Cero afilado

Concepto en la teoría de conjuntos

En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos , 0 ^# ( cero agudo , también 0# ) es el conjunto de fórmulas verdaderas sobre indiscernibles e indiscernibles de orden en el universo construible de Gödel . A menudo se codifica como un subconjunto de los números naturales (utilizando la numeración de Gödel ), o como un subconjunto de los conjuntos finitos hereditarios , o como un número real . Su existencia es indemostrable en ZFC , la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos , pero se deduce de un axioma cardinal grande adecuado . Fue introducido por primera vez como un conjunto de fórmulas en la tesis de Silver de 1966, publicada más tarde como Silver (1971), donde se denotó por Σ, y redescubierto por Solovay (1967, p.52), quien lo consideró como un subconjunto de los números naturales e introdujo la notación O ^# (con una letra O mayúscula; esto más tarde cambió al numeral '0').

En términos generales, si existe 0 ^# , entonces el universo V de conjuntos es mucho más grande que el universo L de conjuntos construibles, mientras que si no existe, entonces el universo de todos los conjuntos se aproxima estrechamente a los conjuntos construibles.

Definición

El cero agudo fue definido por Silver y Solovay de la siguiente manera. Consideremos el lenguaje de la teoría de conjuntos con símbolos constantes adicionales , , ... para cada número natural distinto de cero. Entonces se define como el conjunto de números de Gödel de las oraciones verdaderas sobre el universo construible, con interpretado como el cardinal incontable . (Aquí significa en el universo completo, no en el universo construible). ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \aleph _{i}}$ ${\displaystyle \aleph _{i}}$ ${\displaystyle \aleph _{i}}$

Hay una sutileza en esta definición: por el teorema de indefinibilidad de Tarski no es posible, en general, definir la verdad de una fórmula de la teoría de conjuntos en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Para resolver esto, Silver y Solovay asumieron la existencia de un cardinal grande adecuado, como un cardinal de Ramsey , y demostraron que con este supuesto adicional es posible definir la verdad de las afirmaciones sobre el universo construible. De manera más general, la definición de funciona siempre que exista un conjunto incontable de indiscernibles para algún , y la frase " existe" se usa como una forma abreviada de decir esto. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Un conjunto cerrado de indiscernibles de orden para (donde es un ordinal límite) es un conjunto de indiscernibles de Silver si: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle I}$no tiene límites en , y ${\displaystyle \alpha }$
• Si no está acotado en un ordinal , entonces la envoltura de Skolem de en es . En otras palabras, cada es definible en a partir de parámetros en . ${\displaystyle I\cap \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle I\cap \beta }$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle x\in L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle I\cap \beta }$

Si existe un conjunto de indiscernibles de Plata para , entonces es único. Además, para cualquier cardinal incontable habrá un conjunto único de indiscernibles de Plata para . La unión de todos estos conjuntos será una clase propia de indiscernibles de Plata para la estructura misma. Entonces, se define como el conjunto de todos los números de Gödel de fórmulas tales que ${\displaystyle L_{\omega _{1}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle L_{\alpha }\models \theta (\alpha _{1},\alpha _{2}\ldots \alpha _{n})}$

donde es cualquier secuencia estrictamente creciente de miembros de . Debido a que son indiscernibles, la definición no depende de la elección de la secuencia. ${\displaystyle \alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{n}<\alpha }$ ${\displaystyle I}$

Cualquiera tiene la propiedad de que . Esto permite una definición de verdad para el universo construible: ${\displaystyle \alpha \in I}$ ${\displaystyle L_{\alpha }\prec L}$

${\displaystyle L\models \varphi [x_{1}...x_{n}]}$Sólo si por alguna razón . ${\displaystyle L_{\alpha }\models \varphi [x_{1}...x_{n}]}$ ${\displaystyle \alpha \in I}$

Existen varias variaciones menores de la definición de , que no hacen una diferencia significativa en sus propiedades. Hay muchas opciones diferentes de numeración de Gödel, y depende de esta elección. En lugar de ser considerado como un subconjunto de los números naturales, también es posible codificarlo como un subconjunto de fórmulas de un lenguaje, o como un subconjunto de los conjuntos finitos hereditarios, o como un número real. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Afirmaciones que implican existencia

La condición sobre la existencia de un cardinal de Ramsey que implica que existe puede debilitarse. La existencia de cardinales de -Erdős implica la existencia de . Esto está cerca de ser lo mejor posible, porque la existencia de implica que en el universo construible hay un cardinal de -Erdős para todos los contables , por lo que dichos cardinales no pueden usarse para probar la existencia de . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

La conjetura de Chang implica la existencia de . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Afirmaciones equivalentes a la existencia

Kunen demostró que existe si y sólo si existe una incrustación elemental no trivial para el universo construible de Gödel en sí mismo. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$

Donald A. Martin y Leo Harrington han demostrado que la existencia de es equivalente a la determinación de los juegos analíticos de cara clara . De hecho, la estrategia para un juego analítico de cara clara universal tiene el mismo grado de Turing que . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Del teorema de cobertura de Jensen se deduce que la existencia de es equivalente a ser un cardinal regular en el universo construible . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle L}$

Silver demostró que la existencia de un conjunto incontable de indiscernibles en el universo construible es equivalente a la existencia de . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Consecuencias de la existencia y de la no existencia

La existencia de implica que cada cardinal incontable en el universo de la teoría de conjuntos es un indiscernible en y satisface todos los axiomas cardinales grandes que se realizan en (como ser totalmente inefable ). De ello se deduce que la existencia de contradice el axioma de constructibilidad : . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle V=L}$

Si existe, entonces es un ejemplo de un conjunto no construible de números naturales. Esta es en cierto sentido la posibilidad más simple para un conjunto no construible, ya que todos los conjuntos y de números naturales son construibles. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle \Delta _{3}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$

Por otra parte, si no existe, entonces el universo construible es el modelo central, es decir, el modelo interno canónico que se aproxima a la gran estructura cardinal del universo considerado. En ese caso, se cumple el lema de recubrimiento de Jensen : ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$

Para cada conjunto incontable de ordinales existe un construible tal que y tiene la misma cardinalidad que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\subset y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Este resultado profundo se debe a Ronald Jensen . Al usar el forzamiento, es fácil ver que la condición de que sea incontable no se puede eliminar. Por ejemplo, considere el forzamiento de Namba , que conserva y colapsa a un ordinal de cofinalidad . Sea una -secuencia cofinal en y genérica sobre . Entonces, ningún conjunto en de -tamaño menor que (que es incontable en , ya que se conserva) puede cubrir , ya que es un cardinal regular . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{2}^{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{2}^{L}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Si no existe, se sigue también que se cumple la hipótesis de los cardinales singulares . ^{[1] p. 20} ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Otros objetos punzantes

Si es cualquier conjunto, entonces se define de manera análoga a excepto que se utiliza en lugar de , también con un símbolo de predicado para . Véase Universo construible#Constructibilidad relativa . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L[x]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$

Véase también

• 0 † , un conjunto similar a 0 ^# donde el universo construible se reemplaza por un modelo interno más grande con un cardinal medible .

Referencias

1. P. Holy, "Absoluteness Results in Set Theory" (Resultados de la absolutividad en la teoría de conjuntos) (2017). Consultado el 24 de julio de 2024.

• Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardinales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Harrington, Leo (1978). "Determinación analítica y 0 #". Revista de lógica simbólica . 43 (4): 685–693. doi :10.2307/2273508. ISSN  0022-4812. MR  0518675.
• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos . Springer Monographs in Mathematics (edición del tercer milenio). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-44085-7.Zbl 1007.03002  .
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2.ª ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
• Martin, Donald A. (1970). "Cardinales medibles y juegos analíticos". Fundamenta Mathematicae . 66 (3): 287–291. doi : 10.4064/fm-66-3-287-291 . ISSN  0016-2736. MR  0258637.
• Silver, Jack H. (1971). "Algunas aplicaciones de la teoría de modelos en la teoría de conjuntos". Anales de lógica matemática . 3 (1): 45–110. doi : 10.1016/0003-4843(71)90010-6 . MR  0409188.

• Solovay, Robert M. (1967). "Un Δ no construible¹
  ₃conjunto de números enteros". Transacciones de la American Mathematical Society . 127 (1): 50–75. doi :10.2307/1994631. ISSN  0002-9947. MR  0211873.

Citas