Teorema de Prokhorov

Relaciona la rigidez de las medidas con la compacidad relativa en el espacio de las medidas de probabilidad.

En la teoría de la medida, el teorema de Prokhorov relaciona la rigidez de las medidas con la compacidad relativa (y, por tanto, la convergencia débil ) en el espacio de las medidas de probabilidad . Se le atribuye al matemático soviético Yuri Vasilyevich Prokhorov , quien consideró medidas de probabilidad en espacios métricos separables completos. El término "teorema de Prokhorov" también se aplica a generalizaciones posteriores a enunciados directos o inversos.

Declaración

Sea un espacio métrico separable . Denotemos la colección de todas las medidas de probabilidad definidas en (con su álgebra σ de Borel ). ${\displaystyle (S,\rho )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle S}$

Teorema.

1. Una colección de medidas de probabilidad es ajustada si y sólo si el cierre de es secuencialmente compacto en el espacio equipado con la topología de convergencia débil . ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$
2. El espacio con topología de convergencia débil es metrizable . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$
3. Supongamos que, además, es un espacio métrico completo (por lo que es un espacio polaco ). Existe una métrica completa equivalente a la topología de convergencia débil; además, es estanco si y sólo si el cierre de entrada es compacto. ${\displaystyle (S,\rho )}$ ${\displaystyle (S,\rho )}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),d_{0})}$

Corolarios

Para espacios euclidianos tenemos que:

• Si es una secuencia estrecha en (la colección de medidas de probabilidad en el espacio euclidiano -dimensional ), entonces existe una subsecuencia y una medida de probabilidad tal que converge débilmente a . ${\displaystyle (\mu _{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle \mu _{n_{k}}}$ ${\displaystyle \mu }$
• Si es una secuencia estrecha en la que cada subsecuencia débilmente convergente tiene el mismo límite , entonces la secuencia converge débilmente a . ${\displaystyle (\mu _{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle (\mu _{n})}$ ${\displaystyle \mu }$

Extensión

El teorema de Prokhorov se puede ampliar para considerar medidas complejas o medidas finitas con signo .

Teorema: Supongamos que es un espacio métrico separable completo y es una familia de medidas complejas de Borel en . Las siguientes declaraciones son equivalentes: ${\displaystyle (S,\rho )}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle \Pi }$es secuencialmente precompacto; es decir, cada secuencia tiene una subsecuencia débilmente convergente. ${\displaystyle \{\mu _{n}\}\subset \Pi }$
• ${\displaystyle \Pi }$está estrechamente y uniformemente delimitado en la norma de variación total .

Comentarios

Dado que el teorema de Prokhorov expresa la estanqueidad en términos de compacidad, el teorema de Arzelà-Ascoli se utiliza a menudo para sustituir la compacidad: en espacios funcionales, esto conduce a una caracterización de la estanqueidad en términos del módulo de continuidad o un análogo apropiado; ver estanqueidad en clásico. Espacio Wiener y estrechez en el espacio Skorokhod .

Hay varias extensiones profundas y no triviales del teorema de Prokhorov. Sin embargo, esos resultados no eclipsan la importancia y la relevancia para las aplicaciones del resultado original.

Ver también

• Métrica de Lévy-Prokhorov  : cierta métrica en el espacio de medidas finitasPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• teorema de sazonov
• Rigidez de las medidas  : concepto en la teoría de la medida
• Débil convergencia de medidas  – Concepto matemáticoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

• Billingsley, Patricio (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Bogachev, Vladimir (2006). Teoría de la medida Vol 1 y 2 . Saltador. ISBN 978-3-540-34513-8.
• Prokhorov, Yuri V. (1956). "Convergencia de procesos aleatorios y teoremas de límite en teoría de probabilidad". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 1 (2): 157–214. doi :10.1137/1101016.
• Dudley, Richard. M. (1989). Análisis real y probabilidad . Chapman y Hall. ISBN 0-412-05161-3.