En matemáticas, física y arte, los patrones muaré ( Reino Unido : / ˈ m w ɑː r eɪ / MWAH -ray , EE. UU .: / m w ɑː ˈ r eɪ / mwah- RAY , [1] francés: [mwaʁe] ) ofranjas de muaré[2]patrones de interferenciaa gran escalaque se pueden producir cuando unpatrón rayadocon espacios transparentes se superpone a otro patrón similar. Para que aparezca el patrón de interferencia de muaré, los dos patrones no deben ser completamente idénticos, sino más bien desplazados, rotados o tener un paso ligeramente diferente.
Los patrones de muaré aparecen en muchas situaciones. En la impresión, el patrón impreso de puntos puede interferir con la imagen. En la televisión y la fotografía digital, un patrón en un objeto que se fotografía puede interferir con la forma de los sensores de luz y generar artefactos no deseados. A veces también se crean deliberadamente; en los micrómetros , se utilizan para amplificar los efectos de movimientos muy pequeños.
En física, su manifestación es la interferencia de ondas como la que se observa en el experimento de la doble rendija y el fenómeno del batido en acústica .
El término proviene de moiré ( moiré en su forma adjetival francesa), un tipo de tejido , tradicionalmente hecho de seda pero ahora también de algodón o fibra sintética , con un aspecto ondulado o "regado". El moiré, o "tejido regado", se hace presionando dos capas del tejido cuando está húmedo. El espaciado similar pero imperfecto de los hilos crea un patrón característico que permanece después de que el tejido se seca.
En francés, el sustantivo moiré se utiliza desde el siglo XVII para designar "seda mojada". Se trata de un préstamo del inglés mohair (atestiguado en 1610). En el uso francés, el sustantivo dio origen al verbo moirer , "producir un tejido mojado mediante tejido o prensado", hacia el siglo XVIII. El adjetivo moiré, formado a partir de este verbo, se utiliza al menos desde 1823.
Los patrones de muaré suelen ser un artefacto de imágenes producidas por varias técnicas de imágenes digitales y gráficos por computadora , por ejemplo, al escanear una imagen de medios tonos o trazar rayos en un plano cuadriculado (este último es un caso especial de aliasing , debido al submuestreo de un patrón regular fino). [3] Esto se puede superar en el mapeo de texturas mediante el uso de mipmapping y filtrado anisotrópico .
El dibujo de la parte superior derecha muestra un patrón muaré. Las líneas podrían representar fibras de seda muaré, o líneas dibujadas en papel o en una pantalla de ordenador. La interacción no lineal de los patrones ópticos de las líneas crea un patrón real y visible de bandas oscuras y claras aproximadamente paralelas, el patrón muaré, superpuesto a las líneas. [4]
El efecto muaré también se produce entre objetos transparentes superpuestos. [5] Por ejemplo, una máscara de fase invisible está hecha de un polímero transparente con un perfil de espesor ondulado. A medida que la luz brilla a través de dos máscaras superpuestas de patrones de fase similares, se produce un patrón muaré ancho en una pantalla a cierta distancia. Este efecto muaré de fase y el efecto muaré clásico de líneas opacas son dos extremos de un espectro continuo en óptica, que se denomina efecto muaré universal. El efecto muaré de fase es la base de un tipo de interferómetro de banda ancha en aplicaciones de ondas de partículas y rayos X. También proporciona una forma de revelar patrones ocultos en capas invisibles.
El muaré lineal es un tipo de patrón muaré, un patrón que aparece al superponer dos capas transparentes que contienen patrones opacos correlacionados. El muaré lineal se produce cuando los patrones superpuestos están compuestos por líneas rectas o curvas. Al mover los patrones de las capas, los patrones muaré se transforman o se mueven a mayor velocidad. Este efecto se denomina aceleración del muaré óptico.
Se crean patrones de muaré de líneas más complejos si las líneas son curvas o no son exactamente paralelas.
