Álgebra de Nichols

En álgebra, el álgebra de Nichols de un espacio vectorial trenzado (con el trenzado a menudo inducido por un grupo finito) es un álgebra de Hopf trenzada que lleva el nombre del matemático Warren Nichols. Asume el papel de la parte cuántica de Borel de un álgebra de Hopf puntiaguda ^[1], como los grupos cuánticos y sus conocidos truncamientos de dimensión finita. Las álgebras de Nichols se pueden utilizar inmediatamente para escribir nuevos grupos cuánticos utilizando el biproducto de Radford . ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

La clasificación de todas las álgebras de Nichols e incluso de todos los grupos cuánticos asociados (ver Solicitud) ha progresado rápidamente, aunque todavía queda mucho por hacer: el caso de un grupo abeliano se resolvió en 2005, ^[2] pero por lo demás este fenómeno parece ser muy raro, con un puñado de ejemplos conocidos y poderosos criterios de negación establecidos (ver más abajo). Véase también esta Lista de álgebras de Nichols de dimensión finita .

La teoría de dimensión finita se rige en gran medida por una teoría de sistemas de raíces y diagramas de Dynkin , sorprendentemente similares a los de las álgebras de Lie semisimples . ^[3] Una introducción completa se encuentra en la conferencia de Heckenberger. ^[4]

Definición

Considere un módulo V de Yetter-Drinfeld en la categoría Yetter-Drinfeld . Este es especialmente un espacio vectorial trenzado, consulte la categoría monoidal trenzado . ${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$

El álgebra tensorial de un módulo de Yetter-Drinfeld es siempre un álgebra de Hopf trenzado . El coproducto y la unidad de se definen de tal manera que los elementos de son primitivos, es decir, para todos ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

${\displaystyle \epsilon (v)=0}$

El álgebra de Nichols puede definirse de forma única mediante varias caracterizaciones equivalentes , algunas de las cuales se centran en la estructura del álgebra de Hopf y otras son más combinatorias. De todos modos, determinar explícitamente el álgebra de Nichols (incluso decidir si es de dimensión finita) puede ser muy difícil y está abierto en varios casos concretos (ver más abajo).

Definición I: Fórmula combinatoria

Sea un espacio vectorial trenzado , esto significa que hay una acción del grupo trenzado sobre for any , donde la transposición actúa como . Claramente hay un homomorfismo para el grupo simétrico, pero esto no admite una sección, ni la acción en general factoriza sobre esta. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {B} _{n}}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (i,i+1)}$ ${\displaystyle id\otimes \cdots \otimes \tau \otimes id\cdots id}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {B} _{n}\to \mathbb {S} _{n}}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

Sin embargo, considere una sección de teoría de conjuntos que envía transposición a transposición y elementos arbitrarios a través de cualquier expresión reducida . Esto no es un homomorfismo de grupo, pero el teorema de Matsumoto (teoría de grupos) nos dice que la acción de cualquier on está bien definida independientemente de la elección de una expresión reducida. Finalmente el álgebra de Nichols es entonces ${\displaystyle s:\mathbb {S} _{n}\to \mathbb {B} _{n}}$ ${\displaystyle s(\sigma )}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {W}}_{n}:=\sum _{\sigma \in \mathbb {S} _{n}}s(\sigma ):\;\;V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}\qquad {\text{(quantum symmetrizer or quantum shuffle map)}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V):=\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes n}/Ker({\mathfrak {W}}_{n})}$

Esta definición fue dada más tarde (pero de forma independiente) por Woronowicz. Tiene la desventaja de ser raramente útil en demostraciones algebraicas, pero representa una intuición por derecho propio y tiene la ventaja didáctica de ser muy explícito e independiente de la notación de un álgebra de Hopf.

