Cuadrilátero de Saccheri

Cuadrilátero con dos lados iguales perpendiculares a la base

Cuadriláteros de Saccheri

Un cuadrilátero de Saccheri es un cuadrilátero con dos lados iguales perpendiculares a la base . Recibe su nombre en honor a Giovanni Gerolamo Saccheri , quien lo utilizó ampliamente en su libro de 1733 Euclides ab omni naevo vindicatus ( Euclides liberado de todo defecto ), un intento de demostrar el postulado de las paralelas utilizando el método reductio ad absurdum . A este tipo de cuadrilátero a veces se lo denomina cuadrilátero de Khayyam-Saccheri en honor al erudito persa Omar Khayyam , quien los describió en su libro del siglo XI Risāla fī šarḥ mā aškala min muṣādarāt kitāb Uqlīdis ( Explicaciones de las dificultades en los postulados de Euclides ). ^[1]

Para un cuadrilátero de Saccheri , los catetos y son iguales en longitud y cada uno perpendicular a la base. La parte superior se llama cumbre y los ángulos en y se llaman ángulos de la cumbre . ${\displaystyle ABCD,}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle AB.}$ ${\displaystyle CD}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

La ventaja de utilizar cuadriláteros de Saccheri al considerar el postulado de las paralelas es que presentan claramente tres opciones mutuamente excluyentes: ¿Los ángulos de la vértice son ángulos rectos , ángulos obtusos o ángulos agudos ?

El propio Saccheri no consideró la posibilidad de una geometría no euclidiana y creía que tanto el caso obtuso como el agudo podían demostrarse como contradictorios a partir de otros postulados de Euclides. Demostró que el caso obtuso era contradictorio, pero no logró abordar adecuadamente el caso agudo. ^[2]

La existencia de un cuadrilátero de Saccheri con ángulos rectos en el vértice para cualquier base y lado es equivalente al postulado de las paralelas, lo que conduce a la geometría euclidiana . En la geometría hiperbólica , que surge de la negación del postulado de las paralelas, los ángulos del vértice son siempre agudos. En la geometría elíptica o esférica (que requieren algunas modificaciones a los otros postulados de Euclides), ^[3] los ángulos del vértice son siempre obtusos.

Historia

Aunque los cuadriláteros reciben su nombre de Saccheri, ya se habían tenido en cuenta en las obras de matemáticos anteriores. La primera proposición de Saccheri afirma que si dos líneas iguales forman ángulos iguales con la línea, los ángulos serán iguales entre sí; una versión de esta afirmación aparece en las obras del erudito del siglo IX Thabit ibn Qurra. [4] El Sefer Meyasher 'Aqov (Rectificación de lo curvo) de Abner de Burgos , un tratado del siglo XIV ^escrito en Castilla , se basa en el trabajo de Thabit ibn Qurra y también contiene descripciones de los cuadriláteros de Saccheri. ^[5] ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle AB,}$ ${\displaystyle CD}$

Omar Khayyam (1048-1131) los describió a finales del siglo XI en el Libro I de sus Explicaciones de las dificultades de los postulados de Euclides . ^[1] A diferencia de muchos comentaristas de Euclides antes y después de él (incluido Saccheri), Khayyam no estaba tratando de eliminar el postulado paralelo sino de reemplazarlo con un postulado equivalente que formuló a partir de "los principios del Filósofo" ( Aristóteles ):

Dos líneas rectas convergentes se intersecan y es imposible que dos líneas rectas convergentes diverjan en la dirección en la que convergen. ^[6]

Khayyam consideró entonces los tres casos recto, obtuso y agudo que pueden tomar los ángulos de la cima de un cuadrilátero de Saccheri y después de demostrar una serie de teoremas sobre ellos, refutó (correctamente) los casos obtuso y agudo basándose en su postulado y de ahí derivó el postulado clásico de Euclides.

El matemático italiano del siglo XVII Giordano Vitale utilizó el cuadrilátero en su Euclide restituo (1680, 1686) para demostrar que si tres puntos son equidistantes en la base y en la cima, entonces y son equidistantes en todas partes. ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle CD,}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle CD}$

El propio Saccheri basó toda su larga y en última instancia defectuosa prueba del postulado de las paralelas en el cuadrilátero y sus tres casos, demostrando a lo largo del camino muchos teoremas sobre sus propiedades.

Cuadriláteros de Saccheri en geometría hiperbólica

Sea un cuadrilátero de Saccheri que tiene base, vértice y catetos y Las siguientes propiedades son válidas en cualquier cuadrilátero de Saccheri en geometría hiperbólica : ^[7] ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle AB,}$ ${\displaystyle CD,}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle DB.}$

• Los ángulos de la cumbre y son iguales y agudos. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$
• La cumbre es más larga que la base.
• Dos cuadriláteros de Saccheri son congruentes si:
  • Los segmentos de la base y los ángulos de la cumbre son congruentes.
  • Los segmentos de la cumbre y los ángulos de la cumbre son congruentes.
• El segmento de línea que une el punto medio de la base y el punto medio de la cumbre:
  • Es perpendicular a la base y a la cumbre,
  • es la única línea de simetría del cuadrilátero,
  • es el segmento más corto que une la base y la cumbre,
  • es perpendicular a la línea que une los puntos medios de los lados,
  • divide el cuadrilátero de Saccheri en dos cuadriláteros de Lambert .
• El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no es perpendicular a ninguno de los lados.

Ecuaciones

En el plano hiperbólico de curvatura constante , la cima de un cuadrilátero de Saccheri se puede calcular a partir del cateto y la base utilizando las fórmulas ^{[8] [9]} ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh s&=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l\\[5mu]\sinh {\tfrac {1}{2}}s&=\cosh l\,\sinh {\tfrac {1}{2}}b\end{aligned}}}$

Una prueba de ello se encuentra en "Wilson Stothers' Cabri Pages".

Teselación en el modelo del disco de Poincaré

Existen teselas del modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico que tienen como dominios fundamentales cuadriláteros de Saccheri . Además de los dos ángulos rectos, estos cuadriláteros tienen ángulos agudos en la cima. Las teselas presentan una simetría *nn22 ( notación orbifold ) e incluyen:

Véase también

• Cuadrilátero de Lambert

Notas

1. Boris Abramovich Rozenfelʹd (1988). Una historia de la geometría no euclidiana: evolución del concepto de espacio geométrico (traducción de Abe Shenitzer, ed.). Springer. pág. 65. ISBN 0-387-96458-4.
2. Faber 1983, pág. 145
3. Coxeter 1998, pág. 11
4. Braver, Seth (2011). Lobachevski Illuminated . Sociedad Matemática Americana . pág. 58. ISBN. 9781470456405.
5. Alfonso, Rectificando lo curvo: Un tratado filosófico-geométrico hebreo del siglo XIV . Traducido por Ruth Glasner. Springer. 2020. pág. 113-114.
6. Boris A Rosenfeld y Adolf P Youschkevitch (1996), Geometría , p.467 en Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 . 
7. Faber 1983, págs. 146-147
8. P. Buser y H. Karcher. Variedades casi planas de Gromov. Asterisque 81 (1981), página 104.
9. Greenberg, Marvin Jay (2003). Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia (3.ª ed.). Nueva York: Freeman. p. 411. ISBN 9780716724469.

Referencias

• Coxeter, HSM (1998), Geometría no euclidiana (6.ª ed.), Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos, ISBN 0-88385-522-4
• Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de la geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• MJ Greenberg , Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia , 4ª edición, WH Freeman, 2008.
• George E. Martin, Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano , Springer-Verlag, 1975