Modelo de Bohr-Sommerfeld

Ampliación del modelo de Bohr para permitir órbitas elípticas de electrones alrededor de un núcleo atómico

Orbitales del radio. (Placas terminales a ^[1] )

5 electrones con los mismos números cuánticos principales y auxiliares, orbitando en sincronía. ( ^[2] página 364)

Las extensiones de Sommerfeld del modelo del átomo de hidrógeno de Bohr del sistema solar de 1913 muestran la adición de órbitas elípticas para explicar la estructura fina espectral.

El modelo de Bohr-Sommerfeld (también conocido como modelo de Sommerfeld o teoría de Bohr-Sommerfeld ) fue una extensión del modelo de Bohr para permitir órbitas elípticas de los electrones alrededor de un núcleo atómico. La teoría de Bohr-Sommerfeld recibe su nombre del físico danés Niels Bohr y del físico alemán Arnold Sommerfeld . Sommerfeld argumentó que si las órbitas electrónicas pudieran ser elípticas en lugar de circulares, la energía del electrón sería la misma, excepto en presencia de un campo magnético, introduciendo lo que ahora se conoce como degeneración cuántica .

El modelo de Bohr-Sommerfeld agregó a la condición de momento angular cuantificado del modelo de Bohr una cuantificación radial (condición de William Wilson , condición de cuantificación de Wilson-Sommerfeld ^{[3] [4]} ):

${\displaystyle \int _{0}^{T}p_{r}\,dq_{r}=nh,}$

donde p _r es el momento radial canónicamente conjugado a la coordenada q , que es la posición radial, y T es un periodo orbital completo. La integral es la acción de las coordenadas del ángulo de acción . Esta condición, sugerida por el principio de correspondencia , es la única posible, ya que los números cuánticos son invariantes adiabáticos .

Órbitas del átomo de hidrógeno con el mismo número cuántico principal, pero diferente número cuántico auxiliar ( ^[2] página 367)

Historia

En 1913, Niels Bohr mostró rudimentos del principio de correspondencia definido posteriormente y lo utilizó para formular un modelo del átomo de hidrógeno que explicaba el espectro de líneas . En los años siguientes, Arnold Sommerfeld extendió la regla cuántica a sistemas integrables arbitrarios haciendo uso del principio de invariancia adiabática de los números cuánticos introducido por Hendrik Lorentz y Albert Einstein . Sommerfeld hizo una contribución crucial ^[5] al cuantificar el componente z del momento angular , que en la antigua era cuántica se llamaba "cuantificación espacial" (en alemán: Richtungsquantelung ). Esto permitió que las órbitas del electrón fueran elipses en lugar de círculos, e introdujo el concepto de degeneración cuántica. La teoría habría explicado correctamente el efecto Zeeman , excepto por la cuestión del espín del electrón . El modelo de Sommerfeld estaba mucho más cerca de la imagen mecánica cuántica moderna que el de Bohr.

En la década de 1950, Joseph Keller actualizó la cuantificación de Bohr-Sommerfeld utilizando la interpretación de Einstein de 1917, ^[6] ahora conocida como método de Einstein-Brillouin-Keller . En 1971, Martin Gutzwiller tomó en cuenta que este método solo funciona para sistemas integrables y derivó una forma semiclásica de cuantificar sistemas caóticos a partir de integrales de trayectorias . ^[7]

Predicciones

El modelo de Sommerfeld predijo que el momento magnético de un átomo medido a lo largo de un eje solo tomará valores discretos, un resultado que parece contradecir la invariancia rotacional pero que fue confirmado por el experimento de Stern-Gerlach . Este fue un paso significativo en el desarrollo de la mecánica cuántica. También describió la posibilidad de que los niveles de energía atómica se dividan por un campo magnético (llamado efecto Zeeman). Walther Kossel trabajó con Bohr y Sommerfeld en el modelo de Bohr-Sommerfeld del átomo introduciendo dos electrones en la primera capa y ocho en la segunda. ^[8]

Asuntos

El modelo de Bohr-Sommerfeld era fundamentalmente inconsistente y conducía a muchas paradojas. El número cuántico magnético medía la inclinación del plano orbital con respecto al plano xy  y solo podía tomar unos pocos valores discretos. Esto contradecía el hecho obvio de que un átomo podía girarse de un lado a otro con respecto a las coordenadas sin restricción. La cuantificación de Sommerfeld se puede realizar en diferentes coordenadas canónicas y, a veces, da diferentes respuestas. La incorporación de correcciones de radiación era difícil, porque requería encontrar coordenadas de ángulo de acción para un sistema combinado radiación/átomo, lo cual es difícil cuando se permite que la radiación escape. La teoría completa no se extendía a los movimientos no integrables, lo que significaba que muchos sistemas no podían ser tratados ni siquiera en principio. Al final, el modelo fue reemplazado por el tratamiento mecánico-cuántico moderno del átomo de hidrógeno, que fue presentado por primera vez por Wolfgang Pauli en 1925, utilizando la mecánica matricial de Heisenberg . La imagen actual del átomo de hidrógeno se basa en los orbitales atómicos de la mecánica ondulatoria , que Erwin Schrödinger desarrolló en 1926.

