Ecuaciones de Föppl-von Kármán

Las ecuaciones de Föppl-von Kármán , que llevan el nombre de August Föppl ^[1] y Theodore von Kármán , ^[2] son ​​un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que describen las grandes deflexiones de placas planas delgadas. ^[3] Con aplicaciones que van desde el diseño de cascos de submarinos hasta las propiedades mecánicas de la pared celular, ^[4] las ecuaciones son notoriamente difíciles de resolver y toman la siguiente forma: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\qquad &{\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\nabla ^{4}w-h{\frac {\partial }{\partial x_{\beta }}}\left(\sigma _{\alpha \beta }{\frac {\partial w}{\partial x_{\alpha }}}\right)=P\\(2)\qquad &{\frac {\partial \sigma _{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\end{aligned}}}$

donde E es el módulo de Young del material de la placa (se supone homogéneo e isotrópico), υ es la relación de Poisson , h es el espesor de la placa, w es la deflexión fuera del plano de la placa, P es la fuerza normal externa por unidad de área de la placa, σ _αβ es el tensor de tensión de Cauchy , y α , β son índices que toman valores de 1 y 2 (las dos direcciones ortogonales en el plano). El operador biarmónico bidimensional se define como ^[6]

${\displaystyle \nabla ^{4}w:={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\beta }\partial x_{\beta }}}\right]={\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}\,.}$

La ecuación (1) anterior se puede derivar de supuestos cinemáticos y las relaciones constitutivas de la placa. Las ecuaciones (2) son las dos ecuaciones para la conservación del momento lineal en dos dimensiones donde se supone que las tensiones fuera del plano ( σ ₃₃ , σ ₁₃ , σ ₂₃ ) son cero.

Validez de las ecuaciones de Föppl-von Kármán

Si bien las ecuaciones de Föppl-von Kármán son de interés desde un punto de vista puramente matemático, la validez física de estas ecuaciones es cuestionable. ^[7] Ciarlet ^[8] afirma: Las ecuaciones bidimensionales de von Karman para placas, propuestas originalmente por von Karman [1910], desempeñan un papel mítico en las matemáticas aplicadas. Si bien han sido estudiados abundante y satisfactoriamente desde el punto de vista matemático, en particular en lo que respecta a diversas cuestiones de existencia, regularidad y bifurcación de sus soluciones, su solidez física ha sido a menudo seriamente cuestionada. Las razones incluyen los hechos que

1. la teoría depende de una geometría aproximada que no está claramente definida
2. una variación dada de la tensión sobre una sección transversal se supone arbitrariamente
3. Se utiliza una relación constitutiva lineal que no corresponde a una relación conocida entre medidas bien definidas de tensión y deformación.
4. Algunos componentes de la tensión se ignoran arbitrariamente.
5. existe una confusión entre configuraciones de referencia y deformadas que hace que la teoría sea inaplicable a las grandes deformaciones para las que aparentemente fue ideada.

Las condiciones bajo las cuales estas ecuaciones son realmente aplicables y darán resultados razonables cuando se resuelvan se analizan en Ciarlet. ^{[8] [9]}

Ecuaciones en términos de la función de estrés de Airy

Las tres ecuaciones de Föppl-von Kármán se pueden reducir a dos introduciendo la función de tensión de Airy donde ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sigma _{11}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}^{2}}}~,~~\sigma _{22}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}^{2}}}~,~~\sigma _{12}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,.}$

La ecuación (1) se convierte en ^[5]

${\displaystyle {\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\Delta ^{2}w-h\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\right)=P}$

mientras que la función de Airy satisface, por construcción, la ecuación de equilibrio de fuerzas (2). Se obtiene una ecuación para que impone la representación de la deformación en función de la tensión. Uno obtiene ^[5] ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \Delta ^{2}\varphi +E\left\{{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\right)^{2}\right\}=0\,.}$

Flexión pura

Para la flexión pura de placas delgadas, la ecuación de equilibrio es , donde ${\displaystyle D\Delta ^{2}\ w=P}$

${\displaystyle D:={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}$

Se llama rigidez a flexión o cilíndrica de la placa. ^[5]

Supuestos cinemáticos (hipótesis de Kirchhoff)

En la derivación de las ecuaciones de Föppl-von Kármán, el principal supuesto cinemático (también conocido como hipótesis de Kirchhoff ) es que las superficies normales al plano de la placa permanecen perpendiculares a la placa después de la deformación. También se supone que los desplazamientos en el plano (membrana) son pequeños y que el cambio de espesor de la placa es insignificante. Estas suposiciones implican que el campo de desplazamiento u en la placa se puede expresar como ^[10]

${\displaystyle u_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{1}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}~,~~u_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{2}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}~,~~u_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=w(x_{1},x_{2})}$

en el que v es el desplazamiento en el plano (membrana). Esta forma del campo de desplazamiento supone implícitamente que la cantidad de rotación de la placa es pequeña.

