En matemáticas , un campo global es uno de los dos tipos de campos (el otro son los campos locales ) que se caracterizan mediante valoraciones . Hay dos tipos de campos globales : [1]
Emil Artin y George Whaples dieron una caracterización axiomática de estos campos a través de la teoría de la valoración en la década de 1940. [2] [3]
Un campo global es uno de los siguientes:
Un cuerpo de números algebraicos F es una extensión finita (y por lo tanto algebraica ) del cuerpo de números racionales Q. Por lo tanto, F es un cuerpo que contiene a Q y tiene dimensión finita cuando se lo considera como un espacio vectorial sobre Q.
Un cuerpo de funciones de una variedad algebraica es el conjunto de todas las funciones racionales en esa variedad. En una curva algebraica irreducible (es decir, una variedad unidimensional V ) sobre un cuerpo finito, decimos que una función racional en un subconjunto afín abierto U se define como la razón de dos polinomios en el anillo de coordenadas afines de U , y que una función racional en todo V consiste en tales datos locales que concuerdan en las intersecciones de afines abiertos. Esto define técnicamente las funciones racionales en V como el cuerpo de fracciones del anillo de coordenadas afines de cualquier subconjunto afín abierto, ya que todos esos subconjuntos son densos.
Existen varias similitudes formales entre los dos tipos de cuerpos. Un cuerpo de cualquier tipo tiene la propiedad de que todas sus terminaciones son cuerpos localmente compactos (ver cuerpos locales ). Cada cuerpo de cualquier tipo puede realizarse como el cuerpo de fracciones de un dominio de Dedekind en el que cada ideal distinto de cero es de índice finito. En cada caso, se tiene la fórmula del producto para elementos distintos de cero x :
donde v varía en todas las valoraciones del campo.
La analogía entre los dos tipos de campos ha sido una fuerza motivadora importante en la teoría algebraica de números . La idea de una analogía entre campos numéricos y superficies de Riemann se remonta a Richard Dedekind y Heinrich M. Weber en el siglo XIX. La analogía más estricta expresada por la idea del "campo global", en la que el aspecto de una superficie de Riemann como curva algebraica se aplica a curvas definidas sobre un campo finito, se desarrolló durante la década de 1930, y culminó en la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos establecida por André Weil en 1940. La terminología puede deberse a Weil, quien escribió su Teoría básica de números (1967) en parte para resolver el paralelismo.
Generalmente es más fácil trabajar en el caso del cuerpo de funciones y luego intentar desarrollar técnicas paralelas en el lado del cuerpo numérico. El desarrollo de la teoría de Arakelov y su explotación por Gerd Faltings en su prueba de la conjetura de Mordell es un ejemplo dramático. La analogía también influyó en el desarrollo de la teoría de Iwasawa y la conjetura principal . La prueba del lema fundamental en el programa Langlands también hizo uso de técnicas que redujeron el caso del cuerpo numérico al caso del cuerpo de funciones.
El teorema de Hasse-Minkowski es un resultado fundamental en la teoría de números que establece que dos formas cuadráticas sobre un cuerpo global son equivalentes si y sólo si son equivalentes localmente en todos los lugares , es decir, equivalentes en cada completitud del cuerpo.
La ley de reciprocidad de Artin implica una descripción de la abelianización del grupo absoluto de Galois de un cuerpo global K que se basa en el principio local-global de Hasse . Puede describirse en términos de cohomología de la siguiente manera:
Sea L v ⁄ K v una extensión de Galois de cuerpos locales con grupo de Galois G . La ley de reciprocidad local describe un isomorfismo canónico
llamado el símbolo de Artin local , el mapa de reciprocidad local o el símbolo de residuo normativo . [4] [5]
Sea L ⁄ K una extensión de Galois de los cuerpos globales y C L representa el grupo de clases idèle de L . Las aplicaciones θ v para diferentes lugares v de K se pueden ensamblar en una única aplicación simbólica global multiplicando los componentes locales de una clase idèle. Una de las afirmaciones de la ley de reciprocidad de Artin es que esto da como resultado un isomorfismo canónico. [6] [7]