El muaré de formas es un tipo de patrón muaré que demuestra el fenómeno de la magnificación del muaré. [6] [7] El muaré de formas unidimensionales es el caso particular simplificado del muaré de formas bidimensionales. Pueden aparecer patrones unidimensionales al superponer una capa opaca que contiene pequeñas líneas transparentes horizontales sobre una capa que contiene una forma compleja que se repite periódicamente a lo largo del eje vertical .
Los patrones muaré que revelan formas complejas o secuencias de símbolos incrustados en una de las capas (en forma de formas comprimidas que se repiten periódicamente) se crean con el muaré de formas, también llamado patrones muaré de bandas . Una de las propiedades más importantes del muaré de formas es su capacidad de ampliar formas diminutas a lo largo de uno o ambos ejes, es decir, estirarse. Un ejemplo común en 2D de ampliación del muaré se produce cuando se ve una valla de alambre a través de una segunda valla de alambre de diseño idéntico. La fina estructura del diseño es visible incluso a grandes distancias.
Consideremos dos patrones formados por líneas paralelas y equidistantes, por ejemplo, líneas verticales. El paso del primer patrón es p , el paso del segundo es p + δp , con 0 < δp < p .
Si las líneas de los motivos se superponen a la izquierda de la figura, el desplazamiento entre las líneas aumenta a medida que se avanza hacia la derecha. Después de un número determinado de líneas, los motivos se oponen: las líneas del segundo motivo se encuentran entre las líneas del primer motivo. Si miramos desde lejos, tenemos la sensación de zonas pálidas cuando las líneas se superponen (hay blanco entre las líneas), y de zonas oscuras cuando las líneas están "opuestas".
La mitad de la primera zona oscura es cuando el cambio es igual a pag/2 . La n- ésima línea del segundo patrón se desplaza n δp en comparación con la n -ésima línea de la primera red. Por lo tanto, el centro de la primera zona oscura corresponde a que es La distancia d entre el centro de una zona clara y una zona oscura es la distancia entre el centro de dos zonas oscuras, que también es la distancia entre dos zonas pálidas, es De esta fórmula, podemos ver que:
El principio del muaré es similar al de la escala Vernier .
La esencia del efecto muaré es la percepción (principalmente visual) de un tercer patrón claramente diferente, que se produce por la superposición inexacta de dos patrones similares. La representación matemática de estos patrones no se obtiene de manera trivial y puede parecer un tanto arbitraria. En esta sección daremos un ejemplo matemático de dos patrones paralelos cuya superposición forma un patrón muaré y mostraremos una forma (de muchas formas posibles) en que estos patrones y el efecto muaré pueden reproducirse matemáticamente.
La visibilidad de estos patrones depende del medio o sustrato en el que aparecen, y pueden ser opacos (como por ejemplo en papel) o transparentes (como por ejemplo en película de plástico). Para los fines de la discusión, asumiremos que los dos patrones primarios están impresos en tinta en escala de grises sobre una hoja blanca, donde la opacidad (por ejemplo, el tono de gris) de la parte "impresa" viene dada por un valor entre 0 (blanco) y 1 (negro) inclusive, con 1/2 representa el gris neutro. Cualquier valor menor que 0 o mayor que 1 utilizando esta escala de grises es esencialmente "no imprimible".
También elegiremos representar la opacidad del patrón resultante de imprimir un patrón sobre otro en un punto dado del papel como el promedio (es decir, la media aritmética) de la opacidad de cada patrón en esa posición, que es la mitad de su suma y, según el cálculo, no excede 1. (Esta elección no es única. Cualquier otro método para combinar las funciones que satisfaga mantener el valor de la función resultante dentro de los límites [0,1] también servirá; el promedio aritmético tiene la virtud de la simplicidad, con un daño mínimo, esperemos, a los conceptos que uno tiene del proceso de impresión).
