El teorema del votante mediano en ciencia política y teoría de la elección social , desarrollado por Duncan Black , establece que si los votantes y los candidatos se distribuyen a lo largo de un espectro unidimensional y los votantes tienen preferencias de un solo pico , cualquier método de votación que sea compatible con la regla de la mayoría elegirá al candidato preferido por el votante mediano . El teorema del votante mediano muestra, por tanto, que bajo un modelo realista de comportamiento de los votantes, el teorema de Arrow , que sugiere esencialmente que los sistemas de votación por orden de preferencia no pueden eliminar el efecto de saboteo , no se aplica y, por lo tanto, que la elección social racional es de hecho posible si el sistema electoral utiliza un método de Condorcet .
Esto a veces se reformula en la propiedad del votante mediano , un criterio del sistema de votación que dice que los sistemas electorales deben elegir al candidato más querido por el votante mediano. Los sistemas que no cumplen el criterio del votante mediano exhiben un fenómeno de compresión del centro , alentando a los candidatos a tomar posiciones más extremas de las que preferiría la población en general. Algunos sistemas de votación satisfacen la propiedad del votante mediano, incluidos todos los métodos de Condorcet, [1] el voto de aprobación , [2] [3] y el método de Coombs ; otros, como el voto de segunda vuelta ("voto de elección por orden de preferencia") y el voto por pluralidad , no lo cumplen. El voto por puntuación satisface la propiedad bajo el voto estratégico e informado (donde es equivalente al voto de aprobación ), o si las calificaciones de los candidatos por parte de los votantes son lineales con respecto a la distancia ideológica .
El teorema fue propuesto por primera vez por Duncan Black en 1948. [4] Escribió que veía una gran laguna en la teoría económica en relación con la manera en que el voto determina el resultado de las decisiones, incluidas las políticas. El artículo de Black desencadenó una investigación sobre cómo la economía puede explicar los sistemas de votación. En 1957, Anthony Downs expuso el teorema del votante mediano en su libro Una teoría económica de la democracia . [5]
Una afirmación similar fue hecha anteriormente (en 1929) por Harold Hotelling , quien sostuvo que los políticos en una democracia representativa convergerían hacia el punto de vista del votante mediano, [6] basándose para ello en su modelo de competencia económica . [6] [7] Sin embargo, esta afirmación se basa en un modelo de votación profundamente simplificado, y es sólo parcialmente aplicable a sistemas que satisfacen la propiedad del votante mediano. No se puede aplicar a sistemas como el voto por orden de preferencia (RCV) o el sistema de mayoría simple , incluso en sistemas bipartidistas. [3] [8] [nota 1]
El teorema del votante mediano dice que en las elecciones dimensionales, el candidato más cercano al votante mediano es el " ganador de Condorcet ", un candidato a quien la mayoría de los votantes prefiere por sobre cualquier otro candidato.
En una elección "unidimensional", en la que las opiniones de los candidatos y los votantes se distribuyen a lo largo de un espectro unidimensional y un votante clasifica a los candidatos por proximidad, de modo que el candidato más cercano al votante recibe su primera preferencia, el siguiente más cercano recibe su segunda preferencia, y así sucesivamente, el teorema del votante mediano dice que "C", el candidato más cercano en opiniones al votante mediano "M", será el ganador de Condorcet de cualquier elección realizada utilizando un método que satisfaga el criterio de Condorcet. En particular, cuando solo hay dos candidatos, un sistema de regla de mayoría satisface el criterio de Condorcet; para las votaciones de candidatos múltiples, varios métodos lo satisfacen.
Ejemplo de demostración: Sea Marlene el votante mediano . El candidato que esté más cerca de ella recibirá su voto de preferencia. Supongamos que este candidato es Charles y que se encuentra a su izquierda. Marlene y todos los votantes a su izquierda (por definición, una mayoría del electorado) preferirán a Charles a todos los candidatos a su derecha, y Marlene y todos los votantes a su derecha (también una mayoría) preferirán a Charles a todos los candidatos a su izquierda. ◻
Diremos que un método de votación tiene la "propiedad del votante mediano en una dimensión" si siempre elige al candidato más cercano al votante mediano en un modelo espacial unidimensional. Podemos resumir el teorema del votante mediano diciendo que todos los métodos de Condorcet poseen la propiedad del votante mediano en una dimensión.
Resulta que los métodos de Condorcet no son únicos en esto: el método de Coombs no es consistente con Condorcet pero, no obstante, satisface la propiedad del votante mediano en una dimensión. [11] La votación de aprobación satisface la misma propiedad en varios modelos de votación estratégica.