Definición II: Primitivas prescritas

El álgebra de Nichols es el único álgebra de Hopf en la categoría trenzada generada por los elementos dados , tales que son los únicos elementos primitivos. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ ${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ ${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ ${\displaystyle V\subset {\mathfrak {B}}(V)}$

Esta es la definición original de Nichols y hace muy transparente el papel del álgebra de Nichols como noción fundamental en la clasificación de las álgebras de Hopf.

Definición III: Cociente universal

Dejar . Existe un ideal mayor con las siguientes propiedades: ${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subset TV}$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subset \bigoplus _{n=2}^{\infty }T^{n}V,}$

${\displaystyle \Delta ({\mathfrak {I}})\subset {\mathfrak {I}}\otimes TV+TV\otimes {\mathfrak {I}}}$(esto es automático)

El álgebra de Nichols es

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V):=TV/{\mathfrak {I}}}$

Definición IV: Emparejamiento no degenerado

El emparejamiento único de Hopf factoriza un emparejamiento de Hopf no degenerado y este hecho caracteriza al álgebra de Nichols de manera única. Esta caracterización teóricamente muy útil se debe a Lusztig. ${\displaystyle V\otimes TV^{*}\to k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\to k}$

Definición V: Derivados sesgados

Esta es una forma algo explícita de la definición anterior: Elegida una base homogénea (es decir, coacción/graduación ), se pueden definir derivaciones sesgadas , utilizando la propiedad universal del álgebra tensorial: ${\displaystyle v_{i}\in V}$ ${\displaystyle v_{i}\mapsto g_{i}\otimes v_{i}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}(1)=0\quad \partial _{i}(v_{j})=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \partial _{i}(ab)=a\partial _{i}(b)+\partial _{i}(a)(g_{i}.b)}$

Entonces el álgebra de Nichols es el cociente del ideal homogéneo más grande que no contiene constantes y es invariante en todas las derivaciones . En términos generales, se pueden buscar elementos en el núcleo de todas las derivaciones sesgadas y dividirlos; luego busque nuevamente todos los elementos que ahora están en el núcleo de todas las derivadas asimétricas y divídalos también, etc. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle TV}$

Ejemplos

Damos ejemplos de álgebras de Nichols de dimensión finita. Sobre la característica p , este efecto ya puede aparecer en la situación no trenzada, es decir, las envolventes universales truncadas de álgebras de Lie restringidas en p. En la característica cero y con un trenzado proveniente de un grupo abeliano, esto parece ser una ocurrencia igualmente frecuente (aunque más complicada, ver Clasificación). Para G nonabeliano, por otro lado, hasta ahora sólo se conocen muy pocos ejemplos, y poderosos criterios de negación excluyen a muchos grupos (ver Clasificación).

ejemplos unidimensionales

Como primer ejemplo, considere el módulo unidimensional de Yetter-Drinfeld sobre el álgebra de Grupo Hopf H = k [ Z /2 Z ] con el grupo cíclico denotado multiplicativamente (como es habitual en álgebra) y generado por algo de g . ${\displaystyle V_{\pm }=kx}$

• Tome como H -coacción (resp. Z /2 Z -graduación) en : ${\displaystyle V_{\pm }}$ ${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$
• Tome como acción H (resp. acción Z /2 Z ) en : ${\displaystyle V_{\pm }}$ ${\displaystyle g\otimes x\mapsto \pm x}$
• Así el trenzado es ${\displaystyle x\otimes x\rightarrow \pm x\otimes x}$

Entonces, dependiendo del signo elegido, las álgebras de Nichols son:

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{+})=k[x]\qquad {\mathfrak {B}}(V_{-})=k[x]/(x^{2})}$

Tenga en cuenta que el primero es el esperado (el caso no trenzado), mientras que el segundo se ha truncado hasta el punto de que es de dimensión finita. De manera similar, V _q sobre un grupo cíclico superior con g actuando por algún q en k tiene álgebra de Nichols si q ≠ 1 es una primitiva n -ésima raíz de la unidad, y en caso contrario. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]/(x^{n})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]}$

