Copo de nieve de Koch

Curva fractal

Las primeras cuatro iteraciones del copo de nieve de Koch

Las primeras siete iteraciones en animación

Ampliación de un vértice de la curva de Koch

Hacer zoom en un punto que no es un vértice puede provocar que la curva gire

Anti-copos de nieve Koch

El copo de nieve de Koch (también conocido como curva de Koch , estrella de Koch o isla de Koch ^{[1] [2]} ) es una curva fractal y uno de los primeros fractales que se han descrito. Se basa en la curva de Koch, que apareció en un artículo de 1904 titulado "Sobre una curva continua sin tangentes, construible a partir de geometría elemental" ^[3] del matemático sueco Helge von Koch .

El copo de nieve de Koch se puede construir de forma iterativa, en una secuencia de etapas. La primera etapa es un triángulo equilátero, y cada etapa sucesiva se forma añadiendo curvas hacia afuera a cada lado de la etapa anterior, formando triángulos equiláteros más pequeños. Las áreas encerradas por las etapas sucesivas en la construcción del copo de nieve convergen a veces el área del triángulo original, mientras que los perímetros de las etapas sucesivas aumentan sin límite. En consecuencia, el copo de nieve encierra un área finita, pero tiene un perímetro infinito . ${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$

El copo de nieve de Koch se ha construido como ejemplo de una curva continua en la que es imposible trazar una línea tangente a cualquier punto. A diferencia de la función de Weierstrass anterior , cuya demostración era puramente analítica, el copo de nieve de Koch se creó para que fuera posible representarlo geométricamente en ese momento, de modo que esta propiedad también pudiera verse a través de una "intuición ingenua". ^[3]

Construcción

El copo de nieve de Koch se puede construir comenzando con un triángulo equilátero y luego alterando recursivamente cada segmento de línea de la siguiente manera:

1. divide el segmento de recta en tres segmentos de igual longitud.
2. Dibuja un triángulo equilátero que tenga como base el segmento medio del paso 1 y apunte hacia afuera.
3. Retire el segmento de línea que es la base del triángulo del paso 2.

La primera iteración de este proceso produce el contorno de un hexagrama .

El copo de nieve de Koch es el límite al que se llega cuando se siguen los pasos anteriores indefinidamente. La curva de Koch descrita originalmente por Helge von Koch se construye utilizando solo uno de los tres lados del triángulo original. En otras palabras, tres curvas de Koch forman un copo de nieve de Koch.

De manera similar, se puede crear una representación basada en una curva de Koch de una superficie nominalmente plana segmentando repetidamente cada línea en un patrón de dientes de sierra de segmentos con un ángulo determinado. ^[4]

Una superficie rugosa fractal construida a partir de múltiples iteraciones de la curva de Koch

Propiedades

Perímetro del copo de nieve de Koch

Cada iteración multiplica el número de lados del copo de nieve de Koch por cuatro, por lo que el número de lados después de las iteraciones viene dado por: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle N_{n}=3\cdot 4^{n}\,.}$$

Si el triángulo equilátero original tiene lados de longitud , la longitud de cada lado del copo de nieve después de las iteraciones es: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle S_{n}={\frac {S_{n-1}}{3}}={\frac {s}{3^{n}}}\,,}$$

Una potencia inversa de tres múltiplo de la longitud original. El perímetro del copo de nieve después de las iteraciones es: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle P_{n}=N_{n}\cdot S_{n}=3\cdot s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.}$$

La curva de Koch tiene una longitud infinita , porque la longitud total de la curva aumenta en un factor de con cada iteración. Cada iteración crea cuatro veces más segmentos de línea que en la iteración anterior, y la longitud de cada uno es la longitud de los segmentos de la etapa anterior. Por lo tanto, la longitud de la curva después de las iteraciones será veces el perímetro original del triángulo y no tiene límites, ya que tiende al infinito. ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ({\tfrac {4}{3}})^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Límite del perímetro

Como el número de iteraciones tiende a infinito, el límite del perímetro es:

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }3\cdot s\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{n}=\infty \,,}$$

desde . ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}>1}$

Existe una medida dimensional, pero no se ha calculado hasta ahora. Solo se han inventado límites superior e inferior. ^{[ Es necesaria una aclaración ] [5]} ${\displaystyle {\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}}$

Área del copo de nieve de Koch

En cada iteración se agrega un nuevo triángulo en cada lado de la iteración anterior, por lo que la cantidad de nuevos triángulos agregados en la iteración es: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle T_{n}=N_{n-1}=3\cdot 4^{n-1}={\frac {3}{4}}\cdot 4^{n}\,}$$

El área de cada nuevo triángulo agregado en una iteración es el área de cada triángulo agregado en la iteración anterior, por lo que el área de cada triángulo agregado en la iteración es: ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}}{9}}={\frac {a_{0}}{9^{n}}}\,.}$$

donde es el área del triángulo original. Por lo tanto, la nueva área total agregada en la iteración es: ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle b_{n}=T_{n}\cdot a_{n}={\frac {3}{4}}\cdot {\left({\frac {4}{9}}\right)}^{n}\cdot a_{0}}$$

El área total del copo de nieve después de las iteraciones es: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle A_{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=a_{0}\left(1+{\frac {1}{3}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)\,.}$$

Al colapsar la suma geométrica se obtiene:

$${\displaystyle A_{n}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{5}}\left(1-\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\right)={\frac {a_{0}}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.}$$

Límites de área

El límite del área es:

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}}{5}}\cdot \left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)={\frac {8}{5}}\cdot a_{0}\,,}$$

desde . ${\displaystyle {\tfrac {4}{9}}<1}$

Por lo tanto, el área del copo de nieve de Koch es igual al área del triángulo original. Expresado en términos de la longitud del lado del triángulo original, esto es: ^[6] ${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.}$$

Sólido de revolución

El volumen del sólido de revolución del copo de nieve de Koch alrededor de un eje de simetría del triángulo equilátero iniciador de lado unitario es ^[7] ${\displaystyle {\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .}$

Otras propiedades

El copo de nieve de Koch se autorreplica con seis copias más pequeñas que rodean una copia más grande en el centro. Por lo tanto, es un mosaico irrep-7 (ver mosaico Rep para más información).

La dimensión fractal de la curva de Koch es . Esta es mayor que la de una línea ( ) pero menor que la de la curva de Peano que llena el espacio ( ). ${\displaystyle {\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1.26186}$ ${\displaystyle =1}$ ${\displaystyle =2}$

Es imposible trazar una línea tangente a cualquier punto de la curva.

Representación como curva de De Rham

La curva de Koch surge como un caso especial de una curva de De Rham . Las curvas de De Rham son aplicaciones del espacio de Cantor en el plano, generalmente dispuestas de modo que formen una curva continua. Cada punto en una curva de De Rham continua corresponde a un número real en el intervalo unitario. Para la curva de Koch, las puntas del copo de nieve corresponden a los racionales diádicos : cada punta puede etiquetarse de forma única con un racional diádico distinto.

Teselación del plano

Teselación de dos tamaños de copos de nieve de Koch

Es posible teselar el plano con copias de copos de nieve de Koch de dos tamaños diferentes. Sin embargo, tal teselación no es posible utilizando solo copos de nieve de un tamaño. Dado que cada copo de nieve de Koch en la teselación se puede subdividir en siete copos de nieve más pequeños de dos tamaños diferentes, también es posible encontrar teselaciones que utilizan más de dos tamaños a la vez. ^[8] Se pueden utilizar copos de nieve de Koch y anticopos de nieve de Koch del mismo tamaño para teselar el plano.

Secuencia Thue-Morse y gráficos de tortugas

Un gráfico de tortuga es la curva que se genera si se programa un autómata con una secuencia. Si se utilizan los miembros de la secuencia Thue-Morse para seleccionar los estados del programa:

• Si , avanza una unidad, ${\displaystyle t(n)=0}$
• Si , gire en sentido antihorario en un ángulo de , ${\displaystyle t(n)=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$

La curva resultante converge al copo de nieve de Koch.

