Cuadrupolo

Un cuadrupolo o cuadrupolo es parte de una secuencia de configuraciones de cosas como carga eléctrica o corriente, o masa gravitacional que puede existir en forma ideal, pero generalmente es solo parte de una expansión multipolar de una estructura más compleja que refleja varios órdenes de complejidad.

Definición matemática

El tensor de momento cuadrupolar Q es un tensor de rango dos: matriz de 3 × 3. Hay varias definiciones, pero normalmente se expresa en la forma sin rastro (es decir ). Por tanto, el tensor de momento cuadrupolar tiene nueve componentes, pero debido a la simetría de transposición y la propiedad de traza cero , en esta forma sólo cinco de ellas son independientes. $Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0$

Para un sistema discreto de cargas o masas puntuales en el caso de un cuadrupolo gravitacional, cada uno con carga o masa y posición relativa al origen del sistema de coordenadas, las componentes de la matriz Q están definidas por: ${\displaystyle\ell}$ $q_{\ell }$ ${\ Displaystyle m _ {\ el}}$ $\mathbf {r} _{\ell }=\left(r_{x\ell },r_{y\ell },r_{z\ell }\right)$

Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }\left(3r_{i\ell }r_{j\ell }-\left\|\mathbf {r} _{\ell } \right\|^{2}\delta _{ij}\right).

Los índices discurren sobre las coordenadas cartesianas y es el delta de Kronecker . Esto significa que deben ser iguales, hasta el signo, las distancias desde el punto a los hiperplanos mutuamente perpendiculares para que el delta de Kronecker sea igual a 1. $i,j$ $x,y,z$ $\delta _{ij}$ $x,y,z$ $n$

En la forma sin trazas, el momento cuadrupolar a veces se expresa como:

Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }r_{i\ell }r_{j\ell }

esta forma tiene algún uso en la literatura sobre el método multipolar rápido . La conversión entre estas dos formas se puede lograr fácilmente utilizando un operador de seguimiento. ^[1]

Para un sistema continuo con densidad de carga, o densidad de masa, los componentes de Q están definidos por una integral sobre el espacio cartesiano r : ^[2] $\rho (x,y,z)$

Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left(3r_{i}r_{j}-\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r}

Como ocurre con cualquier momento multipolar, si un momento de orden inferior, monopolo o dipolo en este caso, es distinto de cero, entonces el valor del momento cuadrupolar depende de la elección del origen de coordenadas . Por ejemplo, un dipolo de dos cargas puntuales de signo opuesto y la misma fuerza, que no tiene un momento monopolar, puede tener un momento cuadrupolar distinto de cero si el origen se desplaza del centro de la configuración exactamente entre las dos cargas; o el momento cuadrupolar se puede reducir a cero con el origen en el centro. Por el contrario, si los momentos monopolares y dipolares desaparecen, pero el momento cuadrupolar no, por ejemplo, cuatro cargas de la misma fuerza dispuestas en un cuadrado con signos alternos, entonces el momento cuadrupolar es independiente de las coordenadas.

Si cada carga es la fuente de un campo "potencial", como el campo eléctrico o gravitacional , la contribución al potencial del campo desde el momento cuadripolar es: $1/r$

V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {k}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,

donde R es un vector con origen en el sistema de cargas y R̂ es el vector unitario en la dirección de R . Es decir, for son las componentes cartesianas del vector unitario que apuntan desde el origen al punto del campo. Aquí hay una constante que depende del tipo de campo y de las unidades que se utilizan. ${\hat {R}}_{i}$ $i=x,y,z$ $k$

Cuadrupolo eléctrico

Un ejemplo sencillo de cuadrupolo eléctrico consiste en cargas positivas y negativas alternas, dispuestas en las esquinas de un cuadrado. El momento monopolar (sólo la carga total) de este arreglo es cero. De manera similar, el momento dipolar es cero, independientemente del origen de coordenadas que se haya elegido. Pero el momento cuadripolar del arreglo en el diagrama no se puede reducir a cero, independientemente de dónde coloquemos el origen de coordenadas. El potencial eléctrico de un cuadrupolo de carga eléctrica viene dado por ^[3]

V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,

donde es la permitividad eléctrica y sigue la definición anterior. $\varepsilon _{0}$ $Q_{ij}$

Alternativamente, otras fuentes ^[4] incluyen el factor de la mitad en el propio tensor, de modo que: $Q_{ij}$

Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left({\frac {3}{2}}r_{i}r_{j}-{\frac {1}{2}}\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r}

, y

V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,

lo que hace más explícita la conexión con los polinomios de Legendre que resultan de la expansión multipolar, es decir, aquí ${\textstyle P_{2}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}.}$

Generalización: multipolos superiores

Una generalización extrema (" octopolo puntual ") sería: Ocho cargas puntuales alternas en las ocho esquinas de un paralelepípedo , por ejemplo de un cubo con una longitud de arista a . El "momento octopolar" de esta disposición correspondería, en el "límite octopolar", a un tensor diagonal distinto de cero de orden tres. Multipolos aún más altos, por ejemplo de orden , se obtendrían mediante disposiciones dipolares (cuadrupolares, octopolares, ...) de dipolos puntuales (cuadrupolos, octopolos, ...), no monopolos puntuales, de orden inferior, por ejemplo, . ${\textstyle \lim _{a\to 0}{a^{3}\cdot Q}\to {\text{const. }}}$ $2^{\ell }$ $2^{\ell -1}$

Cuadrupolo magnético

Todas las fuentes magnéticas conocidas dan campos dipolares. Sin embargo, es posible hacer un cuadrupolo magnético colocando cuatro barras magnéticas idénticas perpendiculares entre sí de modo que el polo norte de uno esté al lado del sur del otro. Esta configuración anula el momento dipolar y da un momento cuadrupolar, y su campo disminuirá a grandes distancias más rápido que el de un dipolo.