(desde una perspectiva física, el V ₊ corresponde a un bosón, mientras que V _– representa un fermión restringido por el principio de exclusión de Pauli ; analogía que se repite cuando se consideran conmutadores trenzados, siendo (anti)conmutadores en estos casos, ver también Supersimetría como cuántica grupo y discusión)

Ejemplos de rango superior a los gabelianos: conmutadores trenzados

Los siguientes ejemplos muestran la interacción de dos elementos básicos: Considere el módulo bidimensional de Yetter-Drinfeld V _0,1 = kx ⊕ ky sobre el grupo del álgebra de Hopf H = k [ Z /2 Z × Z /2 Z ] con el método de Klein. cuatro grupos denotados multiplicativamente y generados por algunos g,h .

• Tomar como H -coacción/graduación en V _0,1 : y ${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$ ${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$
• Tome como acción H (resp. Z /2 acción Z ) en V _0,1 :
  • ${\displaystyle g\otimes x\mapsto -x}$
  • ${\displaystyle g\otimes y\mapsto +y}$
  • ${\displaystyle h\otimes y\mapsto -y}$
  • ${\displaystyle h\otimes x\mapsto \pm x}$con "+" para V ₀ (simétrico) y "–" para V ₁ (asimétrico)
• Así el trenzado es
  • ${\displaystyle x\otimes x\rightarrow -x\otimes x}$
  • ${\displaystyle y\otimes y\rightarrow -y\otimes y}$
  • ${\displaystyle x\otimes y\rightarrow y\otimes x}$
  • ${\displaystyle y\otimes x\rightarrow \pm x\otimes y}$

Entonces, dependiendo de la elección del signo, las álgebras de Nichols son de dimensión 4 y 8 (aparecen en la clasificación bajo ): ${\displaystyle q_{12}q_{21}=\pm 1}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{0})=k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy+yx),}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{1})=k[x]/(x^{2},y^{2},xyxy+yxyx)}$

Allí se puede ver el sorprendente parecido con las álgebras de Lie semisimples : en el primer caso, el conmutador trenzado [ x , y ] (aquí: anticonmutador) es cero, mientras que en el segundo, la cadena raíz es más larga [ x , [ x , y ]] = 0. Por tanto, estos dos pertenecen a los diagramas de Dynkin y A ₂ . ${\displaystyle A_{1}\cup A_{1}}$

También se construyen ejemplos con cadenas de raíz aún más largas V ₂ , V ₃ correspondientes a diagramas de Dynkin B ₂ , G ₂ (pero tampoco superiores).

Envoltura universal de álgebras de Lie, grupos cuánticos

Las álgebras de Nichols son probablemente más conocidas por ser la parte de Borel de los grupos cuánticos y sus generalizaciones. Más precisamente dejar

${\displaystyle V:=x_{1}\mathbb {C} \oplus x_{2}\mathbb {C} \oplus \cdots \oplus x_{n}\mathbb {C} }$

ser el módulo diagonal de Yetter-Drinfel sobre un grupo abeliano con trenzado ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} ^{n}=\langle K_{1},\ldots ,K_{n}\rangle }$

${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}\qquad q_{ij}:=q^{(\alpha _{i},\alpha _{j})}}$

¿Dónde está la forma Killing de un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) , entonces el álgebra de Nichols es la parte positiva del pequeño grupo cuántico de Lusztig? ${\displaystyle (\alpha _{i},\alpha _{j})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)=u_{q}({\mathfrak {g}})^{+}}$

Incluye álgebras de Super-Lie

Hay más álgebras diagonales de Nichols que álgebras de Lie en la lista de Heckenberger, y la teoría del sistema de raíces es sistemática, pero más complicada (ver más abajo). En particular, contiene también la clasificación de Super-Lie-Algebras (ejemplo a continuación), así como ciertas álgebras de Lie y Super-Lie-Algebras que solo aparecen en una característica finita específica.

Por tanto, la teoría del álgebra de Nichols y la teoría del sistema de raíces proporcionan un marco unificado para estos conceptos.

