Vesica piscis

Forma que es la intersección de dos círculos con el mismo radio.

La vesica piscis es la intersección de dos discos congruentes, cada uno centrado en el perímetro del otro.

La vesica piscis es un tipo de lente , una forma matemática formada por la intersección de dos discos con el mismo radio, que se intersecan de tal manera que el centro de cada disco se encuentra en el perímetro del otro. ^[1] En latín, " vesica piscis " significa literalmente "vejiga de un pez", lo que refleja el parecido de la forma con las vejigas de aire duales unidas ( vejiga natatoria ) que se encuentran en la mayoría de los peces. ^[2] En italiano, el nombre de la forma es mandorla (" almendra "). ^[3] Una forma similar en tres dimensiones es el limón .

La vesica piscis en los Elementos de Euclides

Esta figura aparece en la primera proposición de los Elementos de Euclides , donde constituye el primer paso para construir un triángulo equilátero utilizando un compás y una regla . El triángulo tiene como vértices los dos centros del disco y uno de los dos ángulos agudos de la vesica piscis. ^[4]

Descripción matemática

Matemáticamente, la vesica piscis es un caso especial de lente , la forma formada por la intersección de dos discos.

La razón matemática entre la altura de la vesica piscis y el ancho de su centro es la raíz cuadrada de 3 , o 1,7320508... (ya que si se dibujan líneas rectas que conecten los centros de los dos círculos entre sí y con los dos puntos donde los círculos se cortan, dos triángulos equiláteros se unen a lo largo de un borde). Las razones 265:153 = 1,7320261... y 1351:780 = 1,7320513... son dos de una serie de aproximaciones a este valor, cada una con la propiedad de que no se puede obtener una mejor aproximación con números enteros más pequeños. Arquímedes de Siracusa , en su Medición de un círculo , utiliza estas razones como límites superior e inferior: ^[5]

${\displaystyle {\frac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\frac {265}{153}}\,.}$

Área

Las áreas en azul – un triángulo equilátero y un segmento – forman juntas un sector de una sexta parte del círculo (60°)

El área de la vesica piscis está formada por dos triángulos equiláteros y cuatro segmentos circulares iguales . En el dibujo, un triángulo y un segmento aparecen en azul.

Un triángulo y un segmento forman un sector de un sexto del círculo (60°). El área del sector es entonces: . ${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi r^{2}}$

Como el lado del triángulo equilátero tiene longitud r , su área es . ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}}$

El área del segmento es la diferencia entre esas dos áreas:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi r^{2}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}}$

Sumando las áreas de dos triángulos y cuatro segmentos, obtenemos el área de la vesica piscis:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(4\pi -3{\sqrt {3}}\right)r^{2}\approx 1.2284r^{2}}$

Aplicaciones

La moderna cubierta del Pozo del Cáliz con una representación artística de la vesica piscis

Los dos círculos de la vesica piscis, o tres círculos que forman en pares tres vesicae, se utilizan comúnmente en los diagramas de Venn . Los arcos de los mismos tres círculos también se pueden utilizar para formar el símbolo de la triqueta y el triángulo de Reuleaux . ^[3]

En el arte cristiano , algunas aureolas tienen la forma de una vesica piscis orientada verticalmente, y los sellos de las organizaciones eclesiásticas pueden estar encerrados dentro de una vesica piscis orientada verticalmente (en lugar del recinto circular más habitual). Además, el símbolo ichthys incorpora la forma de vesica piscis. La heráldica eclesiástica de la Iglesia católica apareció primero en sellos, casi todos con forma de vesica. ^{[6] [7]} La ​​vesica piscis se ha utilizado dentro de la masonería , sobre todo en las formas de los collares que llevan los oficiantes de los rituales masónicos. ^[8] También se consideró la forma adecuada para el recinto de los sellos de las logias masónicas. ^{[9] [10]}

La vesica piscis también se utiliza como un sistema de proporción en la arquitectura, en particular en la arquitectura gótica . El sistema fue ilustrado en la versión de 1521 de Cesare Cesariano del De architectura de Vitruvio , que él llamó "la regla de los arquitectos alemanes". La vesica piscis fue un leitmotiv del arquitecto Carlo Scarpa y se utiliza como un "dispositivo de visualización" en Tomba Brion ( Cementerio de Brion ) en San Vito d'Altivole , Italia. ^[11]

Varias otras obras de arte o diseños también han presentado esta forma:

• La cubierta del Pozo del Cáliz en Glastonbury (Reino Unido) muestra una versión estilizada del diseño de la vesica piscis.
• Varias esculturas matemáticas de Susan Latham utilizan una forma tridimensional obtenida a partir de la representación plana de dos círculos que forman la vesica piscis, deformada en una superficie curva con pliegues a lo largo de los arcos internos de la vesica y con los dos arcos externos uniéndose en una sola curva. Su forma puede analizarse utilizando las matemáticas de superficies desarrollables . ^[12]

Simbolismo

Se han asociado varios significados simbólicos a la vesica piscis:

• Cuando se dispone de forma que la lente quede horizontal, con sus dos círculos superpuestos colocados uno sobre el otro, simboliza la interfaz entre los mundos espiritual y físico, representados por los dos círculos. ^{[13] [14]} En esta disposición, también se asemeja al símbolo ichthys (pez) de Cristo , ^[14] y también se ha dicho que es un símbolo de la vida, de "la materialización del espíritu", de la mediación de Cristo entre el cielo y la tierra, y de la eucaristía . ^[15]
• Cuando se dispone de manera que la lente quede verticalmente y se utiliza para representar un halo o aureola, representa la gloria divina . ^[16]
• Cuando se coloca de forma que la lente quede verticalmente, también se ha dicho que es una representación de la vulva y, por lo tanto, un símbolo de feminidad y fertilidad. ^{[3] [17]}
• Se ha dicho que un diagrama del uso que hace Euclides de este diagrama para construir un triángulo equilátero, que aparece con la ubicación vertical de la lente en Finnegans Wake de James Joyce , es "emblemático del hombre racional", pero superpuesto a un triángulo vaginal que nuevamente simboliza la feminidad. ^[18]

Galería

• 
  Cristo en Majestad dentro de una aureola en forma de mandorla en un manuscrito iluminado medieval
• 
  Escudo de armas de Guam
• 
  Los dos centros isogónicos de un triángulo son las intersecciones de tres vesicae piscis cuyos vértices pareados son los vértices del triángulo.

Véase también

• Flor de la Vida , una figura basada en este principio
• Círculos de Villarceau , un par de círculos congruentes derivados de un toro que, sin embargo, no suelen estar centrados en el perímetro del otro.
• Limón (geometría) , una forma tridimensional similar

Referencias

1. Fletcher, Rachel (2004), "Reflexiones sobre la Vesica Piscis", Nexus Network Journal , 6 (2): 95–110, doi : 10.1007/s00004-004-0021-8.
2. Norwood, JW (1912), "Símbolos de peces y agua", The Open Court , 1912 (11): 662–672
3. Barrallo, Javier; González-Quintial, Francisco; Sánchez-Beitia, Santiago (mayo de 2015), "Introducción a la Vesica Piscis, el triángulo de Reuleaux y construcciones geométricas relacionadas en la arquitectura moderna", Nexus Network Journal , 17 (2): 671–684, doi : 10.1007/s00004-015-0253-9 , S2CID  122824246
4. Heath, Sir Thomas L. (1956), Los trece libros de los elementos de Euclides (2.ª ed.), Nueva York: Dover Publications, págs. 241, ISBN 0486600904
5. Heath, Thomas Little (1897), The Works of Archimedes, Cambridge University: Cambridge University Press, pp.  lxxvii , 50 , consultado el 30 de enero de 2010
6. Arthur Charles Fox-Davies "Heráldica eclesiástica"  , Enciclopedia católica , 1913
7. Reproducción escaneada del artículo, con ilustraciones Archivado el 24 de febrero de 2014 en Wayback Machine.
8. JSM Ward, Una interpretación de nuestros símbolos masónicos , 1924, págs. 34-35.
9. Albert G. Mackey, Enciclopedia de la masonería , ed. 1921, vol. 2, pág. 827.
10. Shawn Eyer, "La Vesica Piscis y la masonería". Recuperado el 18 de abril de 2009.
11. Cannata, Mark (2007), "Carlo Scarpa y Japón: La influencia del arte y la arquitectura japonesa en la obra de Carlo Scarpa" (PDF) , Universidad de Lincoln , archivado desde el original (PDF) el 2010-04-01 , consultado el 2010-02-14
12. Mundilova, Klara; Wills, Tony (2018), "Plegado de la Vesica Piscis", en Torrence, Eve ; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo; Fenyvesi, Kristóf (eds.), Actas de Bridges 2018: Matemáticas, Arte, Música, Arquitectura, Educación, Cultura , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, págs. 535–538, ISBN 978-1-938664-27-4
13. Fletcher, Rachel (octubre de 2004), "Reflexiones sobre la Vesica Piscis", Nexus Network Journal , 6 (2): 95–110, doi : 10.1007/s00004-004-0021-8 , S2CID  122154094
14. Houston, Madeleine Claire (2005), Co-respondencia: presencia y praxis en la tierra, la vida y el mito (tesis doctoral), Pacifica Graduate Institute, ProQuest  305360245
15. Williams, Kim; Ostwald, Michael J. (2015), Williams, Kim; Ostwald, Michael J (eds.), Arquitectura y matemáticas desde la antigüedad hasta el futuro , Springer International Publishing, págs. 68-69, 679, doi :10.1007/978-3-319-00137-1, ISBN 978-3-319-00136-4
16. Todorova, Rostislava (enero de 2013), "Visualizar lo divino: Mandorla como una visión de Dios en la iconografía bizantina", IKON , 6 : 287–296, doi :10.1484/j.ikon.5.102956
17. Pearson, E. Ann (2002), Revelar y ocultar: la persistencia de la iconografía vaginal en la imaginería medieval. La mandorla, la vesica piscis, la rosa, Sheela-na-gigs y la sirena de dos colas (tesis doctoral), Universidad de Ottawa, doi :10.20381/ruor-14701, hdl :10393/6133
18. Bloomer, Jennifer (febrero de 1988), "En la sala del museo", Assemblage (5): 58–65, doi :10.2307/3171026, JSTOR  3171026

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Vesica Piscis", MathWorld