Curvatura seccional

En geometría de Riemann , la curvatura seccional es una de las formas de describir la curvatura de variedades de Riemann . La curvatura seccional K (σ _p ) depende de un subespacio lineal bidimensional σ _p del espacio tangente en un punto p de la variedad. Se puede definir geométricamente como la curvatura gaussiana de la superficie que tiene el plano σ _p como plano tangente en p , obtenida a partir de geodésicas que comienzan en p en las direcciones de σ _p (en otras palabras, la imagen de σ _p bajo la mapa exponencial en p ). La curvatura seccional es una función de valor real en el paquete 2- Grassmanniano sobre la variedad.

La curvatura seccional determina completamente el tensor de curvatura .

Definición

Dada una variedad de Riemann y dos vectores tangentes linealmente independientes en el mismo punto, u y v , podemos definir

${\displaystyle K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}}$

Aquí R es el tensor de curvatura de Riemann , definido aquí por la convención. Algunas fuentes usan la convención opuesta, en cuyo caso K(u,v) debe definirse en el numerador en lugar de ^[1]. ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}$ ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{[v,u]}w,}$ ${\displaystyle \langle R(u,v)u,v\rangle }$ ${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle .}$

Tenga en cuenta que la independencia lineal de u y v obliga a que el denominador en la expresión anterior sea distinto de cero, de modo que K(u,v) esté bien definido. En particular, si u y v son ortonormales , entonces la definición toma la forma simple

${\displaystyle K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle .}$

Es sencillo comprobar que si son linealmente independientes y abarcan el mismo subespacio lineal bidimensional del espacio tangente que , entonces se puede considerar la curvatura seccional como una función de valor real cuya entrada es un subespacio lineal bidimensional de a espacio tangente. ${\displaystyle u,v\in T_{p}M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle x,y\in T_{p}M}$ ${\displaystyle K(u,v)=K(x,y).}$

Definiciones alternativas

Alternativamente, la curvatura seccional se puede caracterizar por la circunferencia de pequeños círculos. Sea un plano bidimensional en . Sea lo suficientemente pequeño como la imagen bajo el mapa exponencial en del círculo unitario en , y sea la longitud de . Entonces se puede demostrar que ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle C_{P}(r)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l_{P}(r)}$ ${\displaystyle C_{P}(r)}$

${\displaystyle l_{P}(r)=2\pi r\left(1-{r^{2} \over 6}\sigma (P)+O(r^{3})\right),}$

como , para algún número . Este número en es la curvatura seccional de en . ^[2] ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$

Colectores con curvatura seccional constante.

Se dice que una variedad de Riemann tiene "curvatura constante " si para todos los subespacios lineales bidimensionales y para todos ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=\kappa }$ ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M.}$

El lema de Schur establece que si (M,g) es una variedad de Riemann conexa con dimensión al menos tres, y si existe una función tal que para todos los subespacios lineales bidimensionales y para todos, entonces f debe ser constante y, por tanto, (M,g) g) tiene curvatura constante. ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=f(p)}$ ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M,}$

Una variedad de Riemann con curvatura seccional constante se llama forma espacial . Si denota el valor constante de la curvatura seccional, entonces el tensor de curvatura se puede escribir como ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle R(u,v)w=\kappa {\big (}\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v{\big )}}$

para cualquier ${\displaystyle u,v,w\in T_{p}M.}$

Dado que cualquier métrica de Riemann es paralela con respecto a su conexión de Levi-Civita, esto muestra que el tensor de Riemann de cualquier espacio de curvatura constante también es paralelo. El tensor de Ricci viene entonces dado por y la curvatura escalar es. En particular, cualquier espacio de curvatura constante es Einstein y tiene curvatura escalar constante. ${\displaystyle \operatorname {Ric} =(n-1)\kappa g}$ ${\displaystyle n(n-1)\kappa .}$

Los ejemplos del modelo

Dado un número positivo define ${\displaystyle a,}$

• ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},g_{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ser la estructura riemanniana estándar
• ${\displaystyle \left(S^{n}(a),g_{S^{n}(a)}\right)}$ser la esfera dada por el retroceso de la estructura riemanniana estándar por el mapa de inclusión ${\displaystyle S^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:|x|=a\right\}}$ ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}(a)\to \mathbb {R} ^{n+1}}$
• ${\displaystyle \left(H^{n}(a),g_{H^{n}(a)}\right)}$ser la pelota con ${\displaystyle H^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|<a\right\}}$ ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}=a^{2}{\frac {{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}\left(dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}\right)-\left(x_{1}dx_{1}+\cdots +x_{n}dx_{n}\right)^{2}}{{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}^{2}}}.}$

En la terminología habitual, estas variedades de Riemann se denominan espacio euclidiano , n-esfera y espacio hiperbólico . Aquí, el punto es que cada una es una variedad Riemanniana suave y completamente conectada con curvatura constante. Para ser precisos, la métrica de Riemann tiene curvatura constante 0, la métrica de Riemann tiene curvatura constante y la métrica de Riemann tiene curvatura constante ${\displaystyle g_{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ ${\displaystyle 1/a^{2},}$ ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}}$ ${\displaystyle -1/a^{2}.}$

Además, estos son los ejemplos "universales" en el sentido de que si es una variedad de Riemann completa suave, conexa y simplemente conexa con curvatura constante, entonces es isométrica con respecto a uno de los ejemplos anteriores; el ejemplo particular está dictado por el valor de la curvatura constante de acuerdo con las curvaturas constantes de los ejemplos anteriores. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g,}$

Si es una variedad de Riemann completa, suave y conectada con curvatura constante, pero no se supone que esté simplemente conectada, entonces considere el espacio de cobertura universal con la métrica de Riemann de retroceso. Dado que es, según principios topológicos, un mapa de cobertura, la variedad de Riemann es localmente isométrico a , por lo que es una variedad de Riemann completa, suave, conexa y simplemente conexa con la misma curvatura constante que debe ser entonces isométrica uno de los ejemplos de modelos anteriores. Tenga en cuenta que las transformaciones de la plataforma de la cubierta universal son isometrías relativas a la métrica ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \pi :{\widetilde {M}}\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }g.}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ({\widetilde {M}},\pi ^{\ast }g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }g.}$

El estudio de las variedades de Riemann con curvatura negativa constante se denomina geometría hiperbólica .

Escalada

Sea una variedad suave y sea un número positivo. Considere la variedad de Riemann. El tensor de curvatura, como un mapa multilineal, no se modifica con esta modificación. Sean vectores linealmente independientes en . Entonces ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (M,\lambda g).}$ ${\displaystyle T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M,}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle K_{\lambda g}(v,w)={\frac {\lambda g\left(R^{\lambda g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{\lambda g}^{2}|w|_{\lambda g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{\lambda g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {g\left(R^{g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{g}^{2}|w|_{g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}K_{g}(v,w).}$

Entonces, la multiplicación de la métrica por multiplica todas las curvaturas seccionales por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{-1}.}$

Teorema de Toponogov

El teorema de Toponogov ofrece una caracterización de la curvatura seccional en términos de cómo aparecen los triángulos geodésicos "gordos" en comparación con sus contrapartes euclidianas. La intuición básica es que, si un espacio tiene una curvatura positiva, entonces el borde de un triángulo opuesto a algún vértice dado tenderá a alejarse de ese vértice, mientras que si un espacio tiene una curvatura negativa, entonces el borde opuesto del triángulo tenderá a curvarse hacia afuera. doblar hacia el vértice.

Más precisamente, sea M una variedad riemanniana completa y sea xyz un triángulo geodésico en M (un triángulo cada uno de cuyos lados es una geodésica que minimiza la longitud). Finalmente, sea m el punto medio de la geodésica xy . Si M tiene curvatura no negativa, entonces para todos los triángulos suficientemente pequeños

${\displaystyle d(z,m)^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}}$

donde d es la función de distancia en M . El caso de igualdad se cumple precisamente cuando la curvatura de M desaparece, y el lado derecho representa la distancia desde un vértice al lado opuesto de un triángulo geodésico en el espacio euclidiano que tiene las mismas longitudes de lados que el triángulo xyz . Esto precisa el sentido en el que los triángulos son "más gruesos" en espacios curvados positivamente. En espacios con curvatura no positiva, la desigualdad va en sentido contrario:

${\displaystyle d(z,m)^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}.}$

Si se conocen límites más estrictos para la curvatura seccional, entonces esta propiedad se generaliza para dar un teorema de comparación entre triángulos geodésicos en M y aquellos en una forma espacial adecuada simplemente conexa; véase el teorema de Toponogov . Las consecuencias simples de la versión indicada aquí son:

• Una variedad de Riemann completa tiene curvatura seccional no negativa si y solo si la función es 1- cóncava para todos los puntos p . ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$
• Una variedad de Riemann completa y simplemente conexa tiene curvatura seccional no positiva si y sólo si la función es 1- convexa . ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$

Colectores con curvatura seccional no positiva

En 1928, Élie Cartan demostró el teorema de Cartan-Hadamard : si M es una variedad completa con curvatura seccional no positiva, entonces su cobertura universal es difeomorfa a un espacio euclidiano . En particular, es asférico : los grupos de homotopía para i ≥ 2 son triviales. Por lo tanto, la estructura topológica de una variedad completa con curvatura no positiva está determinada por su grupo fundamental . El teorema de Preissman restringe el grupo fundamental de variedades compactas curvadas negativamente. La conjetura de Cartan-Hadamard establece que la desigualdad isoperimétrica clásica debería cumplirse en todos los espacios simplemente conexos de curvatura no positiva, que se denominan variedades de Cartan-Hadamard . ${\displaystyle \pi _{i}(M)}$

Colectores con curvatura seccional positiva.

