regla trapezoidal

Método de integración numérica

La función f ( x ) (en azul) se aproxima mediante una función lineal (en rojo).

En cálculo , la regla del trapecio (también conocida como regla del trapezoide o regla del trapecio ) ^[a] es una técnica para la integración numérica , es decir, la aproximación de la integral definida :

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

La regla del trapecio funciona aproximando la región bajo la gráfica de la función como un trapezoide y calculando su área. Resulta que ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\cdot {\tfrac {1}{2}}(f(a)+f(b)).}$$

Una animación que muestra qué es la regla trapezoidal y cómo el error de aproximación disminuye a medida que disminuye el tamaño del paso.

La regla trapezoidal puede verse como el resultado obtenido al promediar las sumas de Riemann izquierda y derecha y, a veces, se define de esta manera. La integral se puede aproximar aún mejor dividiendo el intervalo de integración , aplicando la regla trapezoidal a cada subintervalo y sumando los resultados. En la práctica, esta regla trapezoidal "encadenada" (o "compuesta") suele ser lo que se entiende por "integración con la regla trapezoidal". Sea una partición tal que y sea la longitud del -ésimo subintervalo (es decir, ), entonces ${\displaystyle \{x_{k}\}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$ ${\displaystyle \Delta x_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.}$$

${\displaystyle \Delta x_{k}}$ ${\displaystyle \Delta x,}$ ${\displaystyle \Delta x}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right).}$$

La aproximación se vuelve más precisa a medida que aumenta la resolución de la partición (es decir, cuanto más grande , todo disminuye). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta x_{k}}$

Como se analiza más adelante, también es posible establecer límites de error para la precisión del valor de una integral definida estimada utilizando una regla trapezoidal.

Ilustración de la "regla trapezoidal encadenada" utilizada en una partición espaciada irregularmente de . ${\displaystyle [a,b]}$

Historia

Un artículo de Science de 2016 informa que la regla del trapecio se utilizaba en Babilonia antes del 50 a. C. para integrar la velocidad de Júpiter a lo largo de la eclíptica . ^[1]

Implementación numérica

Cuadrícula no uniforme

Cuando el espaciado de la cuadrícula no es uniforme, se puede usar la fórmula

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},}$$

${\displaystyle \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}.}$

Cuadrícula uniforme

Para un dominio discretizado en paneles igualmente espaciados, puede ocurrir una simplificación considerable. Dejar ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \Delta x_{k}=\Delta x={\frac {b-a}{N}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)\\[1ex]&={\frac {\Delta x}{2}}{\Biggl (}f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}){\Biggr )}\\[1ex]&=\Delta x\left({\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\right).\end{aligned}}}$$

Análisis de errores

Una animación que muestra cómo la aproximación de la regla trapezoidal mejora con más franjas durante un intervalo con y . A medida que aumenta el número de intervalos , también aumenta la precisión del resultado. ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=8}$ ${\displaystyle N}$

El error de la regla trapezoidal compuesta es la diferencia entre el valor de la integral y el resultado numérico:

$${\displaystyle {\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]}$$

Existe un número ξ entre a y b , tal que ^[2]

$${\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}$$

De ello se deduce que si el integrando es cóncavo hacia arriba (y por tanto tiene una segunda derivada positiva), entonces el error es negativo y la regla trapezoidal sobreestima el valor verdadero. Esto también se puede ver en la imagen geométrica: los trapecios incluyen toda el área bajo la curva y se extienden sobre ella. De manera similar, una función cóncava hacia abajo produce una subestimación porque no se contabiliza el área debajo de la curva, pero ninguna se cuenta arriba. Si el intervalo de la integral que se aproxima incluye un punto de inflexión, el error es más difícil de identificar.

Una estimación del error asintótico para N → ∞ viene dada por

$${\displaystyle {\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}$$

Se pueden utilizar varias técnicas para analizar el error, entre ellas: ^[3]

1. series de Fourier
2. Cálculo de residuos
3. Fórmula de suma de Euler-Maclaurin ^{[4] [5]}
4. Interpolación polinomial ^[6]

Se argumenta que la velocidad de convergencia de la regla trapezoidal refleja y puede usarse como definición de clases de suavidad de las funciones. ^[7]

Prueba

Primero supongamos que y . Dejar ${\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}$ ${\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}$

$${\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)\,dx}$$

${\displaystyle |g_{k}(h)|}$ ${\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]}$

$${\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}$$

$${\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}$$

Ahora supongamos que lo que se cumple es suficientemente suave. Luego se deduce que ${\displaystyle \left|f''(x)\right|\leq \left|f''(\xi )\right|,}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \left|f''(a_{k}+t)\right|\leq f''(\xi )}$$

