Contradicción

Incompatibilidad lógica entre dos o más proposiciones

Este diagrama muestra las relaciones contradictorias entre proposiciones categóricas en el cuadrado de oposición de la lógica aristotélica .

En la lógica tradicional , una contradicción ocurre cuando una proposición entra en conflicto consigo misma o con un hecho establecido . A menudo se utiliza como una herramienta para detectar creencias engañosas y prejuicios . La ley de no contradicción de Aristóteles , que ilustra una tendencia general en la lógica aplicada, establece que "es imposible que una misma cosa pueda al mismo tiempo pertenecer y no pertenecer al mismo objeto y en el mismo sentido". ^[1]

En la lógica formal moderna y la teoría de tipos , el término se utiliza principalmente para una sola proposición, a menudo denotada por el símbolo falsum ; una proposición es una contradicción si se puede derivar algo falso de ella, utilizando las reglas de la lógica. Es una proposición que es incondicionalmente falsa (es decir, una proposición autocontradictoria). ^{[2] [3]} Esto se puede generalizar a una colección de proposiciones, que entonces se dice que "contienen" una contradicción. ${\displaystyle \bot }$

Historia

Mediante la creación de una paradoja , el diálogo Eutidemo de Platón demuestra la necesidad de la noción de contradicción . En el diálogo que sigue, Dionisodoro niega la existencia de la "contradicción", al mismo tiempo que Sócrates lo contradice:

... Yo, asombrado, dije: ¿Qué quieres decir, Dionisodoro? He oído muchas veces, y me ha sorprendido, esta tesis tuya, que es sostenida y utilizada por los discípulos de Protágoras y otros antes que ellos, y que a mí me parece absolutamente maravillosa, suicida y destructiva, y creo que es muy probable que me digas la verdad al respecto. El dicho es que no existe nada que sea mentira; uno debe decir lo que es verdad o no decir nada. ¿No es esa tu postura?

De hecho, Dionisodoro está de acuerdo en que “no existe tal cosa como una opinión falsa… no existe tal cosa como la ignorancia”, y exige a Sócrates que “me refute”. Sócrates responde: “Pero ¿cómo puedo refutarte, si, como dices, decir una falsedad es imposible?”. ^[4]

En lógica formal

En lógica clásica, particularmente en lógica proposicional y de primer orden , una proposición es una contradicción si y solo si . Puesto que para contradictoria es cierto que para todo (porque ), se puede probar cualquier proposición a partir de un conjunto de axiomas que contiene contradicciones. Esto se llama el " principio de explosión ", o "ex falso quodlibet" ("de la falsedad, cualquier cosa se sigue"). ^[5] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \vdash \bot }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \vdash \varphi \rightarrow \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \bot \vdash \psi }$

En una lógica completa , una fórmula es contradictoria si y sólo si es insatisfacible .

Prueba por contradicción

Para un conjunto de premisas consistentes y una proposición , es cierto en lógica clásica que (es decir, prueba ) si y solo si (es decir, y conduce a una contradicción). Por lo tanto, una prueba que también prueba que es verdadera bajo las premisas . El uso de este hecho forma la base de una técnica de prueba llamada prueba por contradicción , que los matemáticos usan ampliamente para establecer la validez de una amplia gama de teoremas. Esto se aplica solo en una lógica donde la ley del tercio excluido se acepta como un axioma. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \neg \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle A\vee \neg A}$

Utilizando la lógica mínima , una lógica con axiomas similares a la lógica clásica pero sin ex falso quodlibet y prueba por contradicción, podemos investigar la fuerza axiomática y las propiedades de varias reglas que tratan la contradicción considerando teoremas de la lógica clásica que no son teoremas de la lógica mínima. ^[6] Cada una de estas extensiones conduce a una lógica intermedia :

