El hacha de guerra es una herramienta de geometría para la trisección de ángulos , el problema de dividir un ángulo en tres partes iguales. Los límites de su forma incluyen un semicírculo y dos segmentos de línea , dispuestos de una manera que se asemeja a un hacha de guerra , un hacha de los nativos americanos. [1] [2] La misma herramienta también se ha llamado cuchillo del zapatero , [3] pero ese nombre se usa más comúnmente en geometría para referirse a una forma diferente, el arbelos (un triángulo curvilíneo delimitado por tres semicírculos mutuamente tangentes). [4]
La forma básica de un hacha de guerra consiste en un semicírculo (la "hoja" del hacha de guerra), con un segmento de línea de la longitud del radio que se extiende a lo largo de la misma línea que el diámetro del semicírculo (cuya punta es la "punta" del hacha de guerra), y con otro segmento de línea de longitud arbitraria (el "mango" del hacha de guerra) perpendicular al diámetro. Para convertirlo en una herramienta física, su mango y su punta pueden engrosarse, siempre que el segmento de línea a lo largo del mango continúe siendo parte del límite de la forma. A diferencia de una trisección relacionada con una escuadra de carpintero , el otro lado del mango engrosado no necesita ser paralelo a este segmento de línea. [1]
En algunas fuentes se utiliza un círculo completo en lugar de un semicírculo, [5] o el tomahawk también se engrosa a lo largo del diámetro de su semicírculo, [6] pero estas modificaciones no hacen ninguna diferencia en la acción del tomahawk como trisector.
Para utilizar el hacha de guerra para trisecar un ángulo , se coloca con la línea del mango tocando el vértice del ángulo, con la hoja dentro del ángulo, tangente a uno de los dos rayos que forman el ángulo, y con la punta tocando el otro rayo del ángulo. Una de las dos líneas de trisecado se encuentra entonces en el segmento del mango, y la otra pasa por el punto central del semicírculo. [1] [6] Si el ángulo a trisecar es demasiado agudo en relación con la longitud del mango del hacha de guerra, puede que no sea posible encajar el hacha de guerra en el ángulo de esta manera, pero esta dificultad se puede solucionar duplicando repetidamente el ángulo hasta que sea lo suficientemente grande para que el hacha de guerra lo triseque, y luego biseccionando repetidamente el ángulo trisecado la misma cantidad de veces que se duplicó el ángulo original. [2]
Si el vértice del ángulo está etiquetado como A , el punto de tangencia de la hoja es B , el centro del semicírculo es C , la parte superior del mango es D y la punta es E , entonces los triángulos △ ACD y △ ADE son ambos triángulos rectángulos con una base compartida y una altura igual, por lo que son triángulos congruentes . Debido a que los lados AB y BC del triángulo △ ABC son respectivamente una tangente y un radio del semicírculo, están en ángulos rectos entre sí y △ ABC también es un triángulo rectángulo; tiene la misma hipotenusa que △ ACD y las mismas longitudes de los lados BC = CD , por lo que nuevamente es congruente con los otros dos triángulos, lo que demuestra que los tres ángulos formados en el vértice son iguales. [5] [6]
Aunque el tomahawk puede construirse usando un compás y una regla , [7] y puede usarse para trisecar un ángulo, no contradice el teorema de Pierre Wantzel de 1837 de que los ángulos arbitrarios no pueden trisecarse solo con un compás y una regla sin marcar. [8] La razón de esto es que colocar el tomahawk construido en la posición requerida es una forma de neusis que no está permitida en las construcciones con compás y regla. [9]
Se desconoce quién inventó el hacha de guerra, [1] [10] pero las primeras referencias a ella proceden de la Francia del siglo XIX. Data al menos de 1835, cuando apareció en un libro de Claude Lucien Bergery , Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers (3.ª edición). [1] Otra publicación temprana de la misma trisección fue realizada por Henri Brocard en 1877; [11] Brocard, a su vez, atribuye su invención a unas memorias de 1863 del oficial naval francés Pierre-Joseph Glotin . [12] [13] [14]