Relaciones deformación-desplazamiento (tensiones de von Kármán)

Los componentes del tensor de deformación verde de Lagrangiano tridimensional se definen como

${\displaystyle E_{ij}:={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right]\,.}$

La sustitución de las expresiones para el campo de desplazamiento en lo anterior da

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\E_{22}&={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\\E_{23}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\right]\\E_{31}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\right]\end{aligned}}}$

Para deformaciones pequeñas pero rotaciones moderadas , los términos de orden superior que no pueden despreciarse son

${\displaystyle \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}~,~~\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}~,~~{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\,.}$

Despreciando todos los demás términos de orden superior y aplicando el requisito de que la placa no cambie su espesor, los componentes del tensor de deformación se reducen a las deformaciones de von Kármán.

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\\E_{22}&={\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\\E_{33}&=0~,~~E_{23}=0~,~~E_{13}=0\,.\end{aligned}}}$

Los primeros términos son las habituales deformaciones pequeñas, para la superficie media. Los segundos términos, que involucran cuadrados de gradientes de desplazamiento, no son lineales y deben considerarse cuando la flexión de la placa es bastante grande (cuando las rotaciones son de aproximadamente 10 a 15 grados). Estos dos primeros términos juntos se denominan deformaciones de membrana . Los últimos términos, que involucran segundas derivadas, son las deformaciones de flexión (flexión) . Implican las curvaturas. Estos términos cero se deben a los supuestos de la teoría clásica de placas, que supone que los elementos normales al plano medio permanecen inextensibles y los elementos lineales perpendiculares al plano medio permanecen normales al plano medio después de la deformación.

Relaciones tensión-deformación

Si asumimos que las componentes del tensor de tensión de Cauchy están relacionadas linealmente con las deformaciones de von Kármán por la ley de Hooke , la placa es isotrópica y homogénea, y que la placa está bajo una condición de tensión plana , ^[11] tenemos σ ₃₃ = σ ₁₃ = σ ₂₃ = 0 y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{11}\\E_{22}\\E_{12}\end{bmatrix}}}$

Ampliando los términos, las tres tensiones distintas de cero son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+\nu \left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{22}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+\left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{12}&={\cfrac {E}{(1+\nu )}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right]\,.\end{aligned}}}$

Resultantes de tensión

Las tensiones resultantes en la placa se definen como

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{\alpha \beta }\,dx_{3}~,~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h/2}^{h/2}x_{3}\,\sigma _{\alpha \beta }\,dx_{3}\,.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+2\nu {\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{22}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2\nu {\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+2{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{12}&={\cfrac {Eh}{2(1+\nu )}}\left[{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\end{aligned}}}$

la eliminación de los desplazamientos en el plano conduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Eh}}\left[2(1+\nu ){\frac {\partial ^{2}N_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}N_{22}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}N_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}N_{11}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}N_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}\right]=\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{22}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{12}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1+\nu )}}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Las soluciones son más fáciles de encontrar cuando las ecuaciones gobernantes se expresan en términos de tensiones resultantes en lugar de tensiones en el plano.

Ecuaciones de equilibrio

La forma débil de la placa de Kirchhoff es

${\displaystyle \int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}\rho {\ddot {u}}_{i}\delta u_{i}\,d\Omega dx_{3}+\int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{ij}\delta E_{ij}\,d\Omega dx_{3}+\int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}p_{i}\delta u_{i}\,d\Omega dx_{3}=0}$