Ahora consideramos la superposición de "impresión" de dos patrones en escala de grises que varían sinusoidalmente y son casi similares para mostrar cómo producen un efecto muaré al imprimir primero un patrón en el papel y luego imprimir el otro patrón sobre el primero, manteniendo sus ejes de coordenadas en registro. Representamos la intensidad del gris en cada patrón mediante una función de opacidad positiva de la distancia a lo largo de una dirección fija (por ejemplo, la coordenada x) en el plano del papel, en la forma
donde la presencia de 1 mantiene la función definida positiva y la división por 2 evita valores de función mayores que 1.
La cantidad k representa la variación periódica (es decir, la frecuencia espacial) de la intensidad gris del patrón, medida como el número de ciclos de intensidad por unidad de distancia. Dado que la función seno es cíclica sobre los cambios de argumento de 2π , el incremento de distancia Δ x por ciclo de intensidad (la longitud de onda) se obtiene cuando k Δ x = 2π , o Δ x = 2π/a .
Consideremos ahora dos patrones de este tipo, donde uno tiene una variación periódica ligeramente diferente del otro:
tal que k 1 ≈ k 2 .
El promedio de estas dos funciones, que representan la imagen impresa superpuesta, se evalúa de la siguiente manera (ver identidades inversas aquí: Prosthaphaeresis ):
donde se demuestra fácilmente que
y
Esta función promedio, f 3 , se encuentra claramente en el rango [0,1]. Dado que la variación periódica A es el promedio de y por lo tanto cercana a k 1 y k 2 , el efecto muaré se demuestra distintivamente por la función de "batido" de envolvente sinusoidal cos( Bx ) , cuya variación periódica es la mitad de la diferencia de las variaciones periódicas k 1 y k 2 (y evidentemente mucho menor en frecuencia).
Otros efectos muaré unidimensionales incluyen el clásico tono de frecuencia de pulso que se escucha cuando dos notas puras de tono casi idéntico suenan simultáneamente. Esta es una versión acústica del efecto muaré en la dimensión unidimensional del tiempo: las dos notas originales siguen presentes, pero la percepción del oyente es la de dos tonos que son el promedio y la mitad de la diferencia de las frecuencias de las dos notas. El aliasing en el muestreo de señales que varían con el tiempo también pertenece a este paradigma muaré.
Consideremos dos patrones con el mismo paso p , pero el segundo patrón está rotado en un ángulo α . Vistos desde lejos, también podemos ver líneas más oscuras y más pálidas: las líneas pálidas corresponden a las líneas de nodos , es decir, líneas que pasan por las intersecciones de los dos patrones.
Si consideramos una celda de la red formada, podemos ver que se trata de un rombo con los cuatro lados iguales a d = pag/pecado α ; (tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es d y el lado opuesto al ángulo α es p ).
Las líneas pálidas corresponden a la diagonal pequeña del rombo. Como las diagonales son las bisectrices de los lados vecinos, podemos ver que la línea pálida forma un ángulo igual a alfa/2 con la perpendicular de la línea de cada patrón.
Además, el espacio entre dos líneas claras es D , la mitad de la diagonal larga. La diagonal larga 2 D es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y los lados del ángulo recto son d (1 + cos α ) y p . El teorema de Pitágoras da: es decir: por lo tanto
Cuando α es muy pequeño ( α < π/6) se pueden hacer las siguientes aproximaciones de ángulos pequeños : así
Podemos ver que cuanto menor es α , más separadas están las líneas pálidas; cuando ambos patrones son paralelos ( α = 0 ), el espaciamiento entre las líneas pálidas es infinito (no hay ninguna línea pálida).
Existen, pues, dos formas de determinar α : por la orientación de las líneas claras y por su espaciamiento. Si optamos por medir el ángulo, el error final es proporcional al error de medición. Si optamos por medir el espaciamiento, el error final es proporcional al inverso del espaciamiento. Por tanto, para los ángulos pequeños, es mejor medir el espaciamiento.