Sin embargo, esto no quiere decir que el modelo de Bohr-Sommerfeld no tuviera éxitos. Los cálculos basados ​​en el modelo de Bohr-Sommerfeld pudieron explicar con precisión una serie de efectos espectrales atómicos más complejos. Por ejemplo, hasta perturbaciones de primer orden , el modelo de Bohr y la mecánica cuántica hacen las mismas predicciones para la división de la línea espectral en el efecto Stark . Sin embargo, en perturbaciones de orden superior, el modelo de Bohr y la mecánica cuántica difieren, y las mediciones del efecto Stark bajo altas intensidades de campo ayudaron a confirmar la exactitud de la mecánica cuántica sobre el modelo de Bohr. La teoría predominante detrás de esta diferencia radica en las formas de los orbitales de los electrones, que varían según el estado de energía del electrón.

Las condiciones de cuantificación de Bohr-Sommerfeld plantean interrogantes en el campo de las matemáticas modernas. La condición de cuantificación semiclásica consistente requiere un cierto tipo de estructura en el espacio de fases, lo que impone limitaciones topológicas a los tipos de variedades simplécticas que se pueden cuantificar. En particular, la forma simpléctica debería ser la forma de curvatura de una conexión de un fibrado lineal hermítico , lo que se denomina precuantificación .

Órbita relativista

Orbitales del átomo de hidrógeno. Los saltos de 3 ₁ , 3 ₂ , 3 ₃ a 2 ₂ crean la línea espectral de Balmer H _α , pero difieren en la estructura fina. ^[9] (Figura 27 ^[1] )

Órbitas elípticas con la misma energía y momento angular cuantificado

Arnold Sommerfeld derivó la solución relativista de los niveles de energía atómica. ^[5] Comenzaremos esta derivación ^[10] con la ecuación relativista para la energía en el potencial eléctrico.

${\displaystyle W={m_{\mathrm {0} }c^{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)-k{\frac {Ze^{2}}{r}}}$

Después de la sustitución obtenemos ${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}u}$

Para el momento y su relación la ecuación de movimiento es (ver ecuación de Binet ) ${\displaystyle p_{\mathrm {r} }=m{\dot {r}}}$ ${\displaystyle p_{\mathrm {\varphi } }=mr^{2}{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\frac {p_{\mathrm {r} }}{p_{\mathrm {\varphi } }}}=-{\frac {du}{d\varphi }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{\mathrm {0} }kZe^{2}}{p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\left(1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}\right)=-\omega _{\mathrm {0} }^{2}u+K}$

Con solucion

${\displaystyle u={\frac {1}{r}}=K+A\cos \omega _{\mathrm {0} }\varphi }$

El desplazamiento angular del periapsis por revolución viene dado por

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {s} }=2\pi \left({\frac {1}{\omega _{\mathrm {0} }}}-1\right)\approx 4\pi ^{3}k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}n_{\mathrm {\varphi } }^{2}h^{2}}}}$

Con las condiciones cuánticas

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {\varphi } }\,d\varphi =2\pi p_{\mathrm {\varphi } }=n_{\mathrm {\varphi } }h}$

y

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {r} }\,dr=p_{\mathrm {\varphi } }\oint \left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\,d\varphi =n_{\mathrm {r} }h}$

obtendremos energías

${\displaystyle {\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{\mathrm {r} }+{\sqrt {n_{\mathrm {\varphi } }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2}-1}$

donde es la constante de estructura fina . Esta solución (usando sustituciones para números cuánticos) es equivalente a la solución de la ecuación de Dirac . ^[11] Sin embargo, ambas soluciones no predicen los desplazamientos de Lamb . ${\displaystyle \alpha }$

Véase también

• Modelo de Bohr
• Antigua teoría cuántica

Referencias

1. Kramers, Hendrik Anthony (1923). El átomo y la teoría de Bohr sobre su estructura: una presentación elemental. Bibliotecas del MIT. Nueva York: AA Knopf.
2. Sommerfeld, Arnold Johannes Wilhelm (1921). Atombau und Spektrallinien. Universidad de California. Braunschweig: F. Vieweg & Sohn.
3. A. Sommerfeld (1916). "Zur Quantentheorie der Spektrallinien". Annalen der Physik (en alemán). 51 (17): 1–94. Código bibliográfico : 1916AnP...356....1S. doi : 10.1002/andp.19163561702.
4. W. Wilson (1915). "La teoría cuántica de la radiación y los espectros de líneas". Revista filosófica . 29 (174): 795–802. doi :10.1080/14786440608635362.
5. Sommerfeld, Arnold (1919). Atombau und Spektrallinien'. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 978-3-87144-484-5.
6. Los documentos recopilados de Albert Einstein, vol. 6, A. Engel, trad., Princeton U. Press, Princeton, NJ (1997), pág. 434
7. Stone, AD (agosto de 2005). "La intuición desconocida de Einstein y el problema de la cuantificación del caos" (PDF) . Physics Today . 58 (8): 37–43. Bibcode :2005PhT....58h..37S. doi :10.1063/1.2062917.
8. Heilbron, John L. (1967). "La teoría de Kossel-Sommerfeld y el átomo en anillo". Isis . 58 (4): 450–485. doi :10.1086/350299. JSTOR  228422. S2CID  144639796.
9. Bohr, N. (julio de 1923). "La estructura del átomo". Nature . 112 (2801): 29–44. doi :10.1038/112029a0. ISSN  1476-4687.
10. https://archive.org/details/atombauundspekt00sommgoog/page/n541 - Atombau und Spektrallinien, 1921, página 520
11. Ya I Granovski (2004). "Fórmula de Sommerfeld y teoría de Dirac" (PDF) . Física-Uspekhi . 47 (5): 523–524. Código Bibliográfico :2004PhyU...47..523G. doi :10.1070/PU2004v047n05ABEH001885. S2CID  250900220.