Pila Deligne-Mumford

Tipo de objeto en geometría algebraica

En geometría algebraica , una pila de Deligne-Mumford es una pila F tal que

1. el morfismo diagonal es representable , cuasicompacto y separado. ${\displaystyle F\to F\times F}$
2. Existe un esquema U y un mapa sobreyectivo étale (llamado atlas). ${\displaystyle U\to F}$

Pierre Deligne y David Mumford introdujeron esta noción en 1969 cuando demostraron que los espacios de módulo de curvas estables de género aritmético fijo son pilas suaves y adecuadas de Deligne-Mumford.

Si el "étale" se debilita a " suave ", entonces dicha pila se llama pila algebraica (también llamada pila de Artin, en honor a Michael Artin ). Un espacio algebraico es Deligne-Mumford.

Un hecho clave acerca de una pila F de Deligne-Mumford es que cualquier X en , donde B es casi compacto, tiene solo un número finito de automorfismos. Una pila de Deligne-Mumford admite una presentación mediante un grupoide ; ver esquema grupoide . ${\displaystyle F(B)}$

Ejemplos

Pilas afines

Las pilas de Deligne-Mumford generalmente se construyen tomando el cociente de pila de alguna variedad donde los estabilizadores son grupos finitos. Por ejemplo, considere la acción del grupo cíclico en dado por Entonces el cociente de la pila es una pila suave y afín de Deligne-Mumford con un estabilizador no trivial en el origen. Si deseamos pensar en esto como una categoría formada por grupoides over, dado un esquema, la categoría over viene dada por. Tenga en cuenta que podríamos ser un poco más generales si consideramos la acción grupal en . ${\displaystyle C_{n}=\langle a\mid a^{n}=1\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ $${\displaystyle a\cdot \colon (x,y)\mapsto (\zeta _{n}x,\zeta _{n}y).}$$ ${\displaystyle [\mathbb {C} ^{2}/C_{n}]}$ ${\displaystyle ({\text{Sch}}/\mathbb {C} )_{fppf}}$ ${\displaystyle S\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s]/(s^{n}-1))\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])(S)\rightrightarrows {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])(S).}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\in {\text{Sch}}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} [\zeta _{n}])}$

Línea proyectiva ponderada

Surgen ejemplos no afines al tomar el cociente de pila para variedades/espacios proyectivos ponderados. Por ejemplo, el espacio se construye mediante el cociente de pila donde la acción está dada por. Observe que como este cociente no es de un grupo finito, tenemos que buscar puntos con estabilizadores y sus respectivos grupos de estabilizadores. Entonces si y solo si o y o , respectivamente, lo que muestra que los únicos estabilizadores son finitos, por lo tanto la pila es Deligne-Mumford. ${\displaystyle \mathbb {P} (2,3)}$ ${\displaystyle [\mathbb {C} ^{2}-\{0\}/\mathbb {C} ^{*}]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle \lambda \cdot (x,y)=(\lambda ^{2}x,\lambda ^{3}y).}$$ ${\displaystyle (x,y)=(\lambda ^{2}x,\lambda ^{3}y)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle \lambda =\zeta _{3}}$ ${\displaystyle \lambda =\zeta _{2}}$

curva apilada

Sin ejemplo

Un simple no ejemplo de una pila Deligne-Mumford es que tiene un estabilizador infinito. Las pilas de esta forma son ejemplos de pilas de Artin. ${\displaystyle [pt/\mathbb {C} ^{*}]}$

Referencias

• Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreductibilidad del espacio de curvas de un género dado", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (1): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, MR  0262240