y sólo una manera porque la suma de los pesos respectivos multiplicada por el índice es siempre el siguiente peso menos uno:
que se puede demostrar fácilmente mediante inducción matemática .
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(([i+1]+1)-1)\cdot ([i]+1)!=([n+1]+1)!- 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd6d0fab1e62c69dfdf5eeadd6b2accf9c2e56f)