${\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )}$ ${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}$

Desde y , ${\displaystyle g_{k}'(0)=0}$ ${\displaystyle g_{k}(0)=0}$

$${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}$$

Usando estos resultados, encontramos

$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}}$$

$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}$$

dejando que encontremos ${\displaystyle t=h}$

$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}$$

Sumando todos los términos de error locales encontramos

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}$$

Pero también tenemos

$${\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}}$$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},}$$

de modo que

$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}$$

Por lo tanto el error total está limitado por

$${\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}$$

Funciones periódicas y pico.

La regla trapezoidal converge rápidamente para funciones periódicas. Esta es una consecuencia fácil de la fórmula de suma de Euler-Maclaurin , que dice que si es veces continuamente diferenciable con el período ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0))-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,dx}$$

^[8] ${\displaystyle h:=T/N}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle O(h^{p})}$

Un efecto similar está disponible para funciones tipo pico, como Gaussianas , Gaussianas exponencialmente modificadas y otras funciones con derivadas en límites de integración que pueden despreciarse. ^[9] La evaluación de la integral completa de una función gaussiana mediante la regla trapezoidal con una precisión del 1% se puede realizar utilizando solo 4 puntos. ^[10] La regla de Simpson requiere 1,8 veces más puntos para lograr la misma precisión. ^{[10] [11]}

Aunque se han hecho algunos esfuerzos para extender la fórmula de suma de Euler-Maclaurin a dimensiones superiores, ^[12] la prueba más sencilla de la rápida convergencia de la regla trapezoidal en dimensiones superiores es reducir el problema al de la convergencia de series de Fourier. Esta línea de razonamiento muestra que si es periódica en un espacio dimensional con derivadas continuas, la velocidad de convergencia es . Para dimensiones muy grandes, muestra que la integración de Monte-Carlo es probablemente una mejor opción, pero para 2 y 3 dimensiones, el muestreo equiespaciado es eficiente. Esto se explota en la física computacional del estado sólido, donde el muestreo equiespaciado sobre celdas primitivas en la red recíproca se conoce como integración de Monkhorst-Pack . ^[13] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle O(h^{p/d})}$

Funciones "brutas"

Para funciones que no están en C 2 , el límite de error indicado anteriormente no es aplicable. Aun así, se pueden derivar límites de error para funciones tan aproximadas, que normalmente muestran una convergencia más lenta con el número de evaluaciones de funciones que el comportamiento indicado anteriormente. Curiosamente, en este caso la regla trapezoidal a menudo tiene límites más definidos que la regla de Simpson para el mismo número de evaluaciones de funciones. ^[14] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O(N^{-2})}$

Aplicabilidad y alternativas

La regla trapezoidal pertenece a una familia de fórmulas para la integración numérica llamadas fórmulas de Newton-Cotes , de las cuales la regla del punto medio es similar a la regla del trapezoide. La regla de Simpson es otro miembro de la misma familia y, en general, tiene una convergencia más rápida que la regla trapezoidal para funciones que son dos veces diferenciables de forma continua, aunque no en todos los casos específicos. Sin embargo, para varias clases de funciones más aproximadas (aquellas con condiciones de suavidad más débiles), la regla trapezoidal tiene una convergencia más rápida en general que la regla de Simpson. ^[14]

Además, la regla trapezoidal tiende a volverse extremadamente precisa cuando se integran funciones periódicas en sus períodos, que pueden analizarse de varias maneras. ^{[7] [11]} Un efecto similar está disponible para funciones pico. ^{[10] [11]}

Sin embargo, para funciones no periódicas, los métodos con puntos espaciados desigualmente, como la cuadratura gaussiana y la cuadratura de Clenshaw-Curtis, son generalmente mucho más precisos; La cuadratura de Clenshaw-Curtis puede verse como un cambio de variables para expresar integrales arbitrarias en términos de integrales periódicas, punto en el que la regla trapezoidal se puede aplicar con precisión.

