Teorema de Kneser (combinatoria)

One of several related theorems regarding the sizes of certain sumsets in abelian groups

En la rama de las matemáticas conocida como combinatoria aditiva , el teorema de Kneser puede referirse a uno de varios teoremas relacionados con los tamaños de ciertos conjuntos sumatorios en grupos abelianos . Estos reciben su nombre de Martin Kneser , quien los publicó en 1953 ^[1] y 1956. ^[2] Pueden considerarse como extensiones del teorema de Cauchy-Davenport , que también se refiere a los conjuntos sumatorios en grupos, pero está restringido a grupos cuyo orden es un número primo . ^[3]

Las tres primeras afirmaciones tratan de conjuntos sumatorios cuyo tamaño (en varios sentidos) es estrictamente menor que la suma de los tamaños de los sumandos. La última afirmación trata del caso de igualdad para la medida de Haar en grupos abelianos compactos conexos.

Desigualdad estricta

Si es un grupo abeliano y es un subconjunto de , el grupo es el estabilizador de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H(C):=\{g\in G:g+C=C\}}$ ${\displaystyle C}$

Cardinalidad

Sea un grupo abeliano . Si y son subconjuntos finitos no vacíos de que satisfacen y es el estabilizador de , entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |A+B|<|A|+|B|}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A+B}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}|A+B|&=|A+H|+|B+H|-|H|.\end{aligned}}}$

Esta afirmación es un corolario de la afirmación para los grupos LCA que se presenta a continuación, obtenida al especializarse en el caso en que el grupo ambiental es discreto. En el libro de texto de Nathanson se ofrece una prueba independiente. ^[4]

Menor densidad asintótica en los números naturales

El resultado principal del artículo de Kneser de 1953 ^[1] es una variante del teorema de Mann sobre la densidad de Schnirelmann .

Si es un subconjunto de , la densidad asintótica inferior de es el número . El teorema de Kneser para la densidad asintótica inferior establece que si y son subconjuntos de que satisfacen , entonces existe un número natural tal que satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\underline {d}}(C):=\liminf _{n\to \infty }{\frac {|C\cap \{1,\dots ,n\}|}{n}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\underline {d}}(A+B)<{\underline {d}}(A)+{\underline {d}}(B)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H:=k\mathbb {N} \cup \{0\}}$

${\displaystyle (A+B+H)\setminus (A+B)}$es finito,

y

${\displaystyle {\underline {d}}(A+B)={\underline {d}}(A+H)+{\underline {d}}(B+H)-{\underline {d}}(H).}$

Téngase en cuenta que , dado que . ${\displaystyle A+B\subseteq A+B+H}$ ${\displaystyle 0\in H}$

Medida de Haar en grupos abelianos localmente compactos (LCA)

Sea un grupo LCA con medida de Haar y sea la medida interna inducida por (también suponemos que es Hausdorff, como es habitual). Nos vemos obligados a considerar la medida interna de Haar, ya que el conjunto suma de dos conjuntos -medibles puede no ser -medible. El párrafo 1 del artículo de Kneser de 1956 ^[2] se puede enunciar de la siguiente manera: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{*}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Si y son subconjuntos no vacíos y medibles de que satisfacen , entonces el estabilizador es compacto y abierto. Por lo tanto, es compacto y abierto (y por lo tanto medible), al ser una unión de un número finito de clases laterales de . Además, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m_{*}(A+B)<m(A)+m(B)}$ ${\displaystyle H:=H(A+B)}$ ${\displaystyle A+B}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m(A+B)=m(A+H)+m(B+H)-m(H).}$

Igualdad en grupos abelianos compactos conexos

Como los grupos conexos no tienen subgrupos abiertos propios, la afirmación anterior implica inmediatamente que si es conexo, entonces para todos los conjuntos -medibles y . Ejemplos donde ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m_{*}(A+B)\geq \min\{m(A)+m(B),m(G)\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

se puede encontrar cuando es el toro y y son intervalos. El Satz 2 del artículo de Kneser de 1956 ^[2] dice que todos los ejemplos de conjuntos que satisfacen la ecuación ( 1 ) con sumandos no nulos son modificaciones obvias de estos. Para ser precisos: si es un grupo abeliano compacto conexo con medida de Haar y son subconjuntos -medibles de que satisfacen , y la ecuación ( 1 ), entonces hay un homomorfismo sobreyectivo continuo y hay intervalos cerrados , en tales que , , , y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m(A)>0,m(B)>0}$ ${\displaystyle \phi :G\to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle A\subseteq \phi ^{-1}(I)}$ ${\displaystyle B\subseteq \phi ^{-1}(J)}$ ${\displaystyle m(A)=m(\phi ^{-1}(I))}$ ${\displaystyle m(B)=m(\phi ^{-1}(J))}$

Notas

1. Kneser, Martín (1953). "Abschätzungen der asymptotischen Dichte von Summenmengen". Matemáticas. Z. (en alemán). 58 : 459–484. doi :10.1007/BF01174162. S2CID  120456416. Zbl  0051.28104.
2. Kneser, Martín (1956). "Summenmengen in lokalkompakten abelschen Gruppen". Matemáticas. Z. (en alemán). 66 : 88-110. doi :10.1007/BF01186598. S2CID  120125011. Zbl  0073.01702.
3. Geroldinger y Ruzsa (2009, pág.143)
4. Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: problemas inversos y geometría de conjuntos sumatorios . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 165. Springer-Verlag . Págs. 109-132. ISBN.  0-387-94655-1.Zbl 0859.11003  .

Referencias

• Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z. , eds. (2009). Teoría combinatoria de números y teoría aditiva de grupos . Cursos Avanzados de Matemáticas CRM Barcelona. Elsholtz, C.; Freiman, G.; Hamidoune, YO; Hegyvári, N.; Károlyi, G.; Nathanson, M.; Solymosi, J. ; Stanchescu, Y. Con prólogo de Javier Cilleruelo, Marc Noy y Oriol Serra (Coordinadores del DocCourse). Basilea: Birkhäuser. ISBN. 978-3-7643-8961-1.Zbl 1177.11005  .
• Grynkiewicz, David (2013). Teoría aditiva estructural . Desarrollos en matemáticas. Vol. 30. Springer . pág. 61. ISBN. 978-3-319-00415-0.Zbl 1368.11109  .
• Tao, Terence ; Vu, Van H. (2010), Combinatoria aditiva , Cambridge : Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-13656-3, Zbl1179.11002 ​