Ecuación de convección-difusión

Combinación de las ecuaciones de difusión y convección (advección)

La ecuación de convección-difusión es una combinación de las ecuaciones de difusión y convección ( advección ) y describe fenómenos físicos en los que partículas, energía u otras cantidades físicas se transfieren dentro de un sistema físico debido a dos procesos: difusión y convección . Dependiendo del contexto, la misma ecuación puede denominarse ecuación de advección -difusión , ecuación de deriva -difusión , ^[1] o ecuación de transporte escalar (genérica) . ^[2]

Ecuación

General

Una columna de contaminantes que se mueve en medios porosos a través de la ecuación de convección-difusión (también llamada ecuación advectiva-difusiva) (marcas de tiempo de 1 día, 85 días, 462 días y 674 días) con la advección como mecanismo de transporte principal.

La ecuación general en forma conservadora es ^{[3] [4]} donde $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\mathbf {\nabla } \cdot (D\mathbf {\nabla } c-\mathbf {v} c)+R}$$

• c es la variable de interés (concentración de especies para la transferencia de masa , temperatura para la transferencia de calor ),
• D es la difusividad (también llamada coeficiente de difusión ), como la difusividad de masa para el movimiento de partículas o la difusividad térmica para el transporte de calor,
• v es el campo de velocidades con el que se mueve la cantidad. Es una función del tiempo y del espacio. Por ejemplo, en advección , c podría ser la concentración de sal en un río y luego v sería la velocidad del flujo de agua en función del tiempo y la ubicación. Otro ejemplo, c podría ser la concentración de pequeñas burbujas en un lago en calma, y ​​luego v sería la velocidad de las burbujas que se elevan hacia la superficie por flotabilidad (ver más abajo) dependiendo del tiempo y la ubicación de la burbuja. Para flujos multifásicos y flujos en medios porosos , v es la velocidad superficial (hipotética).
• R describe fuentes o sumideros de la cantidad c , es decir, la creación o destrucción de la cantidad. Por ejemplo, para una especie química, R > 0 significa que una reacción química está creando más especies, y R < 0 significa que una reacción química está destruyendo la especie. Para el transporte de calor, R > 0 podría ocurrir si la energía térmica se genera por fricción .

Por ejemplo, si c es la concentración de una molécula, entonces R describe cómo se puede crear o destruir la molécula mediante reacciones químicas. R puede ser función de cy de otros parámetros. A menudo hay varias cantidades, cada una con su propia ecuación de convección-difusión, donde la destrucción de una cantidad implica la creación de otra. Por ejemplo, cuando el metano se quema, implica no sólo la destrucción de metano y oxígeno, sino también la creación de dióxido de carbono y vapor de agua. Por lo tanto, si bien cada una de estas sustancias químicas tiene su propia ecuación de convección-difusión, están acopladas y deben resolverse como un sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas .

• ∇ representa gradiente y ∇ ⋅ representa divergencia . En esta ecuación, ∇ c representa el gradiente de concentración.

Comprender los términos de densidad actual involucrados

La ecuación de convección-difusión es un ejemplo particular de ecuación de conservación. Una ecuación de conservación tiene la forma general: Donde j _c es el término de densidad de corriente asociado a la variable de interés c . $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} _{c}=R}$$

En una ecuación de convección-difusión, la densidad de corriente de la cantidad c es la suma de dos términos: $${\displaystyle \mathbf {j} _{c}=-D\mathbf {\nabla } c+\mathbf {v} c}$$

• El primero, -D ∇ c , describe la difusión según la ley de Fick . Imagine que c es la concentración de una sustancia química. Cuando la concentración es baja en algún lugar en comparación con las áreas circundantes (por ejemplo, un mínimo local de concentración), la sustancia se difundirá desde los alrededores, por lo que la concentración aumentará. Por el contrario, si la concentración es alta en comparación con el entorno (por ejemplo, un máximo local de concentración), entonces la sustancia se difundirá y la concentración disminuirá. La difusión neta es proporcional al laplaciano (o segunda derivada ) de la concentración si la difusividad D es constante.
• La segunda contribución, vc , describe la convección (o advección). Por ejemplo, en la ecuación de continuidad sólo está presente este término en la densidad de corriente. Imagínese estar parado en la orilla de un río, midiendo la salinidad del agua (cantidad de sal) cada segundo. Río arriba, alguien arroja un cubo de sal al río. Un rato después, verías que la salinidad aumenta repentinamente y luego disminuye a medida que pasa la zona de agua salada. Por tanto, la concentración en un lugar determinado puede cambiar debido al flujo.