Ejemplo

Se da la siguiente integral:

$${\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}{5xe^{-2x}{dx}}}$$

1.  Utilice la regla trapezoidal compuesta para estimar el valor de esta integral. Utilice tres segmentos.
2.  Encuentre el error verdadero del inciso (a). ${\textstyle E_{t}}$
3.  Encuentre el error verdadero relativo absoluto para el inciso (a). ${\textstyle \left|\varepsilon _{t}\right|}$

Solución

1. La solución utilizando la regla trapezoidal compuesta con 3 segmentos se aplica de la siguiente manera.
   $${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}+f(b)\right\rbrack }$$
   $${\displaystyle {\begin{aligned}n&=3\\a&=0.1\\b&=1.3\\h&={\frac {b-a}{n}}={\frac {1.3-0.1}{3}}=0.4\end{aligned}}}$$

   Usando la fórmula de la regla trapezoidal compuesta

   $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}\right\}+f(b)\right\rbrack \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\end{aligned}}}$$
   $${\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\&=0.2\lbrack f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)\rbrack \\&=0.2[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}\rbrack \\&=0.84385\end{aligned}}}$$
2. El valor exacto de la integral anterior se puede encontrar mediante integración por partes y es
   $${\displaystyle \int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}{dx}=0.89387}$$
   Entonces el verdadero error es
   $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{t}&={\text{True Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=0.89387-0.84385\\&=0.05002\end{aligned}}}$$
3. El error verdadero relativo absoluto es
   $${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}\left|\varepsilon _{t}\right|&=\left|{\frac {\text{True Error}}{\text{True Value}}}\right|\times 100\%\\&=\left|{\frac {0.05002}{0.89387}}\right|\times 100\%\\&=5.5959\%\end{aligned}}}$$

Ver también

• cuadratura gaussiana
• Fórmulas de Newton-Cotes
• Método del rectángulo
• El método de Romberg.
• la regla de simpson
• Ecuación integral de Volterra § Solución numérica usando la regla trapezoidal

Notas

1. Consulte Trapezoide para obtener más información sobre terminología.

1. Ossendrijver, Mathieu (29 de enero de 2016). "Los antiguos astrónomos babilónicos calcularon la posición de Júpiter a partir del área bajo un gráfico de velocidad de tiempo". Ciencia . 351 (6272): 482–484. doi : 10.1126/ciencia.aad8085. PMID  26823423. S2CID  206644971.
2. Atkinson (1989, ecuación (5.1.7))
3. (Weideman 2002, p.23, sección 2)
4. Atkinson (1989, ecuación (5.1.9))
5. Atkinson (1989, pág.285)
6. Carga y ferias (2011, p.194) harvtxt error: no target: CITEREFBurdenFaires2011 (help)
7. (Rahman y Schmeisser 1990)
8. Kress, Rainer (1998). Análisis Numérico, volumen 181 de Textos de Graduado en Matemáticas . Springer-Verlag.
9. Goodwin, et (1949). "La evaluación de integrales de la forma". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 45 (2): 241–245. doi :10.1017/S0305004100024786. ISSN  1469-8064.
10. Kalambet, Yuri; Kozmín, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparación de reglas de integración en el caso de picos cromatográficos muy estrechos". Quimiometría y Sistemas Inteligentes de Laboratorio . 179 : 22–30. doi : 10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN  0169-7439.
11. (Weideman 2002)
12. "Fórmula de suma de Euler-Maclaurin para sumas múltiples". math.stackexchange.com .
13. Thompson, Nick. "Integración numérica sobre zonas de Brillouin". bandgap.io . Consultado el 19 de diciembre de 2017 .
14. (Cruz-Uribe y Neugebauer 2002)

Referencias

• Atkinson, Kendall E. (1989), Introducción al análisis numérico (2ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50023-0
• Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (diciembre de 1990), "Caracterización de la velocidad de convergencia de la regla trapezoidal", Numerische Mathematik , 57 (1): 123–138, doi :10.1007/BF01386402, ISSN  0945-3245, S2CID  122245944
• Carga, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000), Análisis numérico (7ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-38216-2
• Weideman, JAC (enero de 2002), "Integración numérica de funciones periódicas: algunos ejemplos", The American Mathematical Monthly , 109 (1): 21–36, doi :10.2307/2695765, JSTOR  2695765
• Cruz-Uribe, D.; Neugebauer, CJ (2002), "Límites de error definidos para la regla trapezoidal y la regla de Simpson" (PDF) , Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics , 3 (4)

enlaces externos

• Fórmula del trapecio. IP Mysovskikh, Enciclopedia de Matemáticas , ed. M. Hazewinkel
• Notas sobre la convergencia de la cuadratura de regla trapezoidal
• Una implementación de cuadratura trapezoidal proporcionada por Boost.Math