En las artes gráficas y la preimpresión , la tecnología habitual para imprimir imágenes a todo color implica la superposición de tramas de medios tonos . Se trata de patrones de puntos rectangulares regulares, a menudo de cuatro, impresos en cian, amarillo, magenta y negro. Es inevitable que se produzca algún tipo de patrón muaré, pero en circunstancias favorables el patrón es "estrecho"; es decir, la frecuencia espacial del muaré es tan alta que no se nota. En las artes gráficas, el término muaré significa un patrón muaré excesivamente visible . Parte del arte de la preimpresión consiste en seleccionar ángulos de trama y frecuencias de medios tonos que minimicen el muaré. La visibilidad del muaré no es totalmente predecible. El mismo conjunto de tramas puede producir buenos resultados con algunas imágenes, pero muaré visible con otras.
Los patrones muaré se ven comúnmente en las pantallas de televisión cuando una persona usa una camisa o chaqueta de un tejido o patrón particular, como una chaqueta de pata de gallo . Esto se debe al escaneo entrelazado en televisores y cámaras que no son de película, conocido como twitter interlineal . A medida que la persona se mueve, el patrón muaré es bastante perceptible. Debido a esto, a los presentadores de noticias y otros profesionales que aparecen regularmente en televisión se les indica que eviten la ropa que podría causar el efecto.
Las fotografías de una pantalla de televisión tomadas con una cámara digital suelen presentar patrones muaré. Dado que tanto la pantalla de televisión como la cámara digital utilizan una técnica de escaneo para producir o capturar imágenes con líneas de escaneo horizontales, los conjuntos de líneas en conflicto causan los patrones muaré. Para evitar el efecto, la cámara digital puede apuntarse en un ángulo de 30 grados con respecto a la pantalla de televisión.
El efecto muaré se utiliza en las balizas costeras llamadas "marcas de dirección Inogon" o "luces Inogon", fabricadas por Inogon Licens AB, Suecia, para indicar la ruta más segura de navegación para los barcos que se dirigen a esclusas, puertos deportivos, etc., o para indicar peligros submarinos (como tuberías o cables). El efecto muaré crea flechas que apuntan hacia una línea imaginaria que marca el peligro o la línea de paso seguro; a medida que los navegantes pasan sobre la línea, las flechas de la baliza parecen convertirse en bandas verticales antes de volver a convertirse en flechas que apuntan en la dirección opuesta. [8] [9] [10] Un ejemplo se puede encontrar en el Reino Unido en la costa este de Southampton Water , frente a la refinería de petróleo de Fawley ( 50°51′21.63″N 1°19′44.77″O / 50.8560083, -1.3291028 ). [11] Se pueden utilizar balizas de efecto muaré similares para guiar a los navegantes hasta el punto central de un puente que se aproxima; cuando el buque está alineado con la línea central, se ven líneas verticales. Las luces Inogon se despliegan en los aeropuertos para ayudar a los pilotos en tierra a mantenerse en la línea central mientras atracan en el puesto. [12]
En las industrias manufactureras , estos patrones se utilizan para estudiar la deformación microscópica de los materiales: al deformar una rejilla con respecto a una rejilla de referencia y medir el patrón muaré, se pueden deducir los niveles y patrones de tensión. Esta técnica es atractiva porque la escala del patrón muaré es mucho mayor que la deflexión que lo provoca, lo que facilita la medición.
El efecto muaré se puede utilizar en la medición de deformaciones : el operador solo tiene que dibujar un patrón en el objeto y superponer el patrón de referencia al patrón deformado en el objeto deformado.
Un efecto similar se puede obtener mediante la superposición de una imagen holográfica del objeto al objeto mismo: el holograma es el paso de referencia y la diferencia con el objeto son las deformaciones, que aparecen como líneas pálidas y oscuras.