Trenzados no diagonales, grupos nobelianos

Hasta ahora sólo se conocen un puñado de álgebras de Nichols de dimensión finita sobre k = C. Se sabe que en este caso cada módulo irreducible de Yetter-Drinfeld corresponde a la clase conjugada del grupo (junto con una representación irreducible del centralizador de g ). Un módulo arbitrario de Yetter-Drinfeld es una suma directa de tal , el número de sumandos se llama rango ; cada sumando corresponde al ánodo en el diagrama de Dynkin (ver más abajo) . Tenga en cuenta que para los grupos abelianos anteriores, los sumandos irreducibles son unidimensionales, por lo tanto, el rango y la dimensión coinciden. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$

Ejemplos particulares incluyen el álgebra de Nichols asociada a las clases de conjugación de reflexiones en un grupo de Coxeter, están relacionadas con las álgebras de Fomin Kirilov. Se sabe que estas álgebras de Nichols son de dimensión finita, pero el caso ya está abierto desde 2000. Se puede construir otra clase de ejemplos a partir del caso abeliano mediante un plegado de automorfismos de diagrama. ${\displaystyle \mathbb {S} _{3},\mathbb {S} _{4},\mathbb {S} _{5},\mathbb {D} _{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{6}}$

Consulte aquí para obtener una lista de álgebras de Nichols de dimensión finita según nuestro conocimiento.

Sistema raíz

Una característica muy notable es que para cada álgebra de Nichols (bajo condiciones de finitud suficientes) existe un sistema de raíces generalizado con un conjunto de raíces , que controla el álgebra de Nichols. Esto se ha descubierto en ^[5] para álgebras de Nichols diagonales en términos del bicarácter y en ^[6] para álgebras de Nichols semisimples generales. A diferencia de los sistemas de raíces cristalográficas ordinarios conocidos a partir de las álgebras de Lie, el mismo sistema de raíces generalizado puede poseer varias cámaras de Weyl diferentes , correspondientes a elecciones no equivalentes de conjuntos de raíces positivas y raíces positivas simples , que tienen diferentes matrices de Cartan y diferentes diagramas de Dynkin. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle q_{ij}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi =\Phi ^{+}\cup -\Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$

Las diferentes cámaras de Weyl corresponden de hecho a diferentes álgebras de Nichols no isomorfas que se denominan equivalentes de Weyl. Los grupos cuánticos son muy especiales con respecto al hecho de que aquí todas las partes de Borel son isomorfas; sin embargo, incluso en este caso, el operador de reflexión de Lusztig no es un isomorfismo del álgebra de Hopf. ${\displaystyle T_{s}}$

Definición de grupoide de Weyl y sistema radicular generalizado.

Sea donde está el rango, con base formal . ${\displaystyle I=\{1,\ldots n\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$

Primero analizamos los gráficos de Cartan generalizados como en: ^[6]

• Una matriz de Cartan generalizada es una matriz integral tal que ${\displaystyle c_{ij},\;\;i,j\in I}$
  • ${\displaystyle c_{ii}=2,\quad c_{ij}<0}$
  • ${\displaystyle c_{ij}=0\Rightarrow c_{ji}=0}$
• Un gráfico de Cartan es un conjunto de matrices de Cartan parametrizadas por un conjunto de objetos/cámaras , junto con un morfismo (cambio de objeto) tal que ${\displaystyle c_{ij}^{a},\;\forall a\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r_{i}:A\to A}$
  • ${\displaystyle r_{i}^{2}=id}$
  • ${\displaystyle c_{ij}^{a}=c_{ij}^{r_{i}(a)}}$
• Definir mapas

${\displaystyle s_{i}^{a}:\mathbb {Z} ^{I}\to \mathbb {Z} ^{I}}$

${\displaystyle s_{i}^{a}:\;\alpha _{j}\mapsto \alpha _{j}-c_{ij}^{a}\alpha _{i}}$