1. La eliminación de doble negación (DNE) es el principio más fuerte, axiomatizado , y cuando se agrega a la lógica mínima produce la lógica clásica. ${\displaystyle \neg \neg A\implies A}$
2. Ex falso quodlibet (EFQ), axiomatizado , permite muchas consecuencias de las negaciones, pero normalmente no ayuda a inferir proposiciones que no implican absurdo a partir de proposiciones consistentes que sí lo implican. Cuando se añade a la lógica mínima, EFQ produce lógica intuicionista . EFQ es equivalente a ex contradicción quodlibet , axiomatizada , sobre lógica mínima. ${\displaystyle \bot \implies A}$ ${\displaystyle A\land \neg A\implies B}$
3. La regla de Peirce (RP) es un axioma que captura la demostración por contradicción sin hacer referencia explícita al absurdo. La lógica mínima + RP + EFQ da como resultado la lógica clásica. ${\displaystyle ((A\implies B)\implies A)\implies A}$
4. El axioma de Gödel-Dummett (GD) , cuya lectura más simple es que existe un orden lineal en los valores de verdad. La lógica mínima + GD da como resultado la lógica de Gödel-Dummett . La regla de Peirce implica, pero no es implicada por GD sobre la lógica mínima. ${\displaystyle A\implies B\vee B\implies A}$
5. La ley del tercero excluido (LEM), axiomatizada , es la formulación más citada del principio de bivalencia , pero en ausencia de EFQ no produce una lógica clásica completa. La lógica mínima + LEM + EFQ produce lógica clásica. PR implica pero no es implicada por LEM en lógica mínima. Si la fórmula B en la regla de Peirce se restringe al absurdo, dando el esquema axiomático , el esquema es equivalente a LEM sobre lógica mínima. ${\displaystyle A\vee \neg A}$ ${\displaystyle (\neg A\implies A)\implies A}$
6. La ley débil del tercero excluido (WLEM) se axiomatiza y produce un sistema en el que la disyunción se comporta más como en la lógica clásica que como en la lógica intuicionista, es decir, las propiedades de disyunción y existencia no se mantienen, pero donde el uso del razonamiento no intuicionista está marcado por ocurrencias de doble negación en la conclusión. LEM implica pero no es implicada por WLEM en lógica mínima. WLEM es equivalente a la instancia de la ley de De Morgan que distribuye la negación sobre la conjunción: . ${\displaystyle \neg A\vee \neg \neg A}$ ${\displaystyle \neg (A\land B)\iff (\neg A)\vee (\neg B)}$

Representación simbólica

En matemáticas, el símbolo utilizado para representar una contradicción dentro de una prueba varía. ^[7] Algunos símbolos que pueden usarse para representar una contradicción incluyen ↯, Opq, , ⊥, / y ※; en cualquier simbolismo, una contradicción puede sustituirse por el valor de verdad " falso ", como se simboliza, por ejemplo, por "0" (como es común en el álgebra de Boole ). No es raro ver QED , o algunas de sus variantes, inmediatamente después de un símbolo de contradicción. De hecho, esto ocurre a menudo en una prueba por contradicción para indicar que se demostró que la suposición original era falsa y, por lo tanto, que su negación debe ser verdadera. ${\displaystyle \Rightarrow \Leftarrow }$ ${\displaystyle \leftrightarrow \ \!\!\!\!\!\!\!}$

La noción de contradicción en un sistema axiomático y una prueba de su consistencia

En general, una prueba de consistencia requiere las dos cosas siguientes:

1. Un sistema axiomático
2. Una demostración de que no es el caso que tanto la fórmula p como su negación ~p puedan derivarse en el sistema.

Pero, cualquiera que sea el método que se utilice, todas las pruebas de consistencia parecen necesitar la noción primitiva de contradicción. Además, parece como si esta noción tuviera que estar simultáneamente "fuera" del sistema formal en la definición de tautología.

Cuando Emil Post , en su "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales" de 1921, extendió su prueba de la consistencia del cálculo proposicional (es decir, la lógica) más allá de la de los Principia Mathematica (PM), observó que con respecto a un conjunto generalizado de postulados (es decir, axiomas), ya no podría invocar automáticamente la noción de "contradicción"; dicha noción podría no estar contenida en los postulados:

El requisito primordial de un conjunto de postulados es que sea consistente. Puesto que la noción ordinaria de consistencia implica la de contradicción, que a su vez implica negación, y puesto que esta función no aparece en general como primitiva en [el conjunto generalizado de postulados], debe darse una nueva definición. ^[8]

La solución de Post al problema se describe en la demostración "Un ejemplo de una prueba absoluta de consistencia exitosa", ofrecida por Ernest Nagel y James R. Newman en su obra La prueba de Gödel de 1958. Ellos también observaron un problema con respecto a la noción de "contradicción" con sus "valores de verdad" habituales de "verdad" y "falsedad". Observaron que:

La propiedad de ser una tautología ha sido definida en nociones de verdad y falsedad. Sin embargo, estas nociones obviamente implican una referencia a algo externo al cálculo de fórmulas. Por lo tanto, el procedimiento mencionado en el texto ofrece en efecto una interpretación del cálculo, al proporcionar un modelo para el sistema. Siendo esto así, los autores no han hecho lo que prometieron, es decir, " definir una propiedad de las fórmulas en términos de características puramente estructurales de las fórmulas mismas ". [De hecho] ... las pruebas de consistencia que se basan en modelos, y que argumentan a partir de la verdad de los axiomas para llegar a su consistencia, simplemente desplazan el problema. ^[9]

