Órbita congelada

Órbita en la que se ha minimizado la deriva natural

En mecánica orbital , una órbita congelada es una órbita para un satélite artificial en la que las perturbaciones se han minimizado mediante una selección cuidadosa de los parámetros orbitales . Las perturbaciones pueden resultar de la deriva natural debido a la forma del cuerpo central u otros factores. Normalmente, la altitud de un satélite en una órbita congelada permanece constante en el mismo punto en cada revolución durante un largo período de tiempo. ^[1] Las variaciones en la inclinación , la posición del ábside de la órbita y la excentricidad se han minimizado al elegir valores iniciales de modo que sus perturbaciones se cancelen. ^[2] Esto da como resultado una órbita estable a largo plazo que minimiza el uso de combustible para mantener la posición .

Antecedentes y motivación

En el caso de las naves espaciales en órbita alrededor de la Tierra, los cambios en los parámetros orbitales son causados ​​por la achatamiento de la Tierra , la atracción gravitatoria del Sol y la Luna, la presión de la radiación solar y la resistencia del aire . ^[3] Estas se denominan fuerzas perturbadoras y deben contrarrestarse mediante maniobras para mantener la nave espacial en la órbita deseada. En el caso de una nave espacial geoestacionaria , se requieren maniobras de corrección del orden de 40 a 50 m/s (89 a 112 mph) por año para contrarrestar las fuerzas gravitacionales del Sol y la Luna que alejan el plano orbital del plano ecuatorial de la Tierra. ^{[ cita requerida ]}

En el caso de las naves espaciales heliosincrónicas , se puede utilizar el desplazamiento intencional del plano orbital (denominado "precesión") en beneficio de la misión. Para estas misiones, se utiliza una órbita casi circular con una altitud de 600 a 900 km. Se selecciona una inclinación apropiada (97,8 a 99,0 grados) ^[4] de modo que la precesión del plano orbital sea igual a la velocidad de movimiento de la Tierra alrededor del Sol, aproximadamente 1 grado por día.

Como resultado, la nave espacial pasará sobre puntos de la Tierra que tengan la misma hora del día durante cada órbita. Por ejemplo, si la órbita está "en cuadratura con el Sol", el vehículo siempre pasará sobre puntos en los que sean las 6 a. m. en el tramo hacia el norte y las 6 p. m. en el tramo hacia el sur (o viceversa). Esto se llama órbita "amanecer-anochecer". Alternativamente, si el Sol se encuentra en el plano orbital, el vehículo siempre pasará sobre lugares donde sea mediodía en el tramo hacia el norte y lugares donde sea medianoche en el tramo hacia el sur (o viceversa). Estas órbitas se denominan órbitas "mediodía-medianoche". Estas órbitas son deseables para muchas misiones de observación de la Tierra, como el clima, la obtención de imágenes y la cartografía.

La fuerza perturbadora causada por el achatamiento de la Tierra perturbará en general no sólo el plano orbital sino también el vector de excentricidad de la órbita. Sin embargo, existe una órbita casi circular para la cual no hay perturbaciones periódicas seculares/largas del vector de excentricidad, sólo perturbaciones periódicas con un período igual al período orbital. Una órbita de este tipo es entonces perfectamente periódica (excepto por la precesión del plano orbital) y por lo tanto se la llama "órbita congelada". Este tipo de órbita es a menudo la opción preferida para una misión de observación de la Tierra en la que se deben realizar observaciones repetidas de la misma área de la Tierra en condiciones de observación lo más constantes posibles.

Los satélites de observación de la Tierra ERS-1, ERS-2 y Envisat operan en órbitas congeladas heliosincrónicas.

Órbitas lunares congeladas

Órbitas bajas

A través de un estudio de muchos satélites en órbita lunar , los científicos han descubierto que la mayoría de las órbitas lunares bajas (LLO) son inestables. ^[5] Se han identificado cuatro órbitas lunares congeladas con una inclinación de 27°, 50°, 76° y 86°. La NASA lo describió en 2006:

Los mascons lunares hacen que la mayoría de las órbitas lunares bajas sean inestables... Cuando un satélite pasa a 50 o 60 millas de altura, los mascons lo empujan hacia adelante, hacia atrás, hacia la izquierda, hacia la derecha o hacia abajo; la dirección exacta y la magnitud del tirón dependen de la trayectoria del satélite. A falta de impulsos periódicos de los cohetes a bordo para corregir la órbita, la mayoría de los satélites liberados en órbitas lunares bajas (por debajo de unas 60 millas o 100 km) acabarán chocando contra la Luna... [Existen] varias "órbitas congeladas" en las que una nave espacial puede permanecer en una órbita lunar baja indefinidamente. Se producen en cuatro inclinaciones: 27°, 50°, 76° y 86°, siendo la última casi sobre los polos lunares. La órbita del subsatélite PFS-1 del Apolo 15, de vida relativamente larga , tenía una inclinación de 28°, que resultó ser cercana a la inclinación de una de las órbitas congeladas, pero el menos afortunado PFS-2 tenía una inclinación orbital de solo 11°. ^[6]

