Teorema de Wiener-Khinchin

Teorema de descomposición espectral de las autocorrelaciones de los procesos estacionarios

En matemáticas aplicadas , el teorema de Wiener-Khinchin o teorema de Wiener-Khintchine , también conocido como teorema de Wiener-Khinchin-Einstein o teorema de Khinchin-Kolmogorov , establece que la función de autocorrelación de un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio tiene una descomposición espectral dada por la densidad espectral de potencia de ese proceso. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]}

Historia

Norbert Wiener demostró este teorema para el caso de una función determinista en 1930; ^[8] Aleksandr Khinchin posteriormente formuló un resultado análogo para procesos estocásticos estacionarios y publicó ese análogo probabilístico en 1934. ^{[9] [10]} Albert Einstein explicó, sin pruebas, la idea en un breve memorando de dos páginas en 1914. ^{[11] [12]}

Proceso de tiempo continuo

Para el tiempo continuo, el teorema de Wiener-Khinchin dice que si es un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio cuya función de autocorrelación (a veces llamada autocovarianza ) definida en términos de valor esperado estadístico , existe y es finita en cada desfase , entonces existe una función monótona en el dominio de la frecuencia , o equivalentemente una medida de Radon no negativa en el dominio de la frecuencia, tal que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\mathbb {E} {\big [}x(t)^{*}\cdot x(t-\tau ){\big ]}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle F(f)}$ ${\displaystyle -\infty <f<\infty }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}\mu (df)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}dF(f),}$

donde la integral es una integral de Riemann–Stieltjes . ^{[1] [13]} El asterisco denota conjugado complejo y se puede omitir si el proceso aleatorio es de valor real. Este es un tipo de descomposición espectral de la función de autocorrelación. F se denomina función de distribución espectral de potencia y es una función de distribución estadística. A veces se la denomina espectro integrado.

La transformada de Fourier de no existe en general, porque las funciones aleatorias estocásticas no son, en general, integrables al cuadrado ni absolutamente integrables . Tampoco se supone que sea absolutamente integrable, por lo que tampoco necesita tener una transformada de Fourier. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle r_{xx}}$

Sin embargo, si la medida es absolutamente continua , por ejemplo, si el proceso es puramente indeterminista, entonces es diferenciable casi en todas partes y podemos escribir . En este caso, se puede determinar , la densidad espectral de potencia de , tomando la derivada promediada de . Debido a que las derivadas izquierda y derecha de existen en todas partes, es decir, podemos poner en todas partes, ^[14] (obteniendo que F es la integral de su derivada promediada ^[15] ), y el teorema se simplifica a ${\displaystyle \mu (df)=dF(f)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu (df)=S(f)df}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S(f)={\frac {1}{2}}\left(\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\big (}F(f+\varepsilon )-F(f){\big )}+\lim _{\varepsilon \uparrow 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\big (}F(f+\varepsilon )-F(f){\big )}\right)}$

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}\,S(f)df.}$

Si ahora se supone que r y S satisfacen las condiciones necesarias para que la inversión de Fourier sea válida, el teorema de Wiener-Khinchin toma la forma simple de decir que r y S son un par de transformada de Fourier, y

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-2\pi if\tau }\,d\tau .}$

Proceso de tiempo discreto

Para el caso de tiempo discreto, la densidad espectral de potencia de la función con valores discretos es ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}(k)e^{-i\omega k}}$

donde es la frecuencia angular, se utiliza para denotar la unidad imaginaria (en ingeniería, a veces se usa la letra en su lugar) y es la función de autocorrelación discreta de , definida en su formulación determinista o estocástica. ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle r_{xx}(k)}$ ${\displaystyle x_{n}}$

Se proporciona que sea absolutamente sumable, es decir ${\displaystyle r_{xx}}$

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }|r_{xx}(k)|<+\infty }$

El resultado del teorema puede entonces escribirse como

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\tau \omega }S(\omega )d\omega }$

Al ser una secuencia de tiempo discreto, la densidad espectral es periódica en el dominio de la frecuencia. Por este motivo, el dominio de la función suele estar restringido a (nótese que el intervalo está abierto desde un lado). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Solicitud

El teorema es útil para analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo (sistemas LTI) cuando las entradas y salidas no son integrables al cuadrado, por lo que sus transformadas de Fourier no existen. Un corolario es que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de la salida de un sistema LTI es igual al producto de la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de la entrada del sistema por la magnitud al cuadrado de la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del sistema. ^[16] Esto funciona incluso cuando las transformadas de Fourier de las señales de entrada y salida no existen porque estas señales no son integrables al cuadrado, por lo que las entradas y salidas del sistema no pueden estar directamente relacionadas por la transformada de Fourier de la respuesta al impulso.

Dado que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una señal es el espectro de potencia de la señal, este corolario equivale a decir que el espectro de potencia de la salida es igual al espectro de potencia de la entrada multiplicado por la función de transferencia de energía .

Este corolario se utiliza en el método paramétrico para la estimación del espectro de potencia.