Simplificaciones comunes

En una situación común, el coeficiente de difusión es constante, no hay fuentes ni sumideros y el campo de velocidades describe un flujo incompresible (es decir, tiene divergencia cero ). Entonces la fórmula se simplifica a: ^{[5] [6] [7]} $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c-\mathbf {v} \cdot \nabla c.}$$

De esta forma, la ecuación de convección-difusión combina ecuaciones diferenciales parciales parabólicas e hiperbólicas .

En este caso, la ecuación se puede expresar en forma convectiva simple : $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c,}$$

donde la derivada del lado izquierdo es la derivada material de la variable c . En materiales que no interactúan, D=0 (por ejemplo, cuando la temperatura está cerca del cero absoluto , el gas diluido tiene una difusividad de masa casi nula ), por lo tanto, la ecuación de transporte es simplemente la ecuación de continuidad: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla c=0.}$$

Usando la transformada de Fourier tanto en el dominio temporal como en el espacial (es decir, con núcleo integral ), se puede obtener su ecuación característica : que da la solución general: ¿ dónde está cualquier función escalar diferenciable ? Esta es la base para medir la temperatura del condensado cercano a Bose-Einstein ^[8] mediante el método del tiempo de vuelo . ^[9] ${\displaystyle e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$ $${\displaystyle j\omega {\tilde {c}}+\mathbf {v} \cdot j\mathbf {k} {\tilde {c}}=0\rightarrow \omega =-\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} ,}$$ $${\displaystyle c=f(\mathbf {x} -\mathbf {v} t),}$$ ${\displaystyle f}$

Versión estacionaria

La ecuación estacionaria de convección-difusión describe el comportamiento en estado estacionario de un sistema convectivo-difusivo. En estado estable, ⁠∂c​/∂t​⁠ = 0 , por lo que la ecuación a resolver pasa a ser la ecuación de segundo orden: $${\displaystyle \nabla \cdot (-D\nabla c+\mathbf {v} c)=R.}$$

Caso unidimensional

En una dimensión, el operador de gradiente espacial es simplemente:

$${\displaystyle \nabla ={\frac {d}{dx}}}$$

entonces la ecuación a resolver se convierte en la ecuación de segundo orden de una sola variable: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(-D(x){\frac {dc(x)}{dx}}+v(x)c(x)\right)=R(x)}$$

Que se puede integrar una vez en la variable espacial x para dar:

$${\displaystyle D(x){\frac {dc(x)}{dx}}-v(x)c(x)=-\int _{x}R(x')dx'}$$

Cuando D no es cero, se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea con coeficientes variables en la variable c(x):

$${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$donde los coeficientes son: y: $${\displaystyle f(x)={\frac {v(x)}{D(x)}}}$$ $${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{D(x)}}\int _{x}R(x')dx'}$$

De hecho, esta ecuación tiene una solución analítica relativamente simple (consulte el enlace anterior a la ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes variables ).

Por otro lado, en las posiciones x donde D=0, el término de difusión de primer orden desaparece y la solución pasa a ser simplemente la relación:

$${\displaystyle c(x)={\frac {1}{v(x)}}\int _{x}R(x')dx'}$$

Derivación

La ecuación de convección-difusión se puede derivar de manera sencilla ^[4] a partir de la ecuación de continuidad , que establece que la tasa de cambio de una cantidad escalar en un volumen de control diferencial está dada por el flujo y la difusión dentro y fuera de esa parte del sistema junto con cualquier generación o consumo dentro del volumen de control: donde j es el flujo total y R es una fuente volumétrica neta para c . Hay dos fuentes de flujo en esta situación. Primero, el flujo difusivo surge debido a la difusión . Esto normalmente se aproxima mediante la primera ley de Fick : es decir, el flujo del material en difusión (en relación con el movimiento global) en cualquier parte del sistema es proporcional al gradiente de concentración local . En segundo lugar, cuando hay convección o flujo general, hay un flujo asociado llamado flujo advectivo : el flujo total (en un sistema de coordenadas estacionario) viene dado por la suma de estos dos: Sustituyendo la ecuación de continuidad: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{diff}}=-D\nabla c}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{adv}}=\mathbf {v} c}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\text{diff}}+\mathbf {j} _{\text{adv}}=-D\nabla c+\mathbf {v} c.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\nabla c+\mathbf {v} c\right)=R.}$$

Fenómenos de mezcla complejos

En general, D , v y R pueden variar con el espacio y el tiempo. En los casos en los que también dependen de la concentración, la ecuación se vuelve no lineal, dando lugar a muchos fenómenos de mezcla distintivos, como la convección de Rayleigh-Bénard cuando v depende de la temperatura en la formulación de transferencia de calor y la formación de patrones de reacción-difusión cuando R depende de la concentración. en la formulación de transferencia de masa.

Velocidad en respuesta a una fuerza.

En algunos casos, el campo de velocidad promedio v existe debido a una fuerza; por ejemplo, la ecuación podría describir el flujo de iones disueltos en un líquido, con un campo eléctrico que empuja los iones en alguna dirección (como en la electroforesis en gel ). En esta situación, suele denominarse ecuación de deriva-difusión o ecuación de Smoluchowski , ^[1] en honor a Marian Smoluchowski , quien la describió en 1915 ^[10] (que no debe confundirse con la relación de Einstein-Smoluchowski o la ecuación de coagulación de Smoluchowski ).

Normalmente, la velocidad promedio es directamente proporcional a la fuerza aplicada, dando la ecuación: ^{[11] [12]} donde F es la fuerza y ​​ζ caracteriza la fricción o arrastre viscoso . (La inversa ζ ⁻¹ se llama movilidad ). $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot \left(\zeta ^{-1}\mathbf {F} c\right)+R}$$

Derivación de la relación de Einstein

Cuando la fuerza está asociada con una energía potencial F = −∇ U (ver fuerza conservadora ), se obtiene una solución en estado estacionario a la ecuación anterior (es decir, 0 = R = ⁠∂c​/∂t​⁠ ) ​​es: (asumiendo que D y ζ son constantes). En otras palabras, hay más partículas donde la energía es menor. Se espera que este perfil de concentración concuerde con la distribución de Boltzmann (más precisamente, la medida de Gibbs ). A partir de esta suposición,se puede probar la relación de Einstein : ^[12] $${\displaystyle c\propto \exp \left(-D^{-1}\zeta ^{-1}U\right)}$$ $${\displaystyle D\zeta =k_{\mathrm {B} }T.}$$

Como ecuación diferencial estocástica

La ecuación de convección-difusión (sin fuentes ni drenajes, R = 0 ) puede verse como una ecuación diferencial estocástica , que describe el movimiento aleatorio con difusividad D y sesgo v . Por ejemplo, la ecuación puede describir el movimiento browniano de una sola partícula, donde la variable c describe la distribución de probabilidad de que la partícula esté en una posición determinada en un momento determinado. La razón por la que la ecuación se puede usar de esa manera es porque no existe una diferencia matemática entre la distribución de probabilidad de una sola partícula y el perfil de concentración de una colección de infinitas partículas (siempre que las partículas no interactúen entre sí).