(tenga en cuenta que la literatura sobre álgebra de Lie también tiene la convención de transposición para , por ejemplo, en el libro de Humphrey) ${\displaystyle c_{ij}}$

• El grupoide de Weyl es la categoría con objetos y morfismos formalmente los grupos generados por el ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Hom(a,b)}$ ${\displaystyle s_{i}^{a}:a\to r_{i}(a)}$
• El conjunto de raíces reales es el conjunto. ${\displaystyle \Phi _{a}^{+}}$ ${\displaystyle \{id^{a}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}(\alpha _{j})\,|\,k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\dots ,i_{k},j\in I\}\subseteq \mathbb {N} ^{I}}$
• Definir , ${\displaystyle m_{i,j}^{a}=|\Phi ^{a}\cap (\mathbb {N} _{0}\alpha _{i}+\mathbb {N} _{0}\alpha _{j})|}$
• Entonces un sistema raíz de tipo es un conjunto ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (c_{i,j}^{a})_{a\in A}}$
  • ${\displaystyle \Phi ^{a}=\Phi _{+}^{a}\cup -\Phi _{+}^{a}}$con ${\displaystyle \Phi _{+}^{a}=\Phi ^{a}\cap \mathbb {N} _{0}^{I}}$
  • ${\displaystyle \Phi ^{a}\cap \mathbb {Z} \alpha _{i}=\{\alpha _{i},-\alpha _{i}\}}$
  • ${\displaystyle s_{i}^{a}(\Phi ^{a})=\Phi ^{r_{i}(a)}}$
  • Para con finito ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}^{a}}(a)=a}$

Equivalencia a las disposiciones de hiperplano cristalográfico

En ^[7] se demostró que los grupoides de Weyl tienen una correspondencia 1:1 con las disposiciones cristalográficas del hiperplano . Estos son un conjunto de hiperplanos a través del origen y opciones de vectores normales, de modo que para cada cámara simplicial delimitada por hiperplanos con vectores normales, todos los demás vectores normales elegidos se pueden expresar como una combinación lineal integral de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha _{1}^{\perp },\ldots \alpha _{n}^{\perp }}$ ${\displaystyle \alpha ^{\perp }}$ ${\displaystyle \alpha _{i}^{\perp }}$

En ^[8] se ha clasificado el conjunto de todas las disposiciones finitas de hiperplanos cristalográficos (y, por tanto, los grupoides finitos de Weyl o los sistemas de raíces finitos generalizados). Aparte de las disposiciones de reflexión, hay una familia infinita más y en total 74 excepciones con rango hasta . ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$ ${\displaystyle 8}$

Ejemplo de rango 3 (también un álgebra de súper Lie)

La disposición de hiperplano cristalográfico más pequeña, el grupoide de Weyl, sistema de raíces generalizado, que no es del tipo de Lie ordinario, es el siguiente. Aparece para un álgebra de Nichols diagonal, incluso para un álgebra de super Lie. La disposición del hiperplano se puede construir a partir de un cuboctaedro (un sólido platónico):

Tiene raíces ( resp. hiperplanos, en las imágenes que delimitan triángulos equiláteros o diagonales en cuadrados, en el álgebra de súper Lie raíces pares o impares). Tiene visiblemente diferentes tipos de cámaras de Weyl (triángulos equiláteros o triángulos rectángulos) con diferentes matrices de Cartan en las que las raíces en términos de raíces simples son las siguientes: ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \Phi _{+}^{a}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)\}}$

En la imagen la cámara blanca, p. ej. con base . Claramente, el diagrama de Dynkin de este tipo de cámara es un triángulo simplemente entrelazado, ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$ ${\displaystyle a\in A}$

La reflexión nos lleva al segundo tipo de cámara. ${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle \Phi _{+}^{a'}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,2,1)\}}$

En la imagen la cámara gris, p. ej. con base . El diagrama de Dynkin de este tipo de cámara es justo (pero una raíz más). ${\displaystyle \alpha _{1}',\alpha _{2}',\alpha _{3}'=\alpha _{12},-\alpha _{2},\alpha _{23}}$ ${\displaystyle a'\in A}$ ${\displaystyle A_{2}}$

Este sistema de raíces es el miembro más pequeño de una serie infinita. Las imágenes son de ^[9] , donde el ejemplo también se analiza en profundidad.

