Marco Heath-Jarrow-Morton

El marco Heath–Jarrow–Morton ( HJM ) es un marco general para modelar la evolución de las curvas de tipos de interés , en particular las curvas de tipos forward instantáneos (a diferencia de los tipos forward simples ). Cuando se supone que la volatilidad y la deriva del tipo forward instantáneo son deterministas , esto se conoce como el modelo Gaussiano Heath–Jarrow–Morton (HJM) de tipos forward. ^{[1] : 394} Para el modelado directo de tipos forward simples, el modelo Brace–Gatarek–Musiela representa un ejemplo.

El marco HJM se origina a partir del trabajo de David Heath , Robert A. Jarrow y Andrew Morton a fines de la década de 1980, especialmente Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology (1987) – documento de trabajo, Universidad de Cornell , y Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology (1989) – documento de trabajo (edición revisada), Universidad de Cornell. Sin embargo, tiene sus críticos, y Paul Wilmott lo describe como "... en realidad, solo una gran alfombra debajo de la cual se esconden [los errores]". ^{[2] [3]}

Estructura

La clave de estas técnicas es reconocer que las desviaciones de la evolución sin arbitraje de ciertas variables pueden expresarse como funciones de sus volatilidades y de las correlaciones entre ellas. En otras palabras, no es necesario estimar las desviaciones.

Los modelos desarrollados según el marco HJM son diferentes de los llamados modelos de tasa corta en el sentido de que los modelos de tipo HJM capturan la dinámica completa de toda la curva de tasa a plazo , mientras que los modelos de tasa corta solo capturan la dinámica de un punto en la curva (la tasa corta).

Sin embargo, los modelos desarrollados según el marco general HJM a menudo no son markovianos e incluso pueden tener dimensiones infinitas. Varios investigadores han hecho grandes contribuciones para abordar este problema. Demuestran que si la estructura de volatilidad de los tipos a plazo satisface ciertas condiciones, entonces un modelo HJM puede expresarse completamente mediante un sistema markoviano de estados finitos, lo que lo hace computacionalmente factible. Los ejemplos incluyen un modelo de un factor y dos estados (O. Cheyette, "Term Structure Dynamics and Mortgage Valuation", Journal of Fixed Income, 1, 1992; P. Ritchken y L. Sankarasubramanian en "Volatility Structures of Forward Rates and the Dynamics of Term Structure", Mathematical Finance , 5, No. 1, enero de 1995), y versiones posteriores de múltiples factores.

Formulación matemática

La clase de modelos desarrollados por Heath, Jarrow y Morton (1992) se basa en la modelización de los tipos de cambio forward.

El modelo comienza introduciendo el tipo de interés forward instantáneo , , que se define como la tasa de interés compuesta continua disponible en el momento tal como se ve desde el momento . La relación entre los precios de los bonos y el tipo de interés forward también se proporciona de la siguiente manera: ${\displaystyle \textstyle f(t,T)}$ ${\displaystyle \textstyle t\leq T}$ ${\displaystyle \textstyle T}$ ${\displaystyle \textstyle t}$

${\displaystyle P(t,T)=e^{-\int _{t}^{T}f(t,s)ds}}$

Aquí se muestra el precio en el momento de un bono cupón cero que paga $1 al vencimiento . La cuenta del mercado monetario sin riesgo también se define como ${\displaystyle \textstyle P(t,T)}$ ${\displaystyle \textstyle t}$ ${\displaystyle \textstyle T\geq t}$

${\displaystyle \beta (t)=e^{\int _{0}^{t}f(u,u)du}}$

Esta última ecuación nos permite definir , la tasa a corto plazo libre de riesgo. El marco HJM supone que la dinámica de bajo una medida de precios neutral al riesgo es la siguiente: ${\displaystyle \textstyle f(t,t)\triangleq r(t)}$ ${\displaystyle \textstyle f(t,s)}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle df(t,s)=\mu (t,s)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)dW_{t}}$

Donde es un proceso de Wiener de dimensión dimensional y , son procesos adaptados . Ahora, basándonos en estas dinámicas para , intentaremos encontrar la dinámica para y encontrar las condiciones que deben cumplirse bajo reglas de fijación de precios neutrales al riesgo. Definamos el siguiente proceso: ${\displaystyle \textstyle W_{t}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \mu (u,s)}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(u,s)}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}_{u}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle P(t,s)}$