La ecuación de Langevin describe la advección, la difusión y otros fenómenos de forma explícitamente estocástica. Una de las formas más simples de la ecuación de Langevin es cuando su "término de ruido" es gaussiano ; en este caso, la ecuación de Langevin es exactamente equivalente a la ecuación de convección-difusión. ^[12] Sin embargo, la ecuación de Langevin es más general. ^[12]

solución numérica

La ecuación de convección-difusión rara vez se puede resolver con lápiz y papel. Más a menudo, se utilizan computadoras para aproximar numéricamente la solución de la ecuación, generalmente utilizando el método de elementos finitos . Para más detalles y algoritmos ver: Solución numérica de la ecuación de convección-difusión .

Ecuaciones similares en otros contextos

La ecuación de convección-difusión es una ecuación relativamente simple que describe flujos o, alternativamente, describe un sistema que cambia estocásticamente. Por lo tanto, la misma ecuación o una similar surge en muchos contextos no relacionados con los flujos a través del espacio.

• Es formalmente idéntica a la ecuación de Fokker-Planck para la velocidad de una partícula.
• Está estrechamente relacionado con la ecuación de Black-Scholes y otras ecuaciones de matemáticas financieras. ^[13]
• Está estrechamente relacionado con las ecuaciones de Navier-Stokes , porque el flujo de momento en un fluido es matemáticamente similar al flujo de masa o energía. La correspondencia es más clara en el caso de un fluido newtoniano incompresible, en cuyo caso la ecuación de Navier-Stokes es: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=\mu \nabla ^{2}\mathbf {M} -\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {M} +(\mathbf {f} -\nabla P)}$$

donde M es el momento del fluido (por unidad de volumen) en cada punto (igual a la densidad ρ multiplicada por la velocidad v ), μ es la viscosidad, P es la presión del fluido y f es cualquier otra fuerza corporal como la gravedad . En esta ecuación, el término del lado izquierdo describe el cambio de impulso en un punto dado; el primer término de la derecha describe la difusión del momento por la viscosidad ; el segundo término de la derecha describe el flujo advectivo de impulso; y los dos últimos términos de la derecha describen las fuerzas externas e internas que pueden actuar como fuentes o sumideros de impulso.

En física de semiconductores

A medida que se generan portadores (verde: electrones y violeta: agujeros) debido a la luz que brilla en el centro de un semiconductor intrínseco, se difunden hacia dos extremos. Los electrones tienen una constante de difusión más alta que los huecos, lo que genera menos electrones en exceso en el centro en comparación con los huecos.

En física de semiconductores , esta ecuación se llama ecuación de deriva-difusión . La palabra "deriva" está relacionada con la corriente de deriva y la velocidad de deriva . La ecuación normalmente se escribe: ^[14] donde $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n-n\mu _{n}\mathbf {E} \\{\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}&=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} \\{\frac {\partial n}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R\\{\frac {\partial p}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R\end{aligned}}}$$

• n y p son las concentraciones (densidades) de electrones y huecos , respectivamente,
• q > 0 es la carga elemental ,
• J _n y J _p son las corrientes eléctricas debidas a electrones y huecos respectivamente,
• ⁠jn_​/−q​⁠ y ⁠jp_​/q⁠ son las correspondientes "corrientes de partículas" de electrones y huecos respectivamente,
• R representa la generación y recombinación de portadores ( R > 0 para generación de pares electrón-hueco, R <0 para recombinación).
• E es elvector del campo eléctrico.
• ${\displaystyle \mu _{n}}$y son movilidad de electrones y huecos . ${\displaystyle \mu _{p}}$

El coeficiente de difusión y la movilidad están relacionados mediante la relación de Einstein como se indicó anteriormente: donde k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta . La corriente de deriva y la corriente de difusión se refieren por separado a los dos términos en las expresiones para J , a saber: $${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&={\frac {\mu _{n}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\\D_{p}&={\frac {\mu _{p}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}}{-q}}&=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}}{q}}&=p\mu _{p}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{diff}}}}{q}}&=-D_{p}\nabla p.\end{aligned}}}$$

Esta ecuación se puede resolver numéricamente junto con la ecuación de Poisson . ^[15]

A la derecha se muestra un ejemplo de los resultados de resolver la ecuación de difusión por deriva. Cuando la luz incide sobre el centro del semiconductor, los portadores se generan en el medio y se difunden hacia los dos extremos. La ecuación de deriva-difusión se resuelve en esta estructura y la distribución de densidad de electrones se muestra en la figura. Se puede ver el gradiente del soporte desde el centro hacia los dos extremos.

Ver también

• Biblioteca de simulación avanzada
• Ecuaciones de conservación
• Ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes
• Ecuación de Nernst-Planck
• Doble convección difusiva
• Convección natural
• Ecuación de Buckley-Leverett
• La ecuación de las hamburguesas

Referencias

1. Chandrasekhar (1943). "Problemas estocásticos en Física y Astronomía". Mod. Rev. Física . 15 (1): 1. Código bibliográfico : 1943RvMP...15....1C. doi :10.1103/RevModPhys.15.1.Ver ecuación (312)
2. Baukal; Gerstein; Li, editores. (2001). Dinámica de fluidos computacional en combustión industrial. Prensa CRC. pag. 67.ISBN​ 0-8493-2000-3- a través de libros de Google.
3. Stocker, Thomas (2011). Introducción a la modelización climática. Berlín: Springer. pag. 57.ISBN​ 978-3-642-00772-9- a través de libros de Google.
4. Socolofsky, Scott A.; Jirka, Gerhard H. "Ecuación de difusión advectiva" (PDF) . Notas de lectura . Archivado desde el original (PDF) el 25 de junio de 2010 . Consultado el 18 de abril de 2012 .
5. Bejan A (2004). Transferencia de calor por convección .
6. Pájaro, Stewart, Lightfoot (1960). Fenómenos del transporte .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Probstein R (1994). Hidrodinámica fisicoquímica .
8. Ketterle, W.; Durfee, DS; Stamper-Kurn, DM (1 de abril de 1999). "Hacer, sondear y comprender los condensados ​​de Bose-Einstein". arXiv : cond-mat/9904034 .
9. Brzozowski, Tomasz M; Maczynska, María; Zawada, Michal; Zachorowski, Jerzy; Gawlik, Wojciech (14 de enero de 2002). "Medición del tiempo de vuelo de la temperatura de átomos fríos para distancias cortas del haz trampa-sonda". Journal of Optics B: Óptica cuántica y semiclásica . 4 (1): 62–66. Código Bib : 2002JOptB...4...62B. doi :10.1088/1464-4266/4/1/310. ISSN  1464-4266. S2CID  67796405.
10. Smoluchowski, Mv (1915). "Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung" (PDF) . Ana. Física. 4. Seguir. 353 (48): 1103-1112. Código bibliográfico : 1915AnP...353.1103S. doi : 10.1002/andp.19163532408.
11. "Ecuación de difusión de Smoluchowski" (PDF) .
12. Doi y Edwards (1988). La teoría de la dinámica de los polímeros. págs. 46–52. ISBN 978-0-19-852033-7– a través de libros de Google .
13. Arabas, S.; Farhat, A. (2020). "La fijación de precios de derivados como problema de transporte: soluciones MPDATA a ecuaciones de tipo Black-Scholes". J. Computación. Aplica. Matemáticas . 373 : 112275. arXiv : 1607.01751 . doi :10.1016/j.cam.2019.05.023. S2CID  128273138.
14. Hu, Yue (2015). "Simulación de un fotodetector de absorbente parcialmente agotado (PDA)". Óptica Express . 23 (16): 20402–20417. Código Bib : 2015OExpr..2320402H. doi :10.1364/OE.23.020402. hdl : 11603/11470 . PMID  26367895.
15. Hu, Yue (2014). "Modelado de fuentes de no linealidad en un fotodetector de clavija simple". Revista de tecnología Lightwave . 32 (20): 3710–3720. Código Bib : 2014JLwT...32.3710H. CiteSeerX 10.1.1.670.2359 . doi :10.1109/JLT.2014.2315740. S2CID  9882873. 

Otras lecturas

• Sewell, Granville (1988). La solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . Prensa académica. ISBN 0-12-637475-9.