Hoja (geometría)

Producto exterior de vectores

En el estudio de las álgebras geométricas , una k -cuchilla o un k -vector simple es una generalización del concepto de escalares y vectores para incluir bivectores simples , trivectores , etc. Específicamente, una k -cuchilla es un k -vector que puede expresarse como el producto exterior (informalmente producto cuña ) de 1-vectores, y es de grado k .

En detalle: ^[1]

• Una hoja 0 es un escalar .
• Una hoja de 1 es un vector . Todo vector es simple.
• Un bipala es un bivector simple . Las sumas de dos palas también son bivectores, pero no siempre simples. Un bipala puede expresarse como el producto en cuña de dos vectores a y b :

  ${\displaystyle a\wedge b.}$

• Un tri-álabe es un trivector simple, es decir, puede expresarse como el producto en cuña de tres vectores a , b y c :

  ${\displaystyle a\wedge b\wedge c.}$

• En un espacio vectorial de dimensión n , una hoja de grado n − 1 se denomina pseudovector ^[2] o antivector ^[3] .
• El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar , y en un espacio de dimensión n es una n -cuchilla. ^[4]
• En un espacio vectorial de dimensión n , hay k ( n − k ) + 1 dimensiones de libertad para elegir una k -pala para 0 ≤ k ≤ n , de las cuales una dimensión es un multiplicador de escala general. ^[5]

Un subespacio vectorial de dimensión finita k puede representarse mediante la k -hoja formada como un producto en cuña de todos los elementos de una base para ese subespacio. ^[6] De hecho, una k -hoja es naturalmente equivalente a un k -subespacio, hasta un factor escalar. Cuando el espacio está dotado de una forma de volumen (una función escalar multilineal alternante k ), dicha k -hoja puede normalizarse para tomar un valor unitario, haciendo que la correspondencia sea única hasta un signo.

Ejemplos

En el espacio bidimensional, los escalares se describen como 0-palas, los vectores son 1-palas y los elementos de área son 2-palas; en este contexto se los conoce como pseudoescalares , ya que son elementos de un espacio unidimensional que es distinto de los escalares regulares.

En el espacio tridimensional, las álabes 0 son escalares y las álabes 1 son vectores tridimensionales, mientras que las álabes 2 son elementos de área orientada. En este caso, las álabes 3 se denominan pseudoescalares y representan elementos de volumen tridimensionales, que forman un espacio vectorial unidimensional similar a los escalares. A diferencia de los escalares, las álabes 3 se transforman de acuerdo con el determinante jacobiano de una función de cambio de coordenadas .

Véase también

• Grassmaniano
• Multivector
• Álgebra exterior
• Forma diferencial
• Álgebra geométrica
• Álgebra de Clifford

Notas

1. Marcos A. Rodrigues (2000). "§1.2 Álgebra geométrica: un esquema". Invariantes para el reconocimiento y clasificación de patrones . World Scientific. p. 3 y siguientes . ISBN 981-02-4278-6.
2. William E Baylis (2004). "§4.2.3 Multivectores de grado superior en Cℓn: duales". Lecciones sobre álgebras (geométricas) de Clifford y aplicaciones . Birkhäuser. pág. 100. ISBN 0-8176-3257-3.
3. Lengyel, Eric (2016). Fundamentos del desarrollo de motores de juegos, volumen 1: matemáticas . Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.
4. John A. Vince (2008). Álgebra geométrica para gráficos por computadora. Springer. pág. 85. ISBN 978-1-84628-996-5.
5. Para los grassmannianos (incluido el resultado sobre la dimensión) un buen libro es: Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523. La prueba de la dimensionalidad es realmente sencilla. Tome el producto exterior de k vectores y realice operaciones de columna elementales sobre estos (factorizando los pivotes) hasta que el bloque superior k  ×  k sean vectores base elementales de . El producto de cuña se parametriza entonces por el producto de los pivotes y el bloque inferior k  × ( n − k ) . Compárese también con la dimensión de un Grassmanniano , k ( n − k ) , en el que se elimina el multiplicador escalar. ${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}}$
6. David Hestenes (1999). Nuevos fundamentos para la mecánica clásica: teorías fundamentales de la física. Springer. pág. 54. ISBN 0-7923-5302-1.

Referencias

• David Hestenes ; Garret Sobczyk (1987). "Capítulo 1: Álgebra geométrica". Álgebra de Clifford para cálculo geométrico: un lenguaje unificado para matemáticas y física. Springer. pág. 1 y siguientes . ISBN 90-277-2561-6.
• Chris Doran y Anthony Lasenby (2003). Álgebra geométrica para físicos. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1.
• A Lasenby, J Lasenby y R Wareham (2004) Un enfoque covariante para la geometría utilizando álgebra geométrica . Informe técnico. Departamento de Ingeniería de la Universidad de Cambridge, Cambridge, Reino Unido.
• R Wareham; J Cameron y J Lasenby (2005). "Aplicaciones del álgebra geométrica conforme a la visión por computadora y los gráficos". En Hongbo Li; Peter J Olver y Gerald Sommer (eds.). Álgebra computacional y álgebra geométrica con aplicaciones . Springer. pág. 329 y siguientes . ISBN . 3-540-26296-2.

Enlaces externos

• Una introducción al álgebra geométrica, especialmente para científicos informáticos.