Una ecuación de operador al estilo de la teoría de Fredholm.
En matemáticas , las ecuaciones integrales de Volterra son un tipo especial de ecuaciones integrales . [1] Se dividen en dos grupos denominados primer y segundo tipo.
Una ecuación lineal de Volterra del primer tipo es
donde f es una función dada y x es una función desconocida que se debe resolver. Una ecuación lineal de Volterra del segundo tipo es
En la teoría de operadores , y en la teoría de Fredholm , los operadores correspondientes se denominan operadores de Volterra . Un método útil para resolver este tipo de ecuaciones, el método de descomposición de Adomian , se debe a George Adomian .
Una ecuación integral lineal de Volterra es una ecuación de convolución si
La función en la integral se llama núcleo . Estas ecuaciones pueden analizarse y resolverse mediante técnicas de transformada de Laplace .
Para un núcleo débilmente singular de la forma con , la ecuación integral de Volterra del primer tipo se puede transformar convenientemente en una ecuación integral de Abel clásica.
Las ecuaciones integrales de Volterra fueron introducidas por Vito Volterra y luego estudiadas por Traian Lalescu en su tesis de 1908, Sur les équations de Volterra , escrita bajo la dirección de Émile Picard . En 1911, Lalescu escribió el primer libro sobre ecuaciones integrales.
Las ecuaciones integrales de Volterra encuentran aplicación en demografía como la ecuación integral de Lotka , [2] el estudio de materiales viscoelásticos , en ciencia actuarial a través de la ecuación de renovación , [3] y en mecánica de fluidos para describir el comportamiento del flujo cerca de límites de tamaño finito. [4] [5]
Conversión de la ecuación de Volterra del primer tipo al segundo tipo.
Una ecuación lineal de Volterra del primer tipo siempre se puede reducir a una ecuación lineal de Volterra del segundo tipo, suponiendo que . Tomar la derivada de la ecuación de Volterra de primer tipo nos da: Dividir por produce: Definir y completar la transformación de la ecuación de Volterra de primer tipo en una ecuación de Volterra lineal de segundo tipo.
Solución numérica usando regla trapezoidal.
Un método estándar para calcular la solución numérica de una ecuación lineal de Volterra del segundo tipo es la regla trapezoidal , que para subintervalos equidistantes viene dada por: Suponiendo un espaciado igual para los subintervalos, la componente integral de la ecuación de Volterra puede aproximarse por : Definiendo , y , tenemos el sistema de ecuaciones lineales: Esto es equivalente a la ecuación matricial : Para núcleos que se comportan bien, la regla trapezoidal tiende a funcionar bien.
Aplicación: Teoría de la ruina
Un área donde aparecen las ecuaciones integrales de Volterra es en la teoría de la ruina , el estudio del riesgo de insolvencia en la ciencia actuarial. El objetivo es cuantificar la probabilidad de ruina , donde es el excedente inicial y es el tiempo de ruina. En el modelo clásico de la teoría de la ruina, la posición de caja neta es función del excedente inicial, los ingresos por primas obtenidos a tasa y los reclamos salientes : donde es un proceso de Poisson para el número de reclamos con intensidad . En estas circunstancias, la probabilidad de ruina puede representarse mediante una ecuación integral de Volterra de la forma [6] : donde es la función de supervivencia de la distribución de siniestros.
Ver también
Referencias
- ^ Polianina, Andrei D.; Manzhirov, Alejandro V. (2008). Manual de ecuaciones integrales (2ª ed.). Boca Ratón, FL: Chapman y Hall/CRC. ISBN 978-1584885078.
- ^ Inaba, Hisashi (2017). "El modelo de población estable". Dinámica de la población estructurada por edad en demografía y epidemiología . Singapur: Springer. págs. 1–74. doi :10.1007/978-981-10-0188-8_1. ISBN 978-981-10-0187-1.
- ^ Brunner, Hermann (2017). Ecuaciones integrales de Volterra: una introducción a la teoría y sus aplicaciones . Monografías de Cambridge sobre matemáticas aplicadas y computacionales. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-1107098725.
- ^ Daddi-Moussa-Ider, A.; Vilfán, A.; Golestanian, R. (6 de abril de 2022). "Propulsión difusioforética de una partícula coloidal activa isotrópica cerca de un disco de tamaño finito incrustado en una interfaz plana fluido-fluido". Revista de mecánica de fluidos . 940 : A12. arXiv : 2109.14437 . doi :10.1017/jfm.2022.232.
- ^ Daddi-Moussa-Ider, A.; Lisicki, M.; Lowen, H .; Menzel, AM (5 de febrero de 2020). "Dinámica de un compuesto de micronadador-microplaquetas". Física de Fluidos . 32 (2): 021902. arXiv : 2001.06646 . doi : 10.1063/1.5142054.
- ^ "Notas de conferencias sobre teoría del riesgo" (PDF) . Facultad de Matemáticas, Estadística y Ciencias Actuariales . Universidad de Kent. 20 de febrero de 2010. págs. 17-22.
Otras lecturas
- Traian Lalescu, Introducción a la teoría de las ecuaciones integrales. Avec une préface de É. Picard , París : A. Hermann et Fils , 1912. VII + 152 págs.
- "Ecuación de Volterra", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Ecuación integral de Volterra de primer tipo". MundoMatemático .
- Weisstein, Eric W. "Ecuación integral de Volterra de segundo tipo". MundoMatemático .
- Ecuaciones integrales: soluciones exactas en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas
- Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 19.2. Ecuaciones de Volterra". Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
enlaces externos
- IntEQ: un paquete Python para resolver numéricamente ecuaciones integrales de Volterra