Dadas algunas "fórmulas primitivas" como las primitivas de PM S ₁ VS ₂ [OR inclusivo] y ~S (negación), uno se ve obligado a definir los axiomas en términos de estas nociones primitivas. De manera exhaustiva, Post demuestra en PM y define (como lo hacen Nagel y Newman, ver más abajo) que la propiedad de tautología –aún por definir– es "hereditaria": si uno comienza con un conjunto de axiomas tautólogos (postulados) y un sistema de deducción que contiene sustitución y modus ponens , entonces un sistema consistente producirá solo fórmulas tautólogas.

En cuanto a la definición de tautología , Nagel y Newman crean dos clases mutuamente excluyentes y exhaustivas K ₁ y K ₂ , en las que caen (el resultado de) los axiomas cuando sus variables (por ejemplo, S ₁ y S ₂ se asignan desde estas clases). Esto también se aplica a las fórmulas primitivas. Por ejemplo: "Una fórmula que tiene la forma S ₁ VS ₂ se coloca en la clase K ₂ , si tanto S ₁ como S ₂ están en K ₂ ; de lo contrario, se coloca en K ₁ ", y "Una fórmula que tiene la forma ~S se coloca en K ₂ , si S está en K ₁ ; de lo contrario, se coloca en K ₁ ". ^[10]

De este modo, Nagel y Newman pueden ahora definir la noción de tautólogo : "una fórmula es una tautología si y sólo si cae en la clase K ₁ , sin importar en cuál de las dos clases se coloquen sus elementos". ^[11] De esta manera, se describe la propiedad de "ser tautólogo", sin referencia a un modelo o una interpretación.

Por ejemplo, dada una fórmula como ~S ₁ VS ₂ y una asignación de K ₁ a S ₁ y K ₂ a S _2, se puede evaluar la fórmula y ubicar su resultado en una u otra de las clases. La asignación de K ₁ a S ₁ ubica a ~S ₁ en K ₂ , y ahora podemos ver que nuestra asignación hace que la fórmula caiga en la clase K ₂ . Por lo tanto, por definición, nuestra fórmula no es una tautología.

Post observó que, si el sistema fuera inconsistente, una deducción en él (es decir, la última fórmula en una secuencia de fórmulas derivadas de las tautologías) podría finalmente producir la propia S. Como una asignación a la variable S puede provenir tanto de la clase K ₁ como de K ₂ , la deducción viola la característica de herencia de la tautología (es decir, la derivación debe producir una evaluación de una fórmula que caerá en la clase K ₁ ). A partir de esto, Post pudo derivar la siguiente definición de inconsistencia, sin el uso de la noción de contradicción :

Definición. Se dirá que un sistema es inconsistente si produce la afirmación de la variable p no modificada [S en los ejemplos de Newman y Nagel].

En otras palabras, se puede prescindir de la noción de "contradicción" cuando se construye una prueba de consistencia; lo que la reemplaza es la noción de clases "mutuamente excluyentes y exhaustivas". Un sistema axiomático no necesita incluir la noción de "contradicción". ^{[12] : 177}

Filosofía

Los partidarios de la teoría epistemológica del coherentismo suelen afirmar que, como condición necesaria para la justificación de una creencia , ésta debe formar parte de un sistema de creencias lógicamente no contradictorio. Algunos dialécticos , entre ellos Graham Priest , han sostenido que la coherencia puede no requerir consistencia. ^[13]

Contradicciones pragmáticas

Una contradicción pragmática ocurre cuando el enunciado mismo del argumento contradice las afirmaciones que éste propone. En este caso, surge una inconsistencia porque el acto de enunciado, más que el contenido de lo que se dice, socava su conclusión. ^[14]

Materialismo dialéctico

En el materialismo dialéctico , la contradicción, tal como se deriva del hegelianismo , suele referirse a una oposición que existe inherentemente dentro de un ámbito, una fuerza u objeto unificado. Esta contradicción, a diferencia del pensamiento metafísico, no es algo objetivamente imposible, porque estas fuerzas contradictorias existen en la realidad objetiva, no se anulan entre sí, sino que en realidad definen la existencia de cada una de ellas. Según la teoría marxista , tal contradicción se puede encontrar, por ejemplo, en el hecho de que:

• (a) Una enorme riqueza y un poder productivo coexisten junto a:
• b) la pobreza extrema y la miseria;
• (c) la existencia de (a) es contraria a la existencia de (b).