Se sabe poco sobre la estructura de las variedades con curvatura positiva. El teorema del alma (Cheeger y Gromoll 1972; Gromoll y Meyer 1969) implica que una variedad completa no compacta con curvatura no negativa es difeomorfa a un paquete normal sobre una variedad compacta con curvatura no negativa. En cuanto a colectores compactos con curvatura positiva, hay dos resultados clásicos:

• Del teorema de Myers se deduce que el grupo fundamental de tal variedad es finito.
• Del teorema de Synge se deduce que el grupo fundamental de tal variedad en dimensiones pares es 0, si es orientable o no. En dimensiones impares, una variedad con curvatura positiva siempre es orientable. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Además, hay relativamente pocos ejemplos de variedades compactas con curvatura positiva, lo que deja muchas conjeturas (por ejemplo, la conjetura de Hopf sobre si existe una métrica de curvatura seccional positiva en ). La forma más típica de construir nuevos ejemplos es el siguiente corolario de las fórmulas de curvatura de O'Neill: si es una variedad de Riemann que admite una acción isométrica libre de un grupo de Lie G, y M tiene curvatura seccional positiva en todos los 2 planos ortogonales a la órbitas de G, entonces la variedad con la métrica cociente tiene curvatura seccional positiva. Este hecho permite construir los espacios clásicos con curvatura positiva, siendo esferas y espacios proyectivos, así como estos ejemplos (Ziller 2007): ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M/G}$

• Los espacios de Berger y . ${\displaystyle B^{7}=SO(5)/SO(3)}$ ${\displaystyle B^{13}=SU(5)/\operatorname {Sp} (2)\cdot \mathbb {S} ^{1}}$
• Los espacios de Wallach (o las variedades de banderas homogéneas): , y . ${\displaystyle W^{6}=SU(3)/T^{2}}$ ${\displaystyle W^{12}=\operatorname {Sp} (3)/\operatorname {Sp} (1)^{3}}$ ${\displaystyle W^{24}=F_{4}/\operatorname {Spin} (8)}$
• Los espacios de Aloff-Wallach . ${\displaystyle W_{p,q}^{7}=SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{p},z^{q},{\overline {z}}^{p+q}\right)}$
• Los espacios de Eschenburg ${\displaystyle E_{k,l}=\operatorname {diag} \left(z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}}\right)\backslash SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}}\right)^{-1}.}$
• Los espacios de Bazaikin , donde . ${\displaystyle B_{p}^{13}=\operatorname {diag} \left(z_{1}^{p_{1}},\dots ,z_{1}^{p_{5}}\right)\backslash U(5)/\operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}}$ ${\displaystyle A\in \operatorname {Sp} (2)\subset SU(4)}$

Colectores con curvatura seccional no negativa.

Cheeger y Gromoll demostraron su teorema del alma que establece que cualquier variedad no compacta completa curvada no negativamente tiene una subvariedad compacta totalmente convexa tal que es difeomorfa al paquete normal de . A esto se le llama el alma de . En particular, este teorema implica que es homotópico de su alma que tiene una dimensión menor que . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

Ver también

• tensor de curvatura de Riemann
• Curvatura de variedades de Riemann
• Curvatura
• Curvatura seccional holomorfa

Referencias

1. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Sección 3.A.2.
2. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, sección 3.D.4.

• Cheeger, Jeff ; Ebin, David G. (2008). Teoremas de comparación en geometría de Riemann (reimpresión revisada de la edición original de 1975). Providencia, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing . doi :10.1090/chel/365. ISBN 978-0-8218-4417-5. SEÑOR  2394158. Zbl  1142.53003.
• Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972), "Sobre la estructura de variedades completas de curvatura no negativa", Annals of Mathematics , segunda serie, Annals of Mathematics, 96 (3): 413–443, doi :10.2307/1970819, JSTOR  1970819, MR  0309010.
• Gallot, Sylvestre ; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004). Geometría riemanniana . Universitext (Tercera ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-18855-8. ISBN 3-540-20493-8. SEÑOR  2088027. Zbl  1068.53001.
• Gromoll, Detlef; Meyer, Wolfgang (1969), "Sobre variedades abiertas completas de curvatura positiva", Annals of Mathematics , segunda serie, Annals of Mathematics, 90 (1): 75–90, doi :10.2307/1970682, JSTOR  1970682, MR  0247590, S2CID  122543838.
• Milnor, J. (1963). Teoría de Morse . Anales de estudios de matemáticas. vol. 51. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . Señor  0163331. Zbl  0108.10401.
• O'Neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad . Matemática Pura y Aplicada. vol. 103. Nueva York: Academic Press, Inc. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1. SEÑOR  0719023. Zbl  0531.53051.
• Petersen, Peter (2016). Geometría riemanniana . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 171 (Tercera edición de la edición original de 1998). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. SEÑOR  3469435. Zbl  1417.53001.
• Ziller, Wolfgang (2007). "Ejemplos de colectores con curvatura seccional no negativa". En Cheeger, Jeffrey ; Grove, Karsten (eds.). Geometría métrica y de comparación . Levantamientos en Geometría Diferencial. vol. XI. Sommerville, MA: Prensa internacional. págs. 63-102. arXiv : matemáticas/0701389 . doi : 10.4310/SDG.2006.v11.n1.a4 . ISBN 978-1-57146-117-9. SEÑOR  2408264. Zbl  1153.53033.