Clasificación (Detalles)

Sobre grupos abelianos

Las álgebras de Nichols de dimensión finita sobre grupos abelianos en k = C fueron clasificadas por Istvan Heckenberger ^[2] en los años 2004-2005 mediante la clasificación de sistemas de raíces aritméticas y diagramas de Dynkin generalizados ; donde Kharchenko ya había demostrado que poseían una base Poincaré-Birkhoff-Witt de conmutadores iterados (trenzados). La única información que se requiere es la matriz de trenzado, que es diagonal en esta configuración (ver ejemplos arriba)

${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}}$

Aunque en su mayoría sólo aparecen los casos clásicos de Cartan , existen varios diagramas exóticos posibles para números primos pequeños, como un triángulo.

Un diagrama de Dynkin de rango 3 asociado a un álgebra de Nichols de dimensión finita

En estos casos, las reflexiones de Weyl de un diagrama pueden no caer en el "mismo" diagrama, sino en el llamado equivalente de Weyl . Esta es también la razón exacta por la que estos casos exóticos poseen un grupoide de Weyl en lugar de un grupo habitual.

Los generadores y las relaciones de un álgebra de Nichols no están fácilmente disponibles en el sistema de raíces. Más bien, hay que realizar un trabajo tedioso con las palabras de Lynond. Esto se ha hecho completamente en ^[10]

Criterios negativos: subracks abelianos

Especialmente para V irreducible no hay submódulos; sin embargo, se puede utilizar la noción más abstracta de subrack que sólo refleja el trenzado de dos elementos contenidos. En varios artículos, Nicolas Andruskiewitsch et al. dio criterios negativos que excluyeron a los grupos de poseer álgebras de Nichols (indescomponibles). Sus técnicas se pueden resumir a grandes rasgos ^[11] (¡más detalles!) :

Considere un subrack que sea abeliano, verifique qué representación se puede heredar del rack más grande y busque en la Lista de Heckenbegers ^[2]

Este ansatz impone a veces fuertes condiciones, especialmente en el trenzado de cualquier elemento x de grado g consigo mismo (por ejemplo, el primer ejemplo anterior muestra q ≠ 1). Tenga en cuenta que debido a que g es central en el centralizador, actúa sobre la representación irreducible por un escalar como consecuencia del lema de Schur ; de ahí esta autotrenzado resp. Módulo sub-Yetter-Drinfeld de 1 atenuación / espacio vectorial trenzado / subrack de 1 atenuación en diagonal

${\displaystyle x\otimes x\;{\stackrel {\tau }{\longmapsto }}\;q(x\otimes x)\;\;\Longleftrightarrow \;\;g.x=qx}$

Generalmente se utiliza para excluir g , por ejemplo, de orden impar y/o χ de dimensión alta: ^[12]

• Si g es real (es decir, conjugado con su inverso), entonces q = –1 (especialmente g tiene que ser de orden par)
• Si g es cuasi real (es decir, conjugado a alguna j -ésima potencia), entonces
  • ya sea q = –1 como arriba
  • o y la representación χ es unidimensional con q = ζ ₃ ​​una tercera raíz de la unidad primitiva (especialmente el orden de g es divisible por 3) ${\displaystyle g^{(j^{2})}=g}$
• Si, por el contrario, g es una involución y algo de centralización h = tgt, entonces los valores propios de h (visto como matriz) que actúan están fuertemente restringidos. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$

Sistemas de raíces sobre grupos no abelianos.