Las teorías hegelianas y marxistas estipulan que la naturaleza dialéctica de la historia conducirá a la superación o síntesis de sus contradicciones. Por lo tanto, Marx postuló que la historia haría que el capitalismo evolucionara lógicamente hacia una sociedad socialista donde los medios de producción servirían por igual a la clase trabajadora y productora de la sociedad, resolviendo así la contradicción previa entre (a) y (b). ^[15]

Fuera de la lógica formal

El uso coloquial puede etiquetar acciones o declaraciones como contradictorias entre sí cuando se deben (o se perciben como debidas) a presuposiciones que son contradictorias en el sentido lógico.

La prueba por contradicción se utiliza en matemáticas para construir pruebas .

El método científico utiliza la contradicción para refutar las teorías erróneas.

Véase también

• "Clínica de Argumentos"  : sketch de Monty Python en el que uno de los dos contendientes utiliza repetidamente contradicciones en su argumento.
• Autoantónimo  : Palabra que tiene dos significados opuestosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Contrario (lógica)  – Tipo de diagrama lógicoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Dialeteísmo  : Visión de que hay afirmaciones que son tanto verdaderas como falsas.
• Doble rasero  : aplicación inconsistente de los principios
• Doblepensar  : Aceptar simultáneamente dos creencias mutuamente contradictorias como correctas.
• La jerarquía de desacuerdos de Graham
• Ironía  – Recurso retórico y técnica literaria
• Ley de no contradicción
• Sobre la contradicción  – Ensayo de Mao Zedong de 1937
• Oxímoron  – Figura retórica
• Lógica paraconsistente  : tipo de lógica formal sin principio de explosión
• Paradoja  – Afirmación que aparentemente se contradice a sí misma
• Tautología  – En lógica, una afirmación que siempre es verdadera.
• TRIZ  – Herramientas para la resolución de problemas

Notas y referencias

1. Horn, Laurence R. (2018), "Contradiction", en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2018), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 10 de diciembre de 2019
2. "Contradicción (lógica)". TheFreeDictionary.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
3. "Tautologías, contradicciones y contingencias". www.skillfulreasoning.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
4. Diálogo Eutidemo de Los Diálogos de Platón traducido por Benjamin Jowett que aparece en: BK 7 Platón : Robert Maynard Hutchins , editor en jefe, 1952, Grandes libros del mundo occidental , Encyclopædia Britannica , Inc., Chicago .
5. "Ex falso quodlibet - Oxford Reference". www.oxfordreference.com . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
6. Diener y Maarten McKubre-Jordens, 2020. Clasificación de implicaciones materiales sobre lógica mínima. Archivo de Lógica Matemática 59 (7-8):905-924.
7. Pakin, Scott (19 de enero de 2017). "The Comprehensive LATEX Symbol List" (PDF) . ctan.mirror.rafal.ca . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
8. Post 1921 "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales" en van Heijenoort 1967:272.
9. Se agregaron cursivas en negrita, Nagel y Newman:109-110.
10. Nagel y Newman:110-111
11. Nagel y Newman:111
12. Emil L. Post (1921) Introducción a una teoría general de proposiciones elementales American Journal of Mathematics 43 (3):163—185 (1921) The Johns Hopkins University Press
13. En contradicción: un estudio de lo transconsistente Por Graham Priest
14. Stoljar, Daniel (2006). Ignorancia e imaginación . Oxford University Press - EE. UU. pág. 87. ISBN 0-19-530658-9.
15. Sørensen, Michael Kuur (2006). "Capital y trabajo: ¿se puede resolver el conflicto?". The Interdisciplinary Journal of International Studies . 4 (1): 29–48 . Consultado el 28 de mayo de 2017 .

Bibliografía

• Józef Maria Bocheński 1960 Précis of Mathematical Logic , traducido de las ediciones en francés y alemán por Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, Holanda Meridional.
• Jean van Heijenoort 1967 De Frege a Gödel: un libro de fuentes sobre lógica matemática 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.) 
• Ernest Nagel y James R. Newman 1958 Prueba de Gödel , New York University Press, Número de catálogo de tarjetas: 58-5610.

Enlaces externos

• "Contradicción (inconsistencia)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Contradicción, ley de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Horn, Laurence R. "Contradicción". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .