En matemáticas , la orientación de una curva es la elección de una de las dos direcciones posibles para recorrerla. Por ejemplo, en el caso de las coordenadas cartesianas , el eje x se orienta tradicionalmente hacia la derecha y el eje y hacia arriba.
En el caso de una curva cerrada simple plana (es decir, una curva en el plano cuyo punto de inicio es también el punto final y que no tiene otras autointersecciones), se dice que la curva está orientada positivamente o en sentido antihorario , si uno siempre tiene el interior de la curva a la izquierda (y en consecuencia, la curva exterior a la derecha), cuando se viaja sobre ella. En caso contrario, es decir si se intercambian izquierda y derecha, la curva está orientada negativamente o en el sentido horario . Esta definición se basa en el hecho de que toda curva cerrada simple admite un interior bien definido, lo que se sigue del teorema de la curva de Jordan .
El bucle interior de una carretera de circunvalación en un país donde se conduce por el lado derecho de la carretera es un ejemplo de una curva orientada negativamente (en el sentido de las agujas del reloj ). En trigonometría , el círculo unitario se orienta tradicionalmente en el sentido contrario a las agujas del reloj .
El concepto de orientación de una curva es simplemente un caso particular de la noción de orientación de una variedad (es decir, además de orientación de una curva también puede hablarse de orientación de una superficie , hipersuperficie , etc.).
La orientación de una curva está asociada a la parametrización de sus puntos por una variable real. Una curva puede tener parametrizaciones equivalentes cuando existe una función monótona creciente continua que relaciona el parámetro de una curva con el parámetro de la otra. Cuando existe una función continua decreciente que relaciona los parámetros, entonces las representaciones paramétricas son opuestas y la orientación de la curva se invierte. [1] [2]
En dos dimensiones, dado un conjunto ordenado de tres o más vértices (puntos) conectados (como en el juego de conectar los puntos ) que forma un polígono simple , la orientación del polígono resultante está directamente relacionada con el signo del ángulo en cualquier vértice de la envoltura convexa del polígono, por ejemplo, del ángulo ABC en la imagen. En los cálculos, el signo del ángulo más pequeño formado por un par de vectores se determina típicamente por el signo del producto vectorial de los vectores. Este último se puede calcular como el signo del determinante de su matriz de orientación. En el caso particular en el que los dos vectores están definidos por dos segmentos de línea con un punto final común, como los lados BA y BC del ángulo ABC en nuestro ejemplo, la matriz de orientación se puede definir de la siguiente manera:
Se puede obtener una fórmula para su determinante, por ejemplo, utilizando el método de expansión de cofactores :
Si el determinante es negativo, entonces el polígono está orientado en el sentido de las agujas del reloj. Si el determinante es positivo, el polígono está orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj. El determinante es distinto de cero si los puntos A, B y C no son colineales . En el ejemplo anterior, con puntos ordenados A, B, C, etc., el determinante es negativo y, por lo tanto, el polígono está orientado en el sentido de las agujas del reloj.
En aplicaciones prácticas, comúnmente se tienen en cuenta las siguientes consideraciones:
No es necesario construir la envoltura convexa de un polígono para encontrar un vértice adecuado. Una opción habitual es el vértice del polígono con la coordenada X más pequeña. Si hay varios, se elige el que tenga la coordenada Y más pequeña. Se garantiza que será un vértice de la envoltura convexa del polígono. Alternativamente, el vértice con la coordenada Y más pequeña entre los que tienen las coordenadas X más grandes o el vértice con la coordenada X más pequeña entre los que tienen las coordenadas Y más grandes (o cualquier otra de las 8 combinaciones X/Y "más pequeña, más grande") también funcionará. Una vez que se elige un vértice de la envoltura convexa, se puede aplicar la fórmula utilizando los vértices anterior y siguiente, incluso si no están en la envoltura convexa, ya que no puede haber concavidad local en este vértice.
Si se busca la orientación de un polígono convexo , entonces, por supuesto, se puede elegir cualquier vértice.
Por razones numéricas, comúnmente se utiliza la siguiente fórmula equivalente para el determinante:
La última fórmula tiene cuatro multiplicaciones menos. Lo que es más importante en los cálculos informáticos involucrados en la mayoría de las aplicaciones prácticas, como los gráficos por computadora o el CAD , los valores absolutos de los multiplicadores suelen ser más pequeños (por ejemplo, cuando A, B, C están dentro del mismo cuadrante ), lo que da un error numérico menor o, en los casos extremos, evita el desbordamiento aritmético .
Cuando no se sabe de antemano que la secuencia de puntos define un polígono simple, se deben tener en cuenta lo siguiente:
Para un polígono que se autointerseca ( polígono complejo ) (o para cualquier curva que se autointerseca) no existe una noción natural de "interior", por lo que la orientación no está definida. Al mismo tiempo, en geometría y gráficos por computadora hay una serie de conceptos que reemplazan la noción de "interior" para curvas cerradas no simples; véase, por ejemplo, " relleno de inundación " y " número de vueltas ".
En casos "leves" de autointersección, con vértices degenerados , cuando se permite que tres puntos consecutivos estén en la misma línea recta y formen un ángulo de cero grados, el concepto de "interior" todavía tiene sentido, pero se debe tener un cuidado adicional en la selección del ángulo probado. En el ejemplo dado, imagine que el punto A se encuentra en el segmento BC. En esta situación, el ángulo ABC y su determinante serán cero, por lo tanto, inútiles. Una solución es probar esquinas consecutivas a lo largo del polígono (BCD, DEF,...) hasta que se encuentre un determinante distinto de cero (a menos que todos los puntos se encuentren en la misma línea recta ). (Observe que los puntos C, D, E están en la misma línea y forman un ángulo de 180 grados con determinante cero).
Una vez que se conoce la orientación de un polígono formado a partir de un conjunto ordenado de vértices, se puede determinar la concavidad de una región local del polígono utilizando una segunda matriz de orientación. Esta matriz está compuesta por tres vértices consecutivos cuya concavidad se examina. Por ejemplo, en el polígono de la imagen anterior, si quisiéramos saber si la secuencia de puntos FGH es cóncava , convexa o colineal (plana), construimos la matriz
Si el determinante de esta matriz es 0, entonces la sucesión es colineal, es decir, no es cóncava ni convexa. Si el determinante tiene el mismo signo que el de la matriz de orientación de todo el polígono, entonces la sucesión es convexa. Si los signos difieren, entonces la sucesión es cóncava. En este ejemplo, el polígono está orientado negativamente, pero el determinante de los puntos FGH es positivo, por lo que la sucesión FGH es cóncava.
La siguiente tabla ilustra las reglas para determinar si una secuencia de puntos es convexa, cóncava o plana:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det(O)&=1{\begin{vmatrix}x_{B}&y_{B}\\x_{C}&y_{C}\end{vmatrix}}-1{ \begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}\\x_{C}&y_{C}\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}\\x_{B }&y_{B}\e nd{vmatriz}}\\[4pt]&=x_{B}y_{C}-y_{B}x_{C}-x_{A}y_{C}+y_{A}x_{C}+x_{ A}y_{B}-y_{A}x_{B}\\[4pt]&=(x_{B}y_{C}+x_{A}y_{B}+y_{A}x_{C}) -(y_{A}x_{B}+y_{B}x_{C}+x_{A}y_{C}).\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a5f9441ca7207e2bb32894caf834d53f3669c2)