Algunos programas informáticos de escáner de imágenes proporcionan un filtro opcional , llamado filtro "descreen", para eliminar los artefactos de patrones muaré que de otro modo se producirían al escanear imágenes de medios tonos impresas para producir imágenes digitales. [13]
Muchos billetes explotan la tendencia de los escáneres digitales a producir patrones muaré al incluir diseños circulares u ondulados finos que probablemente exhibirán un patrón muaré cuando se escaneen e impriman. [14]
En microscopía de súper-resolución , el patrón muaré se puede utilizar para obtener imágenes con una resolución mayor que el límite de difracción , utilizando una técnica conocida como microscopía de iluminación estructurada . [2]
En la microscopía de efecto túnel , aparecen franjas de muaré si las capas atómicas de la superficie tienen una estructura cristalina diferente a la del cristal en masa. Esto puede deberse, por ejemplo, a la reconstrucción de la superficie del cristal o cuando hay una capa fina de un segundo cristal sobre la superficie, por ejemplo, grafeno de una sola capa [15] [16] , grafeno de doble capa [17] o heteroestructura de Van der Waals de grafeno y hBN [18] [19] o nanoestructuras de bismuto y antimonio [20] .
En la microscopía electrónica de transmisión (MET), las franjas de muaré traslacionales se pueden ver como líneas de contraste paralelas formadas en la obtención de imágenes de contraste de fase de TEM por la interferencia de planos de red cristalina difractados que se superponen y que pueden tener un espaciado y/o una orientación diferentes. [21] La mayoría de las observaciones de contraste de muaré descritas en la literatura se obtienen utilizando imágenes de contraste de fase de alta resolución en TEM. Sin embargo, si se utilizan imágenes de microscopía electrónica de transmisión de barrido de campo oscuro anular de ángulo alto con corrección de aberración de sonda (HAADF-STEM), se obtiene una interpretación más directa de la estructura cristalina en términos de tipos y posiciones de átomos. [21] [22]
En física de la materia condensada, el fenómeno muaré se analiza comúnmente para materiales bidimensionales . El efecto ocurre cuando hay un desajuste entre el parámetro de red o el ángulo de la capa 2D y el del sustrato subyacente, [15] [16] u otra capa 2D, como en heteroestructuras de materiales 2D. [19] [20] El fenómeno se explota como un medio para diseñar la estructura electrónica o las propiedades ópticas de los materiales, [23] que algunos llaman materiales muaré. Los cambios a menudo significativos en las propiedades electrónicas al torcer dos capas atómicas y la perspectiva de aplicaciones electrónicas han llevado al nombre de twistrónica de este campo. Un ejemplo destacado es el grafeno bicapa torcido , que forma un patrón muaré y en un ángulo mágico particular exhibe superconductividad y otras propiedades electrónicas importantes. [24]
En la ciencia de los materiales , los ejemplos conocidos que presentan contraste muaré son películas delgadas [25] o nanopartículas de tipo MX (M = Ti, Nb; X = C, N) superpuestas con una matriz austenítica. Ambas fases, MX y matriz, tienen una estructura cristalina cúbica centrada en las caras y una relación de orientación cubo sobre cubo. Sin embargo, tienen un desajuste reticular significativo de alrededor del 20 al 24 % (según la composición química de la aleación), lo que produce un efecto muaré. [22]
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1+\sin(k_{1}x)}{2}}\\[4pt]f_{2}&={\frac {1+\sin(k_{2}x)}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7aa17b59e171f087bf00e4ea25e757a420e7e2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{3}&={\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin(k_{1}x)+\sin(k_{2}x)}{4}}\\[5pt]&={\frac {1+\sin(Ax)\cos(Bx)}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299a140b39d9049c8ad1ae2ee4043a02799b5fa5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(2D)^{2}&={\frac {p^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}(1+\cos \alpha )^{2}+p^{2}\\[5pt]&=p^{2}\cdot \left({\frac {(1+\cos \alpha )^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+1\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229b539abf32cf81b046f267e761623c1f39c6ce)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(2D)^{2}&=2p^{2}\cdot {\frac {1+\cos \alpha }{\sin ^{2}\alpha }}\\[5pt]D&={\frac {\frac {p}{2}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d648b415b71837decbbb11a15395c1011654df07)