Es imposible generalizar por completo el teorema del votante mediano a modelos espaciales en más de una dimensión, ya que ya no existe una única "mediana" para todas las distribuciones posibles de votantes. Sin embargo, todavía es posible demostrar teoremas similares en algunas condiciones limitadas.
La tabla muestra un ejemplo de una elección dada por el Marqués de Condorcet , quien concluyó que mostraba un problema con el recuento de Borda . [12] : 90 El ganador de Condorcet a la izquierda es A, que es preferido a B por 41:40 y a C por 60:21. El ganador de Borda es en cambio B. Sin embargo, Donald Saari construye un ejemplo en dos dimensiones donde el recuento de Borda (pero no el ganador de Condorcet) identifica correctamente al candidato más cercano al centro (como lo determina la mediana geométrica ). [13]
El diagrama muestra una posible configuración de los votantes y candidatos acorde con las papeletas, con los votantes ubicados en la circunferencia de un círculo unitario. En este caso, la desviación absoluta media de A es 1,15, mientras que la de B es 1,09 (y la de C es 1,70), lo que convierte a B en el ganador espacial.
Por lo tanto, la elección es ambigua en el sentido de que dos representaciones espaciales diferentes implican dos ganadores óptimos diferentes. Esta es la ambigüedad que tratamos de evitar anteriormente al adoptar una métrica mediana para los modelos espaciales; pero aunque la métrica mediana logra su objetivo en una sola dimensión, la propiedad no se generaliza por completo a dimensiones superiores.
A pesar de este resultado, el teorema del votante mediano se puede aplicar a distribuciones que son rotacionalmente simétricas, por ejemplo, las gaussianas , que tienen una única mediana que es la misma en todas las direcciones. Siempre que la distribución de votantes tiene una única mediana en todas las direcciones, y los votantes clasifican a los candidatos en orden de proximidad, se aplica el teorema del votante mediano: el candidato más cercano a la mediana tendrá una preferencia mayoritaria sobre todos sus rivales, y será elegido por cualquier método de votación que satisfaga la propiedad del votante mediano en una dimensión. [14]
De ello se deduce que todos los métodos de votantes medianos satisfacen la misma propiedad en espacios de cualquier dimensión, para distribuciones de votantes con medianas omnidireccionales.
Es fácil construir distribuciones de votantes que no tengan una mediana en todas las direcciones. El ejemplo más simple consiste en una distribución limitada a 3 puntos que no se encuentran en una línea recta, como 1, 2 y 3 en el segundo diagrama. Cada ubicación de votante coincide con la mediana bajo un cierto conjunto de proyecciones unidimensionales. Si A, B y C son los candidatos, entonces '1' votará por ABC, '2' votará por BCA y '3' votará por CAB, lo que da un ciclo de Condorcet. Este es el tema del teorema de McKelvey-Schofield .
Demostración . Véase el diagrama, en el que el disco gris representa la distribución de los votantes de forma uniforme sobre un círculo y M es la mediana en todas las direcciones. Sean A y B dos candidatos, de los cuales A es el más cercano a la mediana. Entonces, los votantes que clasifican a A por encima de B son precisamente los que están a la izquierda (es decir, el lado "A") de la línea roja continua; y como A está más cerca que B de M, la mediana también está a la izquierda de esta línea.
Ahora bien, como M es una mediana en todas las direcciones, coincide con la mediana unidimensional en el caso particular de la dirección indicada por la flecha azul, que es perpendicular a la línea roja continua. Por lo tanto, si trazamos una línea roja discontinua a través de M, perpendicular a la flecha azul, entonces podemos decir que la mitad de los votantes se encuentran a la izquierda de esta línea. Pero como esta línea está a su vez a la izquierda de la línea roja continua, se deduce que más de la mitad de los votantes clasificarán a A por encima de B.
Siempre que existe una mediana omnidireccional única, esta determina el resultado de los métodos de votación de Condorcet. Al mismo tiempo, se puede afirmar que la mediana geométrica es el ganador ideal de una elección de preferencia por orden de preferencia. Por lo tanto, es importante conocer la relación entre ambas. De hecho, siempre que existe una mediana en todas las direcciones (al menos en el caso de distribuciones discretas), coincide con la mediana geométrica.
Lema . Siempre que una distribución discreta tiene una mediana M en todas las direcciones, los puntos de datos que no se encuentran en M deben venir en pares balanceados ( A , A ') a cada lado de M con la propiedad de que A – M – A ' es una línea recta (es decir, no como A 0 – M – A 2 en el diagrama).