Órbitas elípticas inclinadas

En órbitas lunares con altitudes de entre 500 y 20 000 km (310 y 12 430 mi), la gravedad de la Tierra provoca perturbaciones en la órbita . Un trabajo publicado en 2005 mostró una clase de órbitas lunares elípticas inclinadas resistentes a esto y, por lo tanto, también congeladas. ^[7]

Teoría clásica

La teoría clásica de órbitas congeladas se basa esencialmente en el análisis analítico de perturbaciones para satélites artificiales de Dirk Brouwer, realizado bajo contrato con la NASA y publicado en 1959. ^[8]

Este análisis se puede realizar de la siguiente manera:

En el artículo análisis de perturbación orbital se muestra que la perturbación secular del polo orbital a partir del término del modelo geopotencial es ${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\,}$ ${\displaystyle J_{2}\,}$

que puede expresarse en términos de elementos orbitales así:

Haciendo un análisis similar para el término (correspondiente al hecho de que la tierra tiene forma ligeramente de pera ), se obtiene ${\displaystyle J_{3}\,}$

que puede expresarse en términos de elementos orbitales como

En el mismo artículo se muestra que la perturbación secular de los componentes del vector de excentricidad causada por es: ${\displaystyle J_{2}\,}$

dónde:

• El primer término es la perturbación en el plano del vector de excentricidad causada por el componente en el plano de la fuerza perturbadora.
• El segundo término es el efecto de la nueva posición del nodo ascendente en el nuevo plano orbital, siendo el plano orbital perturbado por el componente de fuerza fuera del plano.

Haciendo el análisis para el término se obtiene para el primer término, es decir para la perturbación del vector de excentricidad a partir del componente de fuerza en el plano ${\displaystyle J_{3}\,}$

Para inclinaciones en el rango de 97,8 a 99,0 grados, el valor dado por ( 6 ) es mucho menor que el valor dado por ( 3 ) y puede ignorarse. De manera similar, los términos cuadráticos de los componentes del vector de excentricidad en ( 8 ) pueden ignorarse para órbitas casi circulares, es decir, ( 8 ) puede aproximarse con ${\displaystyle \Delta \Omega \,}$

Añadiendo la contribución ${\displaystyle J_{3}\,}$ ${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (1,\ 0)}$

a ( 7 ) se obtiene

Ahora la ecuación diferencial muestra que el vector de excentricidad describirá un círculo centrado en el punto ; el argumento polar del vector de excentricidad aumenta con radianes entre órbitas consecutivas. ${\displaystyle \left(\ 0,\ -{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \right)\,}$ ${\displaystyle -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\,}$

Como

${\displaystyle \mu =398600.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,}$

se obtiene una órbita polar ( ) con la que el centro del círculo está en y el cambio del argumento polar es 0,00400 radianes por órbita. ${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$ ${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$ ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$

La última cifra significa que el vector de excentricidad habrá descrito un círculo completo en 1569 órbitas. Seleccionar el vector de excentricidad media inicial como el vector de excentricidad media permanecerá constante para órbitas sucesivas, es decir, la órbita está congelada porque las perturbaciones seculares del término dado por ( 7 ) y del término dado por ( 9 ) se cancelan. ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$ ${\displaystyle J_{2}\,}$ ${\displaystyle J_{3}\,}$

En términos de elementos orbitales clásicos, esto significa que una órbita congelada debería tener los siguientes elementos medios:

${\displaystyle e=-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,}$

${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }\,}$

Teoría moderna

La teoría moderna de órbitas congeladas se basa en el algoritmo dado en un artículo de 1989 por Mats Rosengren. ^[9]

Para ello se utiliza la expresión analítica ( 7 ) para actualizar iterativamente el vector de excentricidad inicial (media) para obtener que el vector de excentricidad (media) varias órbitas más tarde calculado por la propagación numérica precisa tome exactamente el mismo valor. De esta manera la perturbación secular del vector de excentricidad causada por el término se utiliza para contrarrestar todas las perturbaciones seculares, no solo aquellas (dominantes) causadas por el término. Una de esas perturbaciones seculares adicionales que de esta manera se puede compensar es la causada por la presión de la radiación solar , esta perturbación se analiza en el artículo " Análisis de perturbaciones orbitales (nave espacial) ". ${\displaystyle J_{2}\,}$ ${\displaystyle J_{3}\,}$