La existencia de un sistema de raíces también en el caso nobeliano ^[3] implica de manera bastante inmediata las siguientes implicaciones muy fuertes:

Se implican consecuencias inmediatas para las álgebras de Nichols de rango 2 que g, h desconmutan ; entonces: ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\left({\mathcal {O}}_{[g]}\oplus {\mathcal {O}}_{[h]}\right)}$

• Los conmutadores trenzados [ x , y ] de elementos no son todos cero . ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{[g]}\;y\in {\mathcal {O}}_{[h]}}$
• El espacio de los conmutadores trenzados forma un módulo sub-Yetter-Drinfeld irreducible (es decir, la raíz es única como en el caso del álgebra de Lie) ${\displaystyle ad_{{\mathcal {O}}_{[g]}}{\mathcal {O}}_{[h]}=[{\mathcal {O}}_{[g]},{\mathcal {O}}_{[h]}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[gh]}}$
• Están "cerca de viajar" ${\displaystyle \;(gh)^{2}=(hg)^{2}}$

Esto implica, aproximadamente, que las álgebras de Nichols de dimensión finita sobre grupos no abelianos tienen que ser (si es que lo tienen) de rango muy bajo o el grupo tiene que ser cercano a abeliano.

Criterios negativos: subracks nobelianos (tipo D)

Como los subracks abelianos utilizan la clasificación estructural de Heckenberger para álgebras de Nichols sobre grupos abelianos (ver arriba), también se pueden considerar subracks no abelianos. Si dicho subbastidor se descompone en varios pedazos (porque ahora hay menos elementos presentes para conjugar), entonces se aplican los resultados anteriores en los sistemas de raíces.

Un caso específico ^[12] donde esto tiene mucho éxito es el tipo D , es decir, para ${\displaystyle r,s\in [g]\;}$

• r , s no conjugados en el subgrupo generado ${\displaystyle \langle r,s\rangle \;}$
• ${\displaystyle (rs)^{2}\neq (sr)^{2}\;}$

en este caso, el álgebra de Nichols del subrack es de dimensión infinita y también lo es toda el álgebra de Nichols.

Grupos conocidos que no admiten álgebras de Nichols de dimensión finita

Ambas técnicas de negación anteriores han sido muy fructíferas para negar álgebras de Nichols de dimensión finita (indescomponibles): ^[12]

• para grupos alternos ^[13] ${\displaystyle \mathbb {A} _{n\geq 5}}$
• para grupos simétricos excepto una breve lista de ejemplos ^[13] ${\displaystyle \mathbb {S} _{n\geq 6}}$
• algún grupo de tipo Mentira (fuentes, lista completa?)
• todos los grupos esporádicos excepto una breve lista de posibilidades (resp. clases de conjugación en notación ATLAS) que son todos reales o j = 3-cuasireal:
  • ...para el grupo Fischer las clases ${\displaystyle Fi_{22}\;}$ ${\displaystyle 22A,22B\;}$
  • ...para el baby monster grupo B las clases ${\displaystyle 16C,\;16D,\;32A,\;32B,\;32C,\;32D,\;34A,\;46A,\;46B\;}$
  • ...para el grupo de monstruos M las clases ${\displaystyle 32A,\;32B,\;46A,\;46B,\;92A,\;92B,\;94A,\;94B\;}$

Por lo general, una gran cantidad de clases de conjugación son de tipo D ("no lo suficientemente conmutativas"), mientras que las demás tienden a poseer suficientes subracks abelianos y pueden excluirse mediante su consideración. Varios casos deben hacerse a mano. Tenga en cuenta que los casos abiertos tienden a tener centralizadores muy pequeños (generalmente cíclicos) y representaciones χ (generalmente la representación de signo unidimensional). Excepciones significativas son las clases de conjugación de orden 16, 32 que tienen como centralizadores p-grupos de orden 2048 resp. 128 y actualmente no hay restricciones sobre χ.