Representación como sistema Lindenmayer

La curva de Koch se puede expresar mediante el siguiente sistema de reescritura ( sistema Lindenmayer ):

Alfabeto  : F

Constantes  : +, −

Axioma  : F

Reglas de producción :

F → F+F--F+F

Aquí, F significa "avanzar", - significa "girar a la derecha 60°" y + significa "girar a la izquierda 60°".

Para crear el copo de nieve de Koch, se utilizaría F--F--F (un triángulo equilátero) como axioma.

Variantes de la curva de Koch

Siguiendo el concepto de von Koch, se diseñaron varias variantes de la curva de Koch, considerando ángulos rectos ( cuadráticos ), otros ángulos ( Cesàro ), círculos y poliedros y sus extensiones a dimensiones superiores (Sphereflake y Kochcube, respectivamente).

Los cuadrados se pueden utilizar para generar curvas fractales similares. Si se comienza con un cuadrado unitario y se añade a cada lado en cada iteración un cuadrado con una dimensión de un tercio de los cuadrados de la iteración anterior, se puede demostrar que tanto la longitud del perímetro como el área total están determinados por progresiones geométricas. La progresión del área converge a mientras que la progresión del perímetro diverge a infinito, de modo que, como en el caso del copo de nieve de Koch, tenemos un área finita limitada por una curva fractal infinita. ^[15] El área resultante llena un cuadrado con el mismo centro que el original, pero con el doble de área, y rotado en radianes, con el perímetro tocándose pero nunca superponiéndose. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$

El área total cubierta en la iteración es: ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5}{9}}\right)^{k}\quad {\mbox{giving}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=2\,,}$$

mientras que la longitud total del perímetro es: que tiende al infinito a medida que aumenta. $${\displaystyle P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a\,,}$$ ${\displaystyle n}$

Funcionalización

Gráfica de la función de Koch

Además de la curva, el artículo de Helge von Koch que estableció la curva de Koch muestra una variación de la curva como ejemplo de una función continua en todas partes pero en ninguna parte diferenciable que era posible representar geométricamente en ese momento. A partir de la línea recta base, representada como AB, se puede dibujar el gráfico aplicando recursivamente lo siguiente en cada segmento de línea:

• Divida el segmento de línea ( XY ) en tres partes de igual longitud , divididas por los puntos C y E.
• Dibuje una línea DM , donde M es el punto medio de CE , y DM es perpendicular a la base inicial de AB , con una longitud de . ${\displaystyle {\frac {CE{\sqrt {3}}}{2}}}$
• Dibuje las líneas CD y DE y borre las líneas CE y DM .

Se puede demostrar que cada punto de AB converge a una única altura. Si se define como la distancia de ese punto a la base inicial, entonces, como función, es continua en todas partes y no diferenciable en ninguna. ^[3] ${\displaystyle y=\phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

Véase también

• Lista de fractales según la dimensión de Hausdorff
• Cuerno de Gabriel (superficie infinita pero que encierra un volumen finito)
• Curva de Gosper (también conocida como curva de Peano-Gosper o curva de flujo )
• Curva de Osgood
• Autosimilitud
• Teragón
• Función de Weierstrass
• Paradoja de la costa

Referencias

1. Addison, Paul S. (1997). Fractales y caos: un curso ilustrado . Instituto de Física. pág. 19. ISBN 0-7503-0400-6.
2. Lauwerier, Hans (1991). Fractales: figuras geométricas que se repiten sin fin . Traducido por Gill-Hoffstädt, Sophia. Princeton University Press. pág. 36. ISBN 0-691-02445-6Mandelbrot llamó a esto la isla Koch.
3. von Koch, Helge (1904). "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une building géométrique élémentaire". Arkiv för matematik, astronomi och fysik (en francés). 1 : 681–704. JFM  35.0387.02.
4. Alonso-Marroquín, F.; Huang, P.; Hanaor, D.; Flores-Johnson, E.; Proust, G.; Gan, Y.; Shen, L. (2015). "Fricción estática entre superficies fractales rígidas" (PDF) . Revisión física E. 92 (3): 032405. Código bibliográfico : 2015PhRvE..92c2405A. doi : 10.1103/PhysRevE.92.032405. hdl : 2123/13835 . PMID  26465480.— Estudio de superficies fractales mediante curvas de Koch.
5. Zhu, Zhi Wei; Zhou, Zuo Ling; Jia, Bao Guo (octubre de 2003). "Sobre el límite inferior de la medida de Hausdorff de la curva de Koch". Acta Mathematica Sinica . 19 (4): 715–728. doi :10.1007/s10114-003-0310-2. S2CID  122517792.
6. "Copo de nieve de Koch". ecademy.agnesscott.edu .
7. McCartney, Mark (16 de abril de 2020). "El área, el centroide y el volumen de revolución de la curva de Koch". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 52 (5): 782–786. doi :10.1080/0020739X.2020.1747649. ISSN  0020-739X. S2CID  218810213.
8. Burns, Aidan (1994). "Teselas fractales". Mathematical Gazette . 78 (482): 193–6. doi :10.2307/3618577. JSTOR  3618577. S2CID  126185324..
9. Paul S. Addison, Fractales y caos: un curso ilustrado , pág. 19, CRC Press, 1997 ISBN 0849384435 . 
10. Weisstein, Eric W. (1999). "Salchicha Minkowski", archive.lib.msu.edu . Consultado: 21 de septiembre de 2019.
11. Pamfilos, París. «Minkowski Sausage», user.math.uoc.gr/~pamfilos/ . Consultado: 21 de septiembre de 2019.
12. Weisstein, Eric W. "Salchicha Minkowski". MundoMatemático . Consultado el 22 de septiembre de 2019 .
13. Mandelbrot, B. B. (1983). La geometría fractal de la naturaleza , p. 48. Nueva York: WH Freeman. ISBN 9780716711865. Citado en Weisstein, Eric W. «Minkowski Sausage». MathWorld . Consultado el 22 de septiembre de 2019 . .
14. Appignanesi, Richard; ed. (2006). Introducción a la geometría fractal . Icono. ISBN 978-1840467-13-0 . 
15. Demostrado por James McDonald en una conferencia pública en la Universidad KAUST el 27 de enero de 2013. "KAUST | Academics | Winter Enrichment Program". Archivado desde el original el 12 de enero de 2013. Consultado el 29 de enero de 2013 .recuperado el 29 de enero de 2013.

Lectura adicional

• Kasner, Edward; Newman, James (2001) [1940]. "IX Cambio y mutabilidad § El copo de nieve". Matemáticas e imaginación . Dover Press . págs. 344–351. ISBN 0-486-41703-4.

Enlaces externos

• (2000) "Curva de von Koch", Laboratorio de Computación de efg en Wayback Machine (archivado el 20 de julio de 2017)
• Poema de Bernt Wahl titulado La curva de Koch, Wahl.org . Consultado el 23 de septiembre de 2019.
• Weisstein, Eric W. "Copo de nieve de Koch". MathWorld . Consultado el 23 de septiembre de 2019 .
  • "7 iteraciones de la curva de Koch". Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 23 de septiembre de 2019 .
  • "Curvas fractales de Koch cuadradas". Proyecto de demostraciones de Wolfram . Consultado el 23 de septiembre de 2019 .
  • "Superficie fractal de Koch cuadrada". Proyecto de demostraciones de Wolfram . Consultado el 23 de septiembre de 2019 .
• Aplicación de la curva de Koch a una antena
• Animación WebGL que muestra la construcción de la superficie de Koch, tchaumeny.github.io . Consultado el 23 de septiembre de 2019.
• "Un análisis matemático de la curva de Koch y la curva de Koch cuadrática" (PDF) . Archivado desde el original (pdf) el 26 de abril de 2012 . Consultado el 22 de noviembre de 2011 .