Aplicando este algoritmo al caso discutido anteriormente, es decir, una órbita polar ( ) ignorando todas las fuerzas perturbadoras excepto las y las fuerzas para la propagación numérica, se obtiene exactamente el mismo vector de excentricidad promedio óptimo que con la "teoría clásica", es decir . ${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$ ${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$ ${\displaystyle J_{2}\,}$ ${\displaystyle J_{3}\,}$ ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$

Cuando también incluimos las fuerzas debidas a los términos zonales superiores, el valor óptimo cambia a . ${\displaystyle (0,\ 0.001285)\,}$

Suponiendo además una presión solar razonable (un "área de sección transversal" de 0,05 m ² /kg , la dirección del sol en dirección hacia el nodo ascendente) el valor óptimo para el vector de excentricidad promedio se convierte en que corresponde a: , es decir, el valor óptimo ya no es . ${\displaystyle (0.000069,\ 0.001285)\,}$ ${\displaystyle \omega =\ 87^{\circ }\,}$ ${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }}$

Este algoritmo se implementa en el software de control de órbita utilizado para los satélites de observación de la Tierra ERS-1, ERS-2 y Envisat.

Derivación de las expresiones en forma cerrada para laYo3perturbación

La principal fuerza perturbadora que se debe contrarrestar para que la órbita se congele es la " fuerza", es decir, la fuerza gravitatoria causada por una simetría imperfecta norte-sur de la Tierra, y la "teoría clásica" se basa en la expresión en forma cerrada para esta " perturbación". Con la "teoría moderna" esta expresión explícita en forma cerrada no se utiliza directamente, pero sin duda vale la pena ^{[¿ para quién? ]} derivarla. La derivación de esta expresión se puede hacer de la siguiente manera: ${\displaystyle J_{3}\,}$ ${\displaystyle J_{3}\,}$

El potencial de un término zonal es simétrico rotacionalmente alrededor del eje polar de la Tierra y la fuerza correspondiente se encuentra completamente en un plano longitudinal con un componente en la dirección radial y un componente con el vector unitario ortogonal a la dirección radial hacia el norte. Estas direcciones se ilustran en la Figura 1. ${\displaystyle F_{r}\ {\hat {r}}\,}$ ${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$

Figura 1: Los vectores unitarios ${\displaystyle {\hat {\phi }},\ {\hat {\lambda }},\ {\hat {r}}}$

En el artículo Modelo geopotencial se muestra que estos componentes de fuerza causados ​​por el término son ${\displaystyle J_{3}\,}$

Para poder aplicar las relaciones derivadas del artículo Análisis de perturbación orbital (nave espacial), el componente de fuerza debe dividirse en dos componentes ortogonales y como se ilustra en la figura 2 ${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$ ${\displaystyle F_{t}\ {\hat {t}}}$ ${\displaystyle F_{z}\ {\hat {z}}}$

Figura 2: El vector unitario ortogonal a la dirección del movimiento y al polo orbital . El componente de fuerza está marcado como "F" ${\displaystyle {\hat {t}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$

Sea un sistema de coordenadas rectangular con origen en el centro de la Tierra (en el centro del elipsoide de referencia ) tales que apunten en dirección norte y tales que estén en el plano ecuatorial de la Tierra con apuntando hacia el nodo ascendente , es decir hacia el punto azul de la Figura 2. ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {n}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {a}}\,}$

Los componentes de los vectores unitarios

${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,}$

que componen el sistema de coordenadas local (que se ilustran en la figura 2), y expresan su relación con , son las siguientes: ${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$ ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$

${\displaystyle r_{a}=\cos u\,}$

${\displaystyle r_{b}=\cos i\ \sin u\,}$

${\displaystyle r_{n}=\sin i\ \sin u\,}$

${\displaystyle t_{a}=-\sin u\,}$

${\displaystyle t_{b}=\cos i\ \cos u\,}$

${\displaystyle t_{n}=\sin i\ \cos u\,}$

${\displaystyle z_{a}=0\,}$

${\displaystyle z_{b}=-\sin i\,}$

${\displaystyle z_{n}=\cos i\,}$

¿Dónde está el argumento polar de los vectores unitarios ortogonales relativos y en el plano orbital? ${\displaystyle u\,}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {g}}={\hat {a}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,}$

En primer lugar

${\displaystyle \sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,}$

donde es el ángulo entre el plano del ecuador y (entre los puntos verdes de la figura 2) y de la ecuación (12) del artículo Modelo geopotencial se obtiene ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$

En segundo lugar, la proyección de la dirección norte, , sobre el plano abarcado por es ${\displaystyle {\hat {n}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$

