Contigüidad (teoría de la probabilidad)

En teoría de la probabilidad , se dice que dos secuencias de medidas de probabilidad son contiguas si comparten asintóticamente el mismo soporte . Por lo tanto, la noción de contigüidad extiende el concepto de continuidad absoluta a las secuencias de medidas.

El concepto fue introducido originalmente por Le Cam (1960) como parte de su contribución fundamental al desarrollo de la teoría asintótica en estadística matemática . Es más conocido por los conceptos generales de normalidad asintótica local y contigüidad. ^[1]

Definición

Sea una secuencia de espacios medibles , cada uno equipado con dos medidas P _n y Q _n . ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$

• Decimos que Q _n es contiguo con respecto a P _n (denotado Q _n ◁ P _n ) si para cada secuencia A _n de conjuntos medibles , P _n ( A _n ) → 0 implica Q _n ( A _n ) → 0 .
• Se dice que las secuencias P _n y Q _n son mutuamente contiguas o bicontiguas (denotadas Q _n ◁▷ P _n ) si tanto Q _n es contigua con respecto a P _n como P _n es contigua con respecto a Q _n . ^[2]

La noción de contigüidad está estrechamente relacionada con la de continuidad absoluta . Decimos que una medida Q es absolutamente continua con respecto a P (denotada Q ≪ P ) si para cualquier conjunto medible A , P ( A ) = 0 implica Q ( A ) = 0 . Es decir, Q es absolutamente continua con respecto a P si el soporte de Q es un subconjunto del soporte de P , excepto en los casos en que esto sea falso, incluyendo, por ejemplo, una medida que se concentra en un conjunto abierto, porque su soporte es un conjunto cerrado y asigna medida cero al límite, y por lo tanto otra medida puede concentrarse en el límite y, por lo tanto, tener soporte contenido dentro del soporte de la primera medida, pero serán mutuamente singulares. En resumen, la afirmación de continuidad absoluta de esta oración anterior es falsa. La propiedad de contigüidad reemplaza este requisito con uno asintótico: Q _n es contiguo con respecto a P _n si el "soporte límite" de Q _n es un subconjunto del soporte límite de P _n . Según la lógica antes mencionada, esta afirmación también es falsa.

Es posible, sin embargo, que cada una de las medidas Q _n sea absolutamente continua con respecto a P _n , mientras que la secuencia Q _n no sea contigua con respecto a P _n .

El teorema fundamental de Radon-Nikodym para medidas absolutamente continuas establece que si Q es absolutamente continua con respecto a P , entonces Q tiene densidad con respecto a P , denotada como ƒ = d Q ⁄ d P , tal que para cualquier conjunto medible A

${\displaystyle Q(A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} P,\,}$

lo que se interpreta como poder "reconstruir" la medida Q a partir de conocer la medida P y la derivada ƒ . Un resultado similar existe para secuencias contiguas de medidas, y está dado por el tercer lema de Le Cam .

Propiedades

• Para el caso de todo n se aplica . ${\displaystyle (P_{n},Q_{n})=(P,Q)}$ ${\displaystyle Q_{n}\triangleleft P_{n}\Leftrightarrow Q\ll P}$
• Es posible que esto sea cierto para todo n sin . ^[3] ${\displaystyle P_{n}\ll Q_{n}}$ ${\displaystyle P_{n}\triangleleft Q_{n}}$

El primer lema de Le Cam

Para dos secuencias de medidas en espacios mensurables las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^[4] ${\displaystyle (P_{n}){\text{ and }}(Q_{n})}$ ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$

• ${\displaystyle P_{n}\triangleleft Q_{n}}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}U{\text{ along a subsequence }}\Rightarrow P(U>0)=1}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{n}}{\mathrm {d} Q_{n}}}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}V{\text{ along a subsequence }}\Rightarrow E(V)=1}$
• ${\displaystyle T_{n}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0\,\Rightarrow \,T_{n}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0}$para cualquier estadística . ${\displaystyle T_{n}:\Omega _{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

donde y son variables aleatorias en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P){\text{ and }}(\Omega ',{\mathcal {F}}',Q)}$

Interpretación

El teorema de Prohorov nos dice que, dada una secuencia de medidas de probabilidad, cada subsecuencia tiene otra subsecuencia que converge débilmente . El primer lema de Le Cam muestra que las propiedades de los puntos límite asociados determinan si se aplica o no la contigüidad. Esto puede entenderse en analogía con la noción no asintótica de continuidad absoluta de las medidas . ^[5]

Aplicaciones

• Econometría ^[6]

Véase también

• Teoría asintótica (estadística)
• Contigüidad (desambiguación)
• Espacio de probabilidad

Notas

1. Wolfowitz J. (1974) Reseña del libro: "Contiguidad de medidas de probabilidad: algunas aplicaciones en estadística. de George G. Roussas", Journal of the American Statistical Association , 69, 278–279 jstor
2. van der Vaart (1998, pág. 87)
3. "Contigüidad: ejemplos" (PDF) .
4. van der Vaart (1998, pág. 88)
5. Vaart AW van der. Estadística asintótica. Cambridge University Press; 1998.
6. Werker, Bas (junio de 2005). «Temas avanzados de econometría financiera» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2006-04-30 . Consultado el 2009-11-12 .

Referencias

• Hájek, J.; Šidák, Z. (1967). Teoría de las pruebas de rango . Nueva York: Academic Press.
• Le Cam, Lucien (1960). "Familias de distribuciones localmente asintóticamente normales". Publicaciones de la Universidad de California en Estadística . 3 : 37–98.
• Roussas, George G. (2001) [1994], "Contigüidad de medidas de probabilidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• van der Vaart, AW (1998). Estadística asintótica . Cambridge University Press.

Literatura adicional

• Roussas, George G. (1972), Contigüidad de medidas de probabilidad: algunas aplicaciones en estadística , CUP, ISBN 978-0-521-09095-7 . 
• Scott, DJ (1982) Contigüidad de medidas de probabilidad, Revista Australiana y Neozelandesa de Estadística , 24 (1), 80–88.

Enlaces externos

• Asintopia de contigüidad: 17 de octubre de 2000, David Pollard
• Normalidad asintótica bajo contigüidad en un caso de dependencia
• Un teorema del límite central bajo alternativas contiguas
• Supereficiencia, contigüidad, LAN, regularidad, teoremas de convolución
• Prueba de hipótesis estadísticas
• Condiciones necesarias y suficientes para la contigüidad y la separación asintótica completa de las medidas de probabilidad R Sh Liptser et al 1982 Russ. Math. Surv. 37 107–136
• El inconsciente como conjuntos infinitos Por Ignacio Matte Blanco, Eric (FRW) Rayner
• "Contigüidad de medidas de probabilidad", David J. Scott, Universidad La Trobe
• "Sobre el concepto de contigüidad", Hall, Loynes