tridecágono

Polígono con 13 aristas.

En geometría , un tridecágono o triskaidecágono o 13-gón es un polígono de trece lados .

tridecágono regular

Un tridecágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {13}.

La medida de cada ángulo interno de un tridecágono regular es aproximadamente 152,308 grados , y el área con longitud de lado a está dada por

${\displaystyle A={\frac {13}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}\simeq 13.1858\,a^{2}.}$

Construcción

Como 13 es un primo de Pierpont pero no un primo de Fermat , el tridecágono regular no se puede construir usando un compás y una regla . Sin embargo, se puede construir utilizando neusis o un trisector de ángulo.

La siguiente es una animación de una construcción neusis de un tridecágono regular con radio de circunferencia circunstante según Andrew M. Gleason , ^[1] basada en la trisección de ángulos mediante el Tomahawk (azul claro). ${\displaystyle {\overline {OA}}=12,}$

Un tridecágono regular (triskaidecagon) con radio de circunferencia circunstante como animación (1 min 44 s), trisección de ángulos mediante el Tomahawk (azul claro). Esta construcción se deriva de la siguiente ecuación: ${\displaystyle {\overline {OA}}=12}$

${\displaystyle 12\cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right)=2{\sqrt {26-2{\sqrt {13}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arctan \left({\frac {{\sqrt {3}}\left({\sqrt {13}}+1\right)}{7-{\sqrt {13}}}}\right)\right)+{\sqrt {13}}-1.}$

Aquí se muestra una construcción aproximada de un tridecágono regular usando regla y compás .

Una construcción tridecágono aproximada.

Otra posible animación de una construcción aproximada, también posible con el uso de regla y compás.

Tridecágono, construcción aproximada como animación (3 min 30 s)

Basado en el círculo unitario r = 1 [unidad de longitud]

• Longitud lateral construida en GeoGebra ${\displaystyle a=0.478631328575115\;[{\text{unit of length}}]}$
• Longitud del lado del tridecágono ${\displaystyle a_{\text{target}}=r\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)=0.478631328575115\ldots \;[{\text{unit of length}}]}$
• Error absoluto de la longitud del lado construido:

Hasta la precisión máxima de 15 decimales, el error absoluto es ${\displaystyle F_{a}=a-a_{\text{target}}=0.0\;[{\text{unit of length}}]}$

• Ángulo central construido del tridecágono en GeoGebra (muestra 13 decimales significativos, redondeados) ${\displaystyle \mu =27.6923076923077^{\circ }}$
• Ángulo central del tridecágono ${\displaystyle \mu _{\text{target}}=\left({\frac {360^{\circ }}{13}}\right)=27.{\overline {692307}}^{\circ }}$
• Error angular absoluto del ángulo central construido:

Hasta 13 decimales, el error absoluto es ${\displaystyle F_{\mu }=\mu -\mu _{\text{target}}=0.0^{\circ }}$

Ejemplo para ilustrar el error.

En un círculo circunscrito de radio r = mil millones de kilómetros (una distancia que la luz tardaría aproximadamente 55 minutos en recorrer), el error absoluto en la longitud del lado construido sería inferior a 1 mm.

Simetría

Simetrías de un tridecágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Los espejos azules se dibujan a través de los vértices y los bordes. Las órdenes de giro se dan en el centro.

El tridecágono regular tiene simetría Dih ₁₃ , orden 26. Dado que 13 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih ₁ , y 2 simetrías de grupo cíclico : Z ₁₃ y Z ₁ .

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el tridecágono. John Conway los etiqueta mediante letras y orden de grupo. ^[2] La simetría completa de la forma regular es r26 y ninguna simetría está etiquetada como a1 . Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares), y i cuando las líneas de reflexión pasan por ambas aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio están etiquetadas como g por sus órdenes de giro central.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g13 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .

uso numismático

El tridecágono regular se utiliza como forma de la moneda de 20 coronas checas . ^[3]

Polígonos relacionados

Un tridecagrama es un polígono estrellado de 13 lados . Hay cinco formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli : {13/2}, {13/3}, {13/4}, {13/5} y {13/6}. Como 13 es primo, ninguno de los tridecagramos son figuras compuestas.

Polígonos de Petrie

El tridecágono regular es el polígono de Petrie 12-simplex :

Referencias

1. Gleason, Andrew Mattei (marzo de 1988). "Trisección de ángulos, heptágono y triskaidecágono p. 192-194 (p. 193 Fig.4)" (PDF) . El Mensual Matemático Estadounidense . 95 (3): 186-194. doi :10.2307/2323624. Archivado desde el original (PDF) el 19 de diciembre de 2015 . Consultado el 24 de diciembre de 2015 .
2. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275– 278) 
3. Colin R. Bruce, II, George Cuhaj y Thomas Michael, Catálogo estándar de monedas del mundo de 2007 , Publicaciones Krause, 2006, ISBN 0896894290 , p. 81. 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Tridecágono". MundoMatemático .