ángulo inscrito

Ángulo formado en el interior de un círculo.

El ángulo inscrito θ círculo.

  Ángulo central 2 θ

  Ángulo inscrito θ en el arco mayor

  Ángulo inscrito suplementario θ en arco menor

En geometría , un ángulo inscrito es el ángulo que se forma en el interior de un círculo cuando dos cuerdas se cruzan en el círculo. También se puede definir como el ángulo subtendido en un punto del círculo por dos puntos dados del círculo.

De manera equivalente, un ángulo inscrito está definido por dos cuerdas del círculo que comparten un punto final.

El teorema del ángulo inscrito relaciona la medida de un ángulo inscrito con la del ángulo central que subtiende el mismo arco .

El teorema del ángulo inscrito aparece como Proposición 20 en el Libro 3 de los Elementos de Euclides .

Teorema

Declaración

Para los puntos fijos A y B , el conjunto de puntos M en el plano para los cuales el ángulo ∠ AMB es igual a  α es un arco de círculo. La medida de ∠ AOB , donde O es el centro del círculo, es  2 α .

El teorema del ángulo inscrito establece que un ángulo θ inscrito en un círculo es la mitad del ángulo central 2 θ que subtiende el mismo arco en el círculo. Por lo tanto, el ángulo no cambia cuando su vértice se mueve a diferentes posiciones en el círculo.

Prueba

Ángulos inscritos donde una cuerda es un diámetro

Caso: Una cuerda es un diámetro

Sea O el centro de un círculo, como en el diagrama de la derecha. Elige dos puntos del círculo y llámalos V y A. Dibuje la línea OV y extiéndala más allá de O para que corte el círculo en el punto B que es diametralmente opuesto al punto V. Dibuja un ángulo cuyo vértice sea el punto V y cuyos lados pasen por los puntos A, B.

Dibuja la línea OA . El ángulo ∠ BOA es un ángulo central ; llámalo θ . Las líneas OV y OA son radios del círculo, por lo que tienen longitudes iguales. Por lo tanto, el triángulo △ VOA es isósceles , por lo que el ángulo ∠ BVA (el ángulo inscrito) y el ángulo ∠ VAO son iguales; denotemos cada uno de ellos como ψ .

Los ángulos ∠ BOA y ∠ AOV son suplementarios y su suma es un ángulo recto (180°), por lo que el ángulo ∠ AOV mide 180° − θ .

Los tres ángulos del triángulo △ VOA deben sumar 180° :

$${\displaystyle (180^{\circ }-\theta )+\psi +\psi =180^{\circ }.}$$

Sumar a ambos lados produce ${\displaystyle \theta -180^{\circ }}$

$${\displaystyle 2\psi =\theta .}$$

Ángulos inscritos con el centro del círculo en su interior.

Caso: Centro interior al ángulo

  φ ₀ = ∠ DVC , θ ₀ = ∠ DOC

  φ ₁ = ∠ EVD , θ ₁ = ∠ EOD

  φ ₂ = ∠ EVC , θ ₂ = ∠ EOC

Dado un círculo cuyo centro es el punto O , elija tres puntos V, C, D en el círculo. Dibuja las líneas VC y VD : el ángulo ∠ DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuja la línea OV y extiéndela más allá del punto O para que cruce el círculo en el punto E. El ángulo ∠ DVC subtiende el arco DC en el círculo.

Supongamos que este arco incluye el punto E dentro de él. El punto E es diametralmente opuesto al punto V. Los ángulos ∠ DVE , ∠ EVC también son ángulos inscritos, pero ambos ángulos tienen un lado que pasa por el centro del círculo, por lo que se les puede aplicar el teorema de la Parte 1 anterior.

Por lo tanto,

$${\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}$$

entonces deja

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle DVE,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)}$$

Dibuja las líneas OC y OD . El ángulo ∠ DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos ∠ DOE y ∠ EOC , y

$${\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}$$

Dejar

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle DOE,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)}$$

De la Primera Parte sabemos eso y aquello . Combinando estos resultados con la ecuación (2) se obtiene ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})}$$

por lo tanto, por la ecuación (1),

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

Ángulos inscritos con el centro del círculo en su exterior.