Aplicaciones

El álgebra de Nichols aparece como parte cuántica de Borel en la clasificación de álgebras de Hopf puntiagudas de dimensión finita ^[1] (sin números primos pequeños) de Nicolas Andruskiewitsch y Hans-Jürgen Schneider, especialmente grupos cuánticos . Por ejemplo, y sus conocidos truncamientos para q una raíz de unidad se descomponen como un álgebra de Lie semisimple ordinaria en E (parte de Borel), F dual y K (álgebra de Cartan): ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})\cong \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbb {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

Aquí, como en la teoría clásica, V es un espacio vectorial de dimensión n (el rango de ) abarcado por las E , y σ (el llamado giro cociclo) crea el vínculo no trivial entre las E y las F. Tenga en cuenta que, a diferencia de la teoría clásica, pueden aparecer más de dos componentes vinculados. Ver cit. loc. para un ejemplo exótico con 4 partes del tipo A ₃ . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Diagrama de Dynkin generalizado para un álgebra de Hopf puntiaguda que une cuatro copias A3

La clasificación reduce aproximadamente un ejemplo hipotético dado a un biproducto de Radford del grupo (coradical) y la parte (conectada), que contiene el álgebra de Nichols, tomando el "objeto graduado" correspondiente (eliminando todos los enlaces). Con el conocimiento de la clasificación anterior de las álgebras de Nichols de dimensión finita, los autores demuestran que no aparecen elementos adicionales en la parte conectada (generación en grado 1) y finalmente describen todos los levantamientos posibles como "líneas de puntos" en diagramas de Dynkin generalizados .

Recientemente, esta correspondencia se ha ampliado enormemente para identificar ciertas llamadas subálgebras coideales que tienen una correspondencia 1:1 ^[14] con el grupo Weyl , que se ha conjeturado anteriormente como "coincidencia numérica" ​​y se ha demostrado manualmente en ciertos casos.

Referencias

^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15] [ 16] [17 ] [18] [19]}

1. Andruskiewitsch, Schneider: Álgebras de Hopf puntiagudas , Nuevas direcciones en álgebras de Hopf, 1–68, Matemáticas. Ciencia. Res. Inst. Publ., 43, Universidad de Cambridge. Prensa, Cambridge, 2002.
2. Heckenberger: Álgebras de Nichols de tipo diagonal y sistemas de raíces aritméticas , Tesis de habilitación 2005.
3. Heckenberger, Schneider: Sistema de raíces y gruppoide de Weyl para álgebras de Nichols , 2008.
4. Heckenberger: Nichols Algebras (Notas de conferencia), 2008 http://www.mi.uni-koeln.de/~iheckenb/na.pdf
5. Heckenberger: El grupoide de Weyl de un álgebra de Nichols de tipo diagonal , Invent. Matemáticas. 164 (2006), 175-188.
6. Andruskiewitsch, Heckenberger, Schneider: El álgebra de Nichols de un módulo semisimple de Yetter-Drinfeld , Amer. J. Matemáticas. 132 (2010), núm. 6, 1493-1547
7. Cuntz: Arreglos cristalográficos: grupoides de Weyl y arreglos simpliciales , Bull. Matemáticas de Londres. Soc. 43 (2011), nº 4, 734-744.
8. Cuntz, Heckenberger: grupoides finitos de Weyl , J. Reine Angew. Matemáticas. 702 (2015), 77-108.
9. Cuntz, Lentner: Un complejo simplicial de álgebras de Nichols , preimpresión en https://arxiv.org/abs/1503.08117.
10. Iván Ezequiel Angiono: Presentación de generadores y relaciones de álgebras de Nichols de tipo diagonal y órdenes convexos sobre sistemas de raíces. J. Eur. Matemáticas. Soc. 17 (2015), núm. 10, 2643—2671
11. Andruskiewitsch, Fantino, Grana, Vendramin: Sobre álgebras de Nichols asociadas a bastidores simples , 2010.
12. Andruskiewitsch, Fantino, Grana, Vendramin: álgebras de Hopf puntiagudas sobre grupos simples esporádicos , 2010.
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