${\displaystyle \sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}}\,}$

y esta proyección es

${\displaystyle \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,}$

donde es el vector unitario ortogonal a la dirección radial hacia el norte ilustrada en la figura 1. ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$

De la ecuación ( 11 ) vemos que

${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}})\,}$

y por lo tanto:

En el artículo Análisis de perturbación orbital (nave espacial) se muestra además que la perturbación secular del polo orbital es ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

Introduciendo la expresión para ( 14 ) en ( 15 ) se obtiene ${\displaystyle F_{z}\,}$

La fracción es ${\displaystyle {\frac {p}{r}}\,}$

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

dónde

${\displaystyle e_{g}=\ e\ \cos \omega }$

${\displaystyle e_{h}=\ e\ \sin \omega }$

son los componentes del vector de excentricidad en el sistema de coordenadas. ${\displaystyle {\hat {g}},\ {\hat {h}}\,}$

Como todas las integrales de tipo

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

son cero si no ambos y son pares, vemos que ${\displaystyle n\,}$ ${\displaystyle m\,}$

y

Resulta que

dónde

${\displaystyle {\hat {g}}\,}$y son los vectores base del sistema de coordenadas rectangulares en el plano de la órbita de referencia de Kepler con en el plano ecuatorial hacia el nodo ascendente y es el argumento polar relativo a este sistema de coordenadas ecuatoriales ${\displaystyle {\hat {h}}\,}$ ${\displaystyle {\hat {g}}\,}$ ${\displaystyle u\,}$

${\displaystyle f_{z}\,}$es el componente de fuerza (por unidad de masa) en la dirección del polo de la órbita ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

En el artículo Análisis de perturbación orbital (nave espacial) se muestra que la perturbación secular del vector de excentricidad es

dónde

• ${\displaystyle {\hat {r}},{\hat {t}}\,}$es el sistema de coordenadas local habitual con un vector unitario dirigido lejos de la Tierra ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$- el componente de velocidad en dirección ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$- el componente de velocidad en dirección ${\displaystyle {\hat {t}}\,}$

Introduciendo la expresión para ( 12 ) y ( 13 ) en ( 20 ) se obtiene ${\displaystyle F_{r},\ F_{t}\,}$

Usando eso

${\displaystyle {\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ -\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac {p}{r}}}}$

La integral anterior se puede dividir en 8 términos:

Dado que

${\displaystyle {\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ {\hat {h}}}$

${\displaystyle {\hat {t}}=-\sin u\ {\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}}$

Nosotros obtenemos

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

y que todas las integrales de tipo

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

son cero si no ambos y son pares: ${\displaystyle n\,}$ ${\displaystyle m\,}$

Término 1

Término 2

Término 3

Término 4

Término 5

Término 6

Término 7

Término 8

Como

Resulta que

Referencias

1. Eagle, C. David. "Frozen Orbit Design" (PDF) . Mecánica orbital con Numerit . Archivado desde el original (PDF) el 21 de noviembre de 2011. Consultado el 5 de abril de 2012 .
2. Chobotov, Vladimir A. (2002). Mecánica orbital (3.ª ed.). Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica . pág. 221.
3. Ley, Wilfried; Wittmann, Klaus; Willi, Hallmann (2019). Handbuch der Raumfahrt (5. ed.). Carl Hanser Verlag München. pag. 109.ISBN​ 978-3-446-45429-3.
4. Ley, Wilfried; Wittmann, Klaus; Hallmann, Willi. Handbuch der Raumfahrttechnik (5 ed.). Carl Hanser Verlag München. pag. 560.
5. Órbitas congeladas alrededor de la Luna. 2003
6. Bell, Trudy E. (6 de noviembre de 2006). Phillips, Tony (ed.). "Bizarre Lunar Orbits". Science@NASA . NASA . Archivado desde el original el 2021-12-04 . Consultado el 2017-09-08 .
7. Ely, Todd (julio de 2005). "Constelaciones estables de órbitas lunares elípticas inclinadas congeladas". Revista de Ciencias Astronáuticas . 53 (3): 301–316. Bibcode :2005JAnSc..53..301E. doi :10.1007/BF03546355.
8. Dirk Brouwer: "Solución del problema del satélite artificial sin resistencia", Astronomical Journal , 64 (1959)
9. Mats Rosengren (1989). "Técnica mejorada para el control pasivo de la excentricidad (AAS 89-155)". Avances en las ciencias astronáuticas . Vol. 69. AAS/NASA. Código Bibliográfico :1989ommd.proc...49R.

Lectura adicional

• ESTUDIO DE ELEMENTOS ORBITALES EN LAS PROXIMIDADES DE UNA ÓRBITA CONGELADA, incluyendo el arrastre atmosférico y los términos J ₅