Discrepancias en la terminología

En muchos libros de texto y en gran parte de la literatura técnica, se asume tácitamente que la inversión de Fourier de la función de autocorrelación y la densidad espectral de potencia es válida, y el teorema de Wiener-Khinchin se enuncia, de forma muy simple, como si dijera que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación era igual a la densidad espectral de potencia , ignorando todas las cuestiones de convergencia ^[17] (similar al artículo de Einstein ^[11] ). Pero el teorema (como se enuncia aquí) fue aplicado por Norbert Wiener y Aleksandr Khinchin a las funciones de muestra (señales) de procesos aleatorios estacionarios en sentido amplio , señales cuyas transformadas de Fourier no existen. La contribución de Wiener fue dar sentido a la descomposición espectral de la función de autocorrelación de una función de muestra de un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio incluso cuando las integrales de la transformada de Fourier y la inversión de Fourier no tienen sentido.

Para complicar aún más la cuestión, la transformada discreta de Fourier siempre existe para secuencias digitales de longitud finita, lo que significa que el teorema se puede aplicar a ciegas para calcular autocorrelaciones de secuencias numéricas. Como se mencionó anteriormente, la relación de estos datos muestreados discretos con un modelo matemático suele ser engañosa, y los errores relacionados pueden aparecer como una divergencia cuando se modifica la longitud de la secuencia.

Algunos autores la denominan función de autocovarianza y luego proceden a normalizarla dividiéndola por , para obtener lo que denominan función de autocorrelación. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(0)}$

Referencias

1. C. Chatfield (1989). El análisis de series temporales: una introducción (cuarta edición). Chapman y Hall, Londres. pp. 94-95. ISBN 0-412-31820-2.
2. Norbert Wiener (1964). Serie temporal . Prensa del MIT, Cambridge, Massachusetts. pag. 42.
3. Hannan, EJ, "Series temporales estacionarias", en: John Eatwell, Murray Milgate y Peter Newman, editores, The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Time Series and Statistics , Macmillan, Londres, 1990, pág. 271.
4. Dennis Ward Ricker (2003). Procesamiento de señales de eco. Springer. ISBN 1-4020-7395-X.
5. Leon W. Couch II (2001). Sistemas de comunicación digital y analógica (sexta edición). Prentice Hall, Nueva Jersey. Págs. 406-409. ISBN. 0-13-522583-3.
6. Krzysztof Iniewski (2007). Tecnologías inalámbricas: circuitos, sistemas y dispositivos. CRC Press. ISBN 978-0-8493-7996-3.
7. Joseph W. Goodman (1985). Óptica estadística . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-01502-4.
8. Wiener, Norbert (1930). "Análisis armónico generalizado". Acta Mathematica . 55 : 117–258. doi : 10.1007/bf02546511 .
9. DC Champeney (1987). "Espectros de potencia y teoremas de Wiener". Manual de teoremas de Fourier . Cambridge University Press. pág. 102. ISBN 9780521265034La teoría básica de Wiener del "análisis armónico generalizado" no es de ninguna manera probabilística, y los teoremas se aplican a funciones individuales bien definidas en lugar de a conjuntos de funciones [...] Un desarrollo posterior de estas ideas ocurre en el trabajo de AI Khintchine (1894-1959) sobre procesos aleatorios estacionarios (o procesos estocásticos) [...] en contextos en los que no es importante distinguir los dos enfoques, la teoría a menudo se conoce como la teoría de Wiener-Khintchine.
10. Khintchine, Alejandro (1934). "Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse". Annalen Matemáticas . 109 (1): 604–615. doi :10.1007/BF01449156. S2CID  122842868.
11. Einstein, Albert (1914). "Método para la determinación de valores estadísticos de observaciones relativas a las grandezas soumises à des fluctuaciones irregulares". Archivos de Ciencias . 37 : 254–256. Código bibliográfico : 1914ArS....37..254E.
12. Jerison, David; Singer, Isadore Manuel; Stroock, Daniel W. (1997). El legado de Norbert Wiener: un simposio del centenario (Actas de simposios sobre matemáticas puras) . Sociedad Americana de Matemáticas. pág. 95. ISBN 0-8218-0415-4.
13. Hannan, EJ (1990). "Series temporales estacionarias". En Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Time Series and Statistics . Londres: Macmillan. pág. 271. ISBN 9781349208654.
14. Chatfield, C. (1989). El análisis de series temporales: una introducción (cuarta edición). Londres: Chapman and Hall. pág. 96. ISBN 0-412-31820-2.
15. Champeney, DC (1987). Un manual de teoremas de Fourier. Cambridge Univ. Press. págs. 20-22. ISBN 9780521366885.
16. Shlomo Engelberg (2007). Señales aleatorias y ruido: una introducción matemática. CRC Press. p. 130. ISBN 978-0-8493-7554-5.
17. C. Chatfield (1989). El análisis de series temporales: una introducción (cuarta edición). Chapman and Hall, Londres. pág. 98. ISBN 0-412-31820-2.

Lectura adicional

• Brockwell, Peter A.; Davis, Richard J. (2002). Introducción a las series temporales y al pronóstico (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 038721657X.
• Chatfield, C. (1989). El análisis de series temporales: una introducción (cuarta edición). Londres: Chapman and Hall. ISBN 0412318202.
• Fuller, Wayne (1996). Introducción a las series temporales estadísticas . Wiley Series in Probability and Statistics (segunda edición). Nueva York: Wiley. ISBN 0471552399.
• Wiener, Norbert (1949). "Extrapolación, interpolación y suavizado de series temporales estacionarias" (Documento). Cambridge, Massachusetts: Technology Press y Johns Hopkins Univ. Press.(un documento clasificado escrito para el Departamento de Guerra en 1943).
• Yaglom, AM (1962). Introducción a la teoría de funciones aleatorias estacionarias . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice–Hall.