Matemáticas de la potencia eléctrica trifásica

Matemáticas y principios básicos de la energía eléctrica trifásica

Un ciclo de tensión de un sistema trifásico, marcado de 0 a 360° (2π radianes) a lo largo del eje del tiempo. La línea trazada representa la variación de la tensión (o corriente) instantánea con respecto al tiempo. Este ciclo se repite con una frecuencia que depende del sistema de energía.

En ingeniería eléctrica , los sistemas de energía eléctrica trifásica tienen al menos tres conductores que transportan voltajes alternos que están desfasados ​​en el tiempo por un tercio del período. Un sistema trifásico puede estar dispuesto en delta (∆) o estrella (Y) (también denominado en estrella en algunas áreas, ya que simbólicamente es similar a la letra 'Y'). Un sistema en estrella permite el uso de dos voltajes diferentes de las tres fases , como un sistema de 230/400 V que proporciona 230 V entre el neutro (centro) y cualquiera de las fases, y 400 V entre dos fases cualesquiera. Una disposición de sistema delta proporciona solo un voltaje, pero tiene una mayor redundancia ya que puede continuar operando normalmente con uno de los tres devanados de suministro fuera de línea, aunque al 57,7% de la capacidad total. ^[1] La corriente armónica en el neutro puede volverse muy grande si se conectan cargas no lineales.

Definiciones

En una topología conectada en estrella (wye), con secuencia de rotación L1 - L2 - L3, los voltajes instantáneos variables en el tiempo se pueden calcular para cada fase A, C, B respectivamente mediante:

${\displaystyle V_{L1-N}=V_{P}\sin \left(\theta \right)\,\!}$

${\displaystyle V_{L2-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {4}{3}}\pi \right)}$

${\displaystyle V_{L3-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {2}{3}}\pi \right)}$

dónde:

${\displaystyle V_{P}}$es el voltaje pico,

${\displaystyle \theta =2\pi ft\,\!}$es el ángulo de fase en radianes

${\displaystyle t}$es el tiempo en segundos

${\displaystyle f}$es la frecuencia en ciclos por segundo y

Los voltajes L1-N, L2-N y L3-N están referenciados al punto de conexión en estrella.

Diagramas

Las imágenes que aparecen a continuación muestran cómo un sistema de seis cables que suministra tres fases desde un alternador puede sustituirse por solo tres. También se muestra un transformador trifásico.

• 
  Alternador trifásico elemental de seis cables, en el que cada fase utiliza un par separado de cables de transmisión.
• 
  Alternador trifásico elemental de tres cables, que muestra cómo las fases pueden compartir sólo tres cables de transmisión.
• 
  Cada fase de un transformador trifásico tiene su propio par de devanados, con un núcleo compartido.

Cargas equilibradas

En general, en los sistemas eléctricos, las cargas se distribuyen de la forma más uniforme posible entre las fases. Es una práctica habitual analizar primero un sistema equilibrado y luego describir los efectos de los sistemas desequilibrados como desviaciones del caso elemental.

Transferencia de potencia constante

Una propiedad importante de la energía trifásica es que la potencia instantánea disponible para una carga resistiva, , es constante en todo momento. De hecho, sea ${\displaystyle \scriptstyle P\,=\,VI\,=\,{\frac {V^{2}}{R}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{Li}&={\frac {V_{Li}^{2}}{R}}\\P_{TOT}&=\sum _{i}P_{Li}\end{aligned}}}$

Para simplificar las matemáticas, definimos una potencia no dimensionalizada para cálculos intermedios, ${\displaystyle \scriptstyle p\,=\,{\frac {1}{V_{P}^{2}}}P_{TOT}R}$

${\displaystyle p=\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)={\frac {3}{2}}}$

Por lo tanto (sustituyendo hacia atrás):

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2R}}.}$

Como hemos eliminado, podemos ver que la potencia total no varía con el tiempo. Esto es esencial para que los generadores y motores grandes funcionen sin problemas. ${\displaystyle \theta }$

Observe también que al utilizar la raíz cuadrada media del voltaje , la expresión anterior toma la siguiente forma más clásica: ${\displaystyle V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle P_{TOT}}$

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{R}}}$.

La carga no necesita ser resistiva para lograr una potencia instantánea constante ya que, siempre que esté equilibrada o sea la misma para todas las fases, se puede escribir como

${\displaystyle Z=|Z|e^{j\varphi }}$

de manera que la corriente pico sea

${\displaystyle I_{P}={\frac {V_{P}}{|Z|}}}$

para todas las fases y las corrientes instantáneas son

${\displaystyle I_{L1}=I_{P}\sin \left(\theta -\varphi \right)}$

${\displaystyle I_{L2}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}$

${\displaystyle I_{L3}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}$

Ahora las potencias instantáneas en las fases son

${\displaystyle P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta \right)\sin \left(\theta -\varphi \right)}$

${\displaystyle P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}$

${\displaystyle P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}$

Usando fórmulas de resta de ángulos :

${\displaystyle P_{L1}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle P_{L2}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle P_{L3}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}$

que se suman para obtener una potencia instantánea total

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left\{3\cos \varphi -\left[\cos \left(2\theta -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]\right\}}$

Dado que los tres términos entre corchetes son un sistema trifásico, suman cero y la potencia total se convierte en

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}I_{P}}{2}}\cos \varphi }$

o

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2|Z|}}\cos \varphi }$

demostrando la afirmación anterior.

Nuevamente, utilizando la raíz cuadrada media del voltaje , se puede escribir en la forma habitual ${\displaystyle V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle P_{TOT}}$

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{Z}}\cos \varphi }$.

Sin corriente neutra

En el caso de cargas iguales en cada una de las tres fases, no fluye corriente neta en el neutro. La corriente en el neutro es la suma vectorial invertida de las corrientes de línea. Consulte las leyes de circuitos de Kirchhoff .

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{L1}&={\frac {V_{L1-N}}{R}},\;I_{L2}={\frac {V_{L2-N}}{R}},\;I_{L3}={\frac {V_{L3-N}}{R}}\\-I_{N}&=I_{L1}+I_{L2}+I_{L3}\end{aligned}}}$

Definimos una corriente no dimensionalizada, : ${\displaystyle i={\frac {I_{N}R}{V_{P}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=\sin \left(\theta \right)+\sin \left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)+\sin \left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)+2\sin \left(\theta \right)\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)-\sin \left(\theta \right)\\&=0\end{aligned}}}$

Como hemos demostrado que la corriente neutra es cero, podemos ver que la eliminación del núcleo neutro no tendrá ningún efecto sobre el circuito, siempre que el sistema esté equilibrado. Estas conexiones se utilizan generalmente solo cuando la carga en las tres fases es parte del mismo equipo (por ejemplo, un motor trifásico), ya que de lo contrario, la conmutación de cargas y los ligeros desequilibrios causarían grandes fluctuaciones de voltaje.

Sistemas desequilibrados

En la práctica, los sistemas rara vez tienen cargas, corrientes, voltajes e impedancias perfectamente equilibradas en las tres fases. El análisis de los casos desequilibrados se simplifica enormemente mediante el uso de las técnicas de componentes simétricos . Un sistema desequilibrado se analiza como la superposición de tres sistemas equilibrados, cada uno con la secuencia positiva, negativa o cero de voltajes equilibrados.

Al especificar los tamaños de cableado en un sistema trifásico, solo necesitamos saber la magnitud de las corrientes de fase y neutro. La corriente de neutro se puede determinar sumando las corrientes de las tres fases como números complejos y luego convirtiendo de coordenadas rectangulares a polares. Si las corrientes de raíz cuadrada media (RMS) trifásicas son , y , la corriente RMS del neutro es: ${\displaystyle I_{L1}}$ ${\displaystyle I_{L2}}$ ${\displaystyle I_{L3}}$

${\displaystyle I_{L1}+I_{L2}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \right)+jI_{L2}\sin \left({\frac {2}{3}}\pi \right)+I_{L3}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \right)+jI_{L3}\sin \left({\frac {4}{3}}\pi \right)}$

que se resuelve a

${\displaystyle I_{L1}-I_{L2}{\frac {1}{2}}-I_{L3}{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left(I_{L2}-I_{L3}\right)}$

La magnitud polar de esto es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes reales e imaginarias, que se reduce a ^[2]

${\displaystyle {\sqrt {I_{L1}^{2}+I_{L2}^{2}+I_{L3}^{2}-I_{L1}I_{L2}-I_{L1}I_{L3}-I_{L2}I_{L3}}}}$

Cargas no lineales

En las cargas lineales, el neutro solo transporta la corriente debido al desequilibrio entre las fases. Los dispositivos que utilizan terminales de entrada de condensadores rectificadores (como las fuentes de alimentación conmutadas para ordenadores, equipos de oficina y similares) introducen armónicos de tercer orden. Las corrientes de tercer orden están en fase en cada una de las fases de suministro y, por lo tanto, se sumarán en el neutro, lo que puede hacer que la corriente del neutro en un sistema en estrella supere las corrientes de fase. ^{[3] [4]}

Campo magnético giratorio

Cualquier sistema polifásico, en virtud del desplazamiento temporal de las corrientes en las fases, permite generar fácilmente un campo magnético que gira a la frecuencia de la línea. Un campo magnético giratorio de este tipo hace posible los motores de inducción polifásicos . De hecho, cuando los motores de inducción deben funcionar con energía monofásica (como la que se distribuye habitualmente en los hogares), el motor debe contener algún mecanismo para producir un campo giratorio; de lo contrario, el motor no puede generar ningún par en parada y no arrancará. El campo producido por un devanado monofásico puede proporcionar energía a un motor que ya está girando, pero sin mecanismos auxiliares, el motor no acelerará desde una parada.

Un campo magnético rotatorio de amplitud constante requiere que las tres corrientes de fase tengan la misma magnitud y estén desplazadas con precisión un tercio de ciclo en fase. El funcionamiento desequilibrado produce efectos indeseables en motores y generadores.

Conversión a otros sistemas de fase

Siempre que dos formas de onda de tensión tengan al menos algún desplazamiento relativo en el eje del tiempo, distinto de un múltiplo de un semiciclo, se puede obtener cualquier otro conjunto polifásico de tensiones mediante una matriz de transformadores pasivos . Dichas matrices equilibrarán uniformemente la carga polifásica entre las fases del sistema fuente. Por ejemplo, se puede obtener energía bifásica equilibrada de una red trifásica utilizando dos transformadores especialmente construidos, con tomas al 50% y al 86,6% de la tensión primaria. Esta conexión Scott T produce un verdadero sistema bifásico con una diferencia de tiempo de 90° entre las fases. Otro ejemplo es la generación de sistemas de orden de fase superior para grandes sistemas rectificadores , para producir una salida de CC más suave y reducir las corrientes armónicas en la fuente de alimentación.

Cuando se necesita una fuente de alimentación trifásica pero el proveedor de electricidad solo dispone de una fuente de alimentación monofásica, se puede utilizar un convertidor de fase para generar energía trifásica a partir de la fuente de alimentación monofásica. En las aplicaciones industriales de las fábricas se suele utilizar un motor-generador .

Medidas del sistema

En un sistema trifásico, se requieren al menos dos transductores para medir la potencia cuando no hay neutro, o tres transductores cuando hay neutro. ^[5] El teorema de Blondel establece que el número de elementos de medición necesarios es uno menos que el número de conductores que transportan corriente. ^[6]

Véase también

• Charles Proteo Steinmetz
• Galileo Ferrari
• John Hopkinson
• Mijail Dolivo-Dobrovolski
• Nikola Tesla
• Sistema polifásico
• Energía eléctrica trifásica
• Transformada Y-Δ

Referencias

1. "Circuitos trifásicos en triángulo y estrella" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 2013-05-13 . Consultado el 2012-11-21 .dominio público
2. Keljik, Jeffrey (2008). Electricidad 3: Generación y distribución de energía . Clifton Park, Nueva York: Cengage Learning/Delmar. pág. 49. ISBN 978-1435400290.
3. Lowenstein, Michael. "El filtro bloqueador de 3.º armónico: un enfoque bien establecido para la mitigación de corrientes armónicas". Revista IAEI. Archivado desde el original el 27 de marzo de 2011. Consultado el 24 de noviembre de 2012 .
4. Enjeti, Prasad. "Armónicos en sistemas de distribución eléctrica trifásica de cuatro cables de baja tensión y soluciones de filtrado" (PDF) . Laboratorio de electrónica de potencia y calidad de la energía de la Universidad Texas A&M. Archivado (PDF) desde el original el 13 de junio de 2010. Consultado el 24 de noviembre de 2012 .
5. "Medición de potencia trifásica con el método de 2 vatímetros" (PDF) .^{[ enlace muerto permanente ]}
6. "EL MÉTODO DEL WATÍMETRO DE DOS METROS" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2014-02-21.

• Stevenson, William D. Jr. (1975). Elementos del análisis de sistemas de potencia . McGraw-Hill Electrical and Electronic Engineering Series (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-061285-4.