A la derecha se muestra un ejemplo de un cuadrupolo magnético, que involucra imanes permanentes. Los electroimanes de diseño conceptual similar (llamados imanes cuadrupolares ) se utilizan comúnmente para enfocar haces de partículas cargadas en aceleradores de partículas y líneas de transporte de haces, un método conocido como enfoque fuerte . Hay cuatro puntas de polos de acero, dos polos norte magnéticos opuestos y dos polos sur magnéticos opuestos. El acero está magnetizado por una gran corriente eléctrica que fluye a través de las bobinas de tubos enrollados alrededor de los postes.

Un momento cuadripolar magnético cambiante produce radiación electromagnética .

Cuadrupolo gravitacional

El cuadrupolo de masa es análogo al cuadrupolo de carga eléctrica, donde la densidad de carga simplemente se reemplaza por la densidad de masa y se agrega un signo negativo porque las masas siempre son positivas y la fuerza es atractiva. Entonces el potencial gravitacional se expresa como:

V_{\text{q}}(\mathbf {R} )=-{\frac {G}{2|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ .

Por ejemplo, debido a que la Tierra está girando, es achatada (aplanada en los polos). Esto le da un momento cuadrupolar distinto de cero. Si bien la contribución de este cuadrupolo al campo gravitacional de la Tierra es extremadamente importante para los satélites artificiales cercanos a la Tierra, es menos importante para la Luna porque el término cae rápidamente. ${1}/{|\mathbf {R} |^{3}}$

El momento cuadrupolar de masa también es importante en la relatividad general porque, si cambia en el tiempo, puede producir radiación gravitacional , similar a la radiación electromagnética producida por dipolos eléctricos o magnéticos oscilantes y multipolos superiores. Sin embargo, sólo los momentos cuadrupolares y superiores pueden irradiar gravitacionalmente. El monopolo de masa representa la masa-energía total de un sistema, que se conserva y, por tanto, no emite radiación. De manera similar, el dipolo de masa corresponde al centro de masa de un sistema y su primera derivada representa el momento, que también es una cantidad conservada, por lo que el dipolo de masa tampoco emite radiación. El cuadrupolo de masa, sin embargo, puede cambiar con el tiempo y es la contribución de orden más bajo a la radiación gravitacional. ^[5]

El ejemplo más simple e importante de un sistema radiante es un par de puntos de masa iguales que orbitan entre sí en una órbita circular, una aproximación, por ejemplo, al caso especial de los agujeros negros binarios . Dado que el momento dipolar es constante, por conveniencia podemos colocar el origen de coordenadas justo entre los dos puntos. Entonces el momento dipolar será cero, y si también escalamos las coordenadas para que los puntos estén a una unidad de distancia del centro, en dirección opuesta, el momento cuadrupolar del sistema entonces simplemente será

Q_{ij}=M\left(3x_{i}x_{j}-|\mathbf {x} |^{2}\delta _{ij}\right)

donde M es la masa de cada punto y son componentes del vector de posición (unitario) de uno de los puntos. A medida que orbitan, este x -vector girará, lo que significa que tendrá una primera derivada distinta de cero y también una segunda derivada distinta de cero (esto, por supuesto, es cierto independientemente de la elección del sistema de coordenadas). Por tanto, el sistema irradiará ondas gravitacionales. La energía perdida de esta manera se observó por primera vez en el período cambiante del binario Hulse-Taylor , un púlsar en órbita con otra estrella de neutrones de masa similar. $x_{i}$

Así como la carga eléctrica y los multipolos de corriente contribuyen al campo electromagnético, los multipolos de masa y de masa-corriente contribuyen al campo gravitacional en la relatividad general, provocando los llamados efectos gravitomagnéticos . Los multipolos de corriente de masa cambiantes también pueden emitir radiación gravitacional. Sin embargo, las contribuciones de los multipolos actuales normalmente serán mucho menores que las del cuadrupolo de masa.

Ver también

Referencias

^ Applequist, J. (1989). "Formas de tensor cartesiano sin rastro para funciones armónicas esféricas: nuevos teoremas y aplicaciones a la electrostática de medios dieléctricos". Revista de Física A: Matemática y General . 22 (20): 4303–4330. Código bibliográfico : 1989JPhA...22.4303A. doi :10.1088/0305-4470/22/20/011.
^ Weisstein, Eric. "Momento cuadrupolo eléctrico". El mundo de la física de Eric Weisstein . Investigación Wolfram . Consultado el 8 de mayo de 2012 .
^ Jackson, John David (1975). Electrodinámica clásica . John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43132-X.
^ Griffiths, David J. (2013). Introducción a la electrodinámica, 4ª ed . Pearson. pag. 153.165.
^ Thorne, Kip S. (abril de 1980). "Expansiones multipolares de radiación gravitacional" (PDF) . Reseñas de Física Moderna . 52 (2): 299–339. Código Bib : 1980RvMP...52..299T. doi :10.1103/RevModPhys.52.299.

enlaces externos

Expansión multipolar