${\displaystyle Y_{t}\triangleq \log P(t,s)=-\int _{t}^{s}f(t,u)du}$

La dinámica de se puede obtener mediante la regla de Leibniz : ${\displaystyle \textstyle Y_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=f(t,t)dt-\int _{t}^{s}df(t,u)du\\&=r_{t}dt-\int _{t}^{s}\mu (t,u)dtdu-\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}du\end{aligned}}}$

Si definimos , y suponemos que se satisfacen las condiciones del Teorema de Fubini en la fórmula para la dinámica de , obtenemos: ${\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}=\int _{t}^{s}\mu (t,u)du}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}=\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)du}$ ${\displaystyle \textstyle Y_{t}}$

${\displaystyle dY_{t}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}$

Por el lema de Itō , la dinámica de es entonces: ${\displaystyle \textstyle P(t,T)}$

${\displaystyle {\frac {dP(t,s)}{P(t,s)}}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}$

Pero debe haber una martingala bajo la medida de precios , por lo que requerimos que . Diferenciando esto con respecto a obtenemos: ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(t,s)}{\beta (t)}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}}$ ${\displaystyle \textstyle s}$

${\displaystyle \mu (t,u)={\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds}$

Lo que finalmente nos dice que la dinámica de debe ser de la siguiente forma: ${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle df(t,u)=\left({\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds\right)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}}$

Lo que nos permite fijar el precio de los bonos y los derivados de tipos de interés en función de nuestra elección de . ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

Véase también

• Modelo de juguete Black-Derman
• Modelo Brace-Gatarek-Musiela
• Modelo Chen
• Modelo Cheyette
• Modelo Ho-Lee
• Modelo Hull-White

Referencias

Notas

1. M. Musiela, M. Rutkowski: Métodos Martingala en el modelado financiero. 2.ª ed. Nueva York: Springer-Verlag, 2004. Versión impresa.
2. El plan de un experto en matemáticas para reformar Wall Street, Newsweek, mayo de 2009
3. Newsweek 2009

Fuentes

• Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1990). Fijación de precios de bonos y estructura temporal de tasas de interés: una aproximación temporal discreta. Journal of Financial and Quantitative Analysis , 25:419-440.
• Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1991). Valuación de reclamaciones contingentes con una evolución aleatoria de las tasas de interés Archivado el 28 de abril de 2017 en Wayback Machine . Revisión de los mercados de futuros , 9:54-76.
• Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1992). Fijación de precios de bonos y estructura temporal de tasas de interés: una nueva metodología para la valoración de reclamaciones contingentes. Econometrica , 60(1):77-105. doi :10.2307/2951677
• Robert Jarrow (2002). Modelado de valores de renta fija y opciones sobre tipos de interés (2.ª ed.). Stanford Economics and Finance. ISBN 0-8047-4438-6 

Lectura adicional

• Árboles no tupidos para modelos lognormales y HJM gaussianos, Prof. Alan Brace, Universidad Tecnológica de Sídney
• El modelo de estructura temporal de Heath-Jarrow-Morton Archivado el 23 de septiembre de 2015 en Wayback Machine . Prof. Don Chance EJ Ourso Facultad de Negocios , Universidad Estatal de Luisiana
• Recombinación de árboles para modelos unidimensionales de tasas de interés a plazo, Dariusz Gatarek, Wyższa Szkoła Biznesu – National-Louis University y Jaroslaw Kolakowski
• Implementación de una estructura temporal sin arbitraje de modelos de tipos de interés en tiempo discreto cuando los tipos de interés se distribuyen normalmente, Dwight M Grant y Gautam Vora. The Journal of Fixed Income , marzo de 1999, vol. 8, n.º 4: págs. 85-98
• Modelo de Heath-Jarrow-Morton y su aplicación, Vladimir I Pozdynyakov, Universidad de Pensilvania
• Un estudio empírico de las propiedades de convergencia del árbol de tipos de interés forward HJM no recombinante en la determinación de precios de los derivados de tipos de interés, AR Radhakrishnan, Universidad de Nueva York
• Modelado de tasas de interés con Heath, Jarrow y Morton. Dr. Donald van Deventer, Kamakura Corporation :
  • Con un factor y volatilidad dependiente del vencimiento Archivado 2020-08-09 en Wayback Machine.
  • Con un factor y volatilidad dependiente de la tasa y el vencimiento Archivado 2016-03-05 en Wayback Machine.
  • Con dos factores y volatilidad dependiente de la tasa y del vencimiento Archivado 2016-03-04 en Wayback Machine.
  • Con tres factores y volatilidad dependiente de la tasa y el vencimiento Archivado 2020-09-20 en Wayback Machine.