aquí Ω denota el plano medio. La forma débil conduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }\rho h{\ddot {v}}_{1}\delta v_{1}\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{11}{\frac {\partial \delta v_{1}}{\partial x_{1}}}+N_{12}{\frac {\partial \delta v_{1}}{\partial x_{2}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega }p_{1}\delta v_{1}\,d\Omega \\\int _{\Omega }\rho h{\ddot {v}}_{2}\delta v_{2}\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{22}{\frac {\partial \delta v_{2}}{\partial x_{2}}}+N_{12}{\frac {\partial \delta v_{2}}{\partial x_{1}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega }p_{2}\delta v_{2}\,d\Omega \\\int _{\Omega }\rho h{\ddot {w}}\delta w\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{11}{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{1}}}-M_{11}{\frac {\partial ^{2}\delta w}{\partial ^{2}x_{1}}}\,d\Omega \\&+\int _{\Omega }N_{22}{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{2}}}-M_{22}{\frac {\partial ^{2}\delta w}{\partial ^{2}x_{2}}}\,d\Omega \\&+\int _{\Omega }N_{12}\left({\frac {\partial \delta w}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{2}}}\right)-2M_{12}{\frac {\partial ^{2}\delta w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega }p_{3}\delta w\,d\Omega \\\end{aligned}}}$

Las ecuaciones rectoras resultantes son

${\displaystyle {\begin{aligned}&\rho h{\ddot {w}}-{\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(N_{11}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{22}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)=-p_{3}\\&\rho h{\ddot {v}}_{1}-{\frac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial N_{12}}{\partial x_{2}}}=-p_{1}\\&\rho h{\ddot {v}}_{2}-{\frac {\partial N_{21}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=-p_{2}\,.\end{aligned}}}$

Ecuaciones de Föppl-von Kármán en términos de tensiones resultantes

Las ecuaciones de Föppl-von Kármán generalmente se derivan con un enfoque energético considerando variaciones de la energía interna y el trabajo virtual realizado por fuerzas externas. Las ecuaciones rectoras estáticas resultantes (ecuaciones de equilibrio) son

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(N_{11}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{22}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)=P\\&{\frac {\partial N_{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\,.\end{aligned}}}$

Cuando las deflexiones son pequeñas en comparación con las dimensiones totales de la placa y se desprecian las deformaciones en la mitad de la superficie,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\approx 0,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\approx 0,v_{1}\approx 0,v_{2}\approx 0\end{aligned}}}$.

Las ecuaciones de equilibrio se reducen ( flexión pura de placas delgadas) a

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}=P}$.

Referencias

1. Föppl, A., "Vorlesungen über technische Mechanik", BG Teubner , Bd. 5., pág. 132, Leipzig, Alemania (1907)
2. von Kármán, T., "Festigkeitsproblem im Maschinenbau", Encyk. D. Matemáticas. Wiss. IV , 311–385 (1910)
3. Cerdá, E.; Mahadevan, L. (19 de febrero de 2003). "Geometría y Física de las Arrugas". Cartas de revisión física . 90 (7). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 074302. Bibcode : 2003PhRvL..90g4302C. doi :10.1103/physrevlett.90.074302. hdl : 10533/174540 . ISSN  0031-9007. PMID  12633231.
4. David Harris (11 de febrero de 2011). "Enfoque: simplificar el papel arrugado". Enfoque de revisión física . vol. 27 . Consultado el 4 de febrero de 2020 .
5. "Teoría de la elasticidad". LD Landau, EM Lifshitz, (3.ª ed. ISBN 0-7506-2633-X ) 
6. laplaciano bidimensional , Δ , se define como ${\displaystyle \Delta w:={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}}$
7. Ecuaciones de placas de von Karman http://imechanica.org/node/6618 Consultado el martes 30 de julio de 2013 a las 14:20.
8. Ciarlet, PG (1990), Placas y uniones en multiestructuras elásticas , Springer-Verlag.
9. Ciarlet, Philippe G. (1980), "Una justificación de las ecuaciones de von Kármán", Archivo de Análisis y Mecánica Racional , 73 (4): 349–389, Bibcode :1980ArRMA..73..349C, doi :10.1007/ BF00247674, S2CID  120433309
10. Ciarlet, Philippe G. (1980), "Una justificación de las ecuaciones de von Kármán", Archivo de Análisis y Mecánica Racional , 73 (4): 349–389, Bibcode :1980ArRMA..73..349C, doi :10.1007/ BF00247674, S2CID  120433309
11. Por lo general, en este punto se asume que la tensión fuera del plano es cero .

Ver también

• Teoría de placas