Relación de cobertura

Relación matemática dentro de los ordenamientos

Diagrama de Hasse del conjunto potencia de tres elementos, parcialmente ordenado por inclusión .

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , la relación de recubrimiento de un conjunto parcialmente ordenado es la relación binaria que se cumple entre elementos comparables que son vecinos inmediatos. La relación de recubrimiento se utiliza comúnmente para expresar gráficamente el orden parcial mediante el diagrama de Hasse .

Definición

Sea un conjunto de orden parcial . Como es habitual, sea la relación en tal que si y solo si y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\neq y}$

Sean y elementos de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$

Entonces cubre , escrito , si y no hay ningún elemento tal que . Equivalentemente, cubre si el intervalo es el conjunto de dos elementos . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\lessdot y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x<z<y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Cuando , se dice que es una cubierta de . Algunos autores también utilizan el término cubierta para denotar cualquier par de este tipo en la relación de cubierta. ${\displaystyle x\lessdot y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Ejemplos

• En un conjunto finito ordenado linealmente {1, 2, ..., n }, i + 1 cubre i para todo i entre 1 y n − 1 (y no hay otras relaciones de cobertura).
• En el álgebra de Boole del conjunto potencia de un conjunto S , un subconjunto B de S cubre un subconjunto A de S si y sólo si B se obtiene de A sumando un elemento que no está en A .
• En la red de Young , formada por las particiones de todos los números enteros no negativos, una partición λ cubre una partición μ si y solo si el diagrama de Young de λ se obtiene a partir del diagrama de Young de μ agregando una celda adicional.
• El diagrama de Hasse que representa la relación de cobertura de una red de Tamari es el esqueleto de un asociaedro .
• La relación de cobertura de cualquier red distributiva finita forma un gráfico mediano .
• En los números reales con el orden total habitual ≤, el conjunto de cobertura está vacío: ningún número cubre a otro.

Propiedades

• Si un conjunto parcialmente ordenado es finito, su relación de recubrimiento es la reducción transitiva de la relación de orden parcial. Por tanto, tales conjuntos parcialmente ordenados se describen completamente mediante sus diagramas de Hasse. Por otra parte, en un orden denso , como los números racionales con el orden estándar, ningún elemento cubre a otro.

Referencias

• Knuth, Donald E. (2006), El arte de la programación informática , Volumen 4, Fascículo 4 , Addison-Wesley, ISBN 0-321-33570-8.
• Stanley, Richard P. (1997), Combinatoria enumerativa, vol. 1 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-55309-1.
• Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002), Introducción a los enrejados y el orden (2.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-78451-4, C.L.C.N.  2001043910.