Demostración . Este resultado fue demostrado algebraicamente por Charles Plott en 1967. [15] Aquí damos una prueba geométrica simple por contradicción en dos dimensiones.
Supongamos, por el contrario, que existe un conjunto de puntos A i que tienen a M como mediana en todas las direcciones, pero para los cuales los puntos no coincidentes con M no se encuentran en pares equilibrados. Entonces podemos eliminar de este conjunto todos los puntos en M y todos los pares equilibrados en torno a M sin que M deje de ser una mediana en cualquier dirección; por lo tanto, M sigue siendo una mediana omnidireccional.
Si el número de puntos restantes es impar, entonces podemos dibujar fácilmente una línea a través de M tal que la mayoría de los puntos se encuentren en un lado de ella, contradiciendo la propiedad mediana de M.
Si el número es par, digamos 2 n , entonces podemos etiquetar los puntos A 0 , A 1 ,... en orden horario alrededor de M comenzando en cualquier punto (ver el diagrama). Sea θ el ángulo subtendido por el arco desde M – A 0 hasta M – A n . Entonces, si θ < 180° como se muestra, podemos dibujar una línea similar a la línea roja discontinua a través de M que tiene la mayoría de los puntos de datos en un lado de ella, nuevamente contradiciendo la propiedad mediana de M ; mientras que si θ > 180° lo mismo se aplica con la mayoría de los puntos en el otro lado. Y si θ = 180°, entonces A 0 y A n forman un par equilibrado, contradiciendo otra suposición.
Teorema . Siempre que una distribución discreta tenga una mediana M en todas las direcciones, ésta coincide con su mediana geométrica.
Demostración . La suma de las distancias desde cualquier punto P hasta un conjunto de puntos de datos en pares balanceados ( A , A ') es la suma de las longitudes A – P – A '. Cada longitud individual de esta forma se minimiza sobre P cuando la línea es recta, como sucede cuando P coincide con M. La suma de las distancias desde P hasta cualquier punto de datos ubicado en M también se minimiza cuando P y M coinciden. Por lo tanto , la suma de las distancias desde los puntos de datos hasta P se minimiza cuando P coincide con M.
Harold Hotelling analizó una observación relacionada con la anterior , denominada «principio de mínima diferenciación», también conocido como « ley de Hotelling ». Establece que si:
En este caso, todos los políticos convergerán hacia el votante mediano. Como caso especial, esta ley se aplica a la situación en la que hay exactamente dos candidatos en la contienda, si es imposible o improbable que se sumen más candidatos a la contienda, porque una mayoría simple de votos entre dos alternativas satisface el criterio de Condorcet .
Este teorema fue descrito por primera vez por Hotelling en 1929. [7] En la práctica, ninguna de estas condiciones se cumple en las elecciones estadounidenses modernas, aunque pueden haberse cumplido en la época de Hotelling (cuando los nominados eran candidatos públicamente desconocidos elegidos por asambleas partidarias cerradas en partidos ideológicamente diversos). Lo más importante es que los políticos deben ganar las elecciones primarias , que a menudo incluyen retadores o competidores, para ser elegidos como candidatos de los principales partidos. Como resultado, los políticos deben llegar a un compromiso entre apelar al votante medio en los electorados de las primarias y de las generales. Efectos similares implican que los candidatos no convergen hacia el votante medio en los sistemas electorales que no satisfacen el teorema del votante medio, incluidos el voto por pluralidad , la votación por pluralidad con primarias , la votación por pluralidad con segunda vuelta o la segunda vuelta por orden de preferencia (RCV) . [3] [16]
El teorema es valioso porque arroja luz sobre la optimalidad (y los límites de la optimalidad) de ciertos sistemas de votación.
Valerio Dotti señala áreas de aplicación más amplias:
El teorema del votante mediano resultó muy popular en la literatura de economía política. La razón principal es que puede adoptarse para derivar implicaciones comprobables sobre la relación entre algunas características de la población votante y el resultado de las políticas, haciendo abstracción de otras características del proceso político. [14]
Añade que...
El resultado del votante mediano se ha aplicado a una increíble variedad de cuestiones. Algunos ejemplos son el análisis de la relación entre la desigualdad de ingresos y el tamaño de la intervención gubernamental en políticas redistributivas (Meltzer y Richard, 1981), [17] el estudio de los determinantes de las políticas de inmigración (Razin y Sadka, 1999), [18] el alcance de los impuestos sobre los diferentes tipos de ingresos (Bassetto y Benhabib, 2006), [19] y muchos más.