Caso: Centro exterior al ángulo

  ψ ₀ = ∠ DVC , θ ₀ = ∠ DOC

  ψ ₁ = ∠ EVD , θ ₁ = ∠ EOD

  ψ ₂ = ∠ EVC , θ ₂ = ∠ EOC

El caso anterior se puede ampliar para cubrir el caso en el que la medida del ángulo inscrito es la diferencia entre dos ángulos inscritos como se analiza en la primera parte de esta prueba.

Dado un círculo cuyo centro es el punto O , elija tres puntos V, C, D en el círculo. Dibuja las líneas VC y VD : el ángulo ∠ DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuja la línea OV y extiéndela más allá del punto O para que cruce el círculo en el punto E. El ángulo ∠ DVC subtiende el arco DC en el círculo.

Supongamos que este arco no incluye el punto E dentro de él. El punto E es diametralmente opuesto al punto V. Los ángulos ∠ EVD , ∠ EVC también son ángulos inscritos, pero ambos ángulos tienen un lado que pasa por el centro del círculo, por lo que se les puede aplicar el teorema de la Parte 1 anterior.

Por lo tanto,

$${\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD}$$

entonces deja

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle EVD,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)}$$

Dibuja las líneas OC y OD . El ángulo ∠ DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos ∠ EOD y ∠ EOC , y

$${\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.}$$

Dejar

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle EOD,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)}$$

De la Primera Parte sabemos eso y aquello . Combinando estos resultados con la ecuación (4) se obtiene ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}}$$

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

Gif animado de la demostración del teorema del ángulo inscrito. El triángulo grande inscrito en el círculo se subdivide en tres triángulos más pequeños, todos isósceles porque sus dos lados superiores son radios del círculo. Dentro de cada triángulo isósceles, el par de ángulos de la base son iguales entre sí y miden la mitad de 180° menos el ángulo del vértice en el centro del círculo. La suma de estos ángulos base isósceles produce el teorema, es decir, que el ángulo inscrito, ψ , es la mitad del ángulo central, θ .

Corolario

Por un argumento similar, el ángulo entre una cuerda y la recta tangente en uno de sus puntos de intersección es igual a la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda. Véase también Rectas tangentes a circunferencias .

Aplicaciones

Prueba sin palabras usando el teorema de los ángulos inscritos de que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios:
2𝜃 + 2𝜙 = 360° ∴ 𝜃 + 𝜙 = 180°

El teorema del ángulo inscrito se utiliza en muchas pruebas de la geometría euclidiana elemental del plano . Un caso especial del teorema es el teorema de Tales , que establece que el ángulo subtendido por un diámetro es siempre de 90°, es decir, un ángulo recto. Como consecuencia del teorema, los ángulos opuestos de los cuadriláteros cíclicos suman 180°; por el contrario, cualquier cuadrilátero en el que esto sea cierto puede inscribirse en un círculo. Como otro ejemplo, el teorema del ángulo inscrito es la base de varios teoremas relacionados con la potencia de un punto con respecto a un círculo. Además, permite demostrar que cuando dos cuerdas se cruzan en un círculo, los productos de las longitudes de sus piezas son iguales.

Teoremas de ángulos inscritos para elipses, hipérbolas y parábolas.

También existen teoremas de ángulos inscritos para elipses, hipérbolas y parábolas. Las diferencias esenciales son las medidas de un ángulo. (Un ángulo se considera un par de líneas que se cruzan).

• Elipse
• Hipérbola
• Parábola

Referencias

• Ogilvy, CS (1990). Excursiones en Geometría . Dover. págs. 17-23. ISBN 0-486-26530-7.
• Gellert W, Küstner H, Hellwich M, Kästner H (1977). La enciclopedia concisa de matemáticas de VNR . Nueva York: Van Nostrand Reinhold. pag. 172.ISBN​ 0-442-22646-2.
• Moise, Edwin E. (1974). Geometría elemental desde un punto de vista avanzado (2ª ed.). Lectura: Addison-Wesley. págs. 192-197. ISBN 0-201-04793-4.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ángulo inscrito". MundoMatemático .
• Relación entre el ángulo central y el ángulo inscrito
• Mascando ángulos inscritos en cut-the-knot
• Arco Ángulo Central Con animación interactiva.
• Arco Ángulo periférico (inscrito) Con animación interactiva
• Teorema del ángulo central del arco Con animación interactiva
• En bookofproofs.github.io