Constantes de Feigenbaum

Constantes matemáticas relacionadas con el comportamiento caótico.

La constante de Feigenbaum δ expresa el límite de la relación de distancias entre diagramas de bifurcación consecutivos enyo_​/Li _{+  1}

En matemáticas , específicamente en la teoría de la bifurcación , las constantes de Feigenbaum / ˈ f aɪ ɡ ə n ˌ b aʊ m / ^[1] son ​​dos constantes matemáticas que expresan proporciones en un diagrama de bifurcación para un mapa no lineal. Llevan el nombre del físico Mitchell J. Feigenbaum .

Historia

Feigenbaum originalmente relacionó la primera constante con las bifurcaciones que duplican el período en el mapa logístico , pero también demostró que se cumple para todos los mapas unidimensionales con un único máximo cuadrático . Como consecuencia de esta generalidad, todo sistema caótico que corresponda a esta descripción se bifurcará al mismo ritmo. Feigenbaum hizo este descubrimiento en 1975, ^{[2] [3]} y lo publicó oficialmente en 1978. ^[4]

La primera constante

La primera constante de Feigenbaum δ es la relación límite de cada intervalo de bifurcación al siguiente entre cada período que se duplica , de un mapa de un parámetro

${\displaystyle x_{i+1}=f(x_{i}),}$

donde f ( x ) es una función parametrizada por el parámetro de bifurcación a .

Está dado por el límite ^[5]

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}=4.669\,201\,609\,\ldots ,}$

donde a _n son valores discretos de a en el nésimo período que se duplica.

Nombres

• Constante de Feigenbaum
• Velocidad de bifurcación de Feigenbaum
• delta

Valor

• 30 decimales : δ = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 …
• (secuencia A006890 en la OEIS )
• Una aproximación racional simple es:621/133, que es correcto con 5 valores significativos (al redondear). Para un uso más preciso1228/263, que es correcto para 7 valores significativos.
• Es aproximadamente igual a 10(1/π-1) , con un error del 0,0047%

Ilustración

Mapas no lineales

Para ver cómo surge este número, considere el mapa real de un parámetro

${\displaystyle f(x)=a-x^{2}.}$

Aquí a es el parámetro de bifurcación, x es la variable. Los valores de a para los cuales el período se duplica (por ejemplo, el valor más grande para a sin órbita de período 2, o el valor más grande de a sin órbita de período 4), son a ₁ , a _2, etc. Estos se tabulan a continuación: ^{[6 ]}

La relación de la última columna converge a la primera constante de Feigenbaum. La misma cifra surge para el mapa logístico

${\displaystyle f(x)=ax(1-x)}$

con parámetro real a y variable x . Tabulando nuevamente los valores de bifurcación: ^[7]

Fractales

La autosimilitud en el conjunto de Mandelbrot se muestra al hacer zoom en una característica redonda mientras se realiza una panorámica en la dirección x negativa . El centro de la pantalla se desplaza de (−1, 0) a (−1,31, 0) mientras que la vista se amplía de 0,5 × 0,5 a 0,12 × 0,12 para aproximarse a la relación de Feigenbaum.

En el caso del conjunto de Mandelbrot para polinomio cuadrático complejo

${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

la constante de Feigenbaum es la relación límite entre los diámetros de círculos sucesivos en el eje real en el plano complejo (ver animación a la derecha).

El parámetro de bifurcación es un punto raíz del componente del período 2 ⁿ . Esta serie converge al punto de Feigenbaum c = −1,401155...... La relación de la última columna converge a la primera constante de Feigenbaum.

Julia se prepara para el punto Feigenbaum

Otros mapas también reproducen esta proporción; en este sentido, la constante de Feigenbaum en la teoría de la bifurcación es análoga a π en geometría y e en cálculo .

La segunda constante

La segunda constante de Feigenbaum o constante alfa de Feigenbaum (secuencia A006891 en el OEIS ),

${\displaystyle \alpha =2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218...,}$

es la relación entre el ancho de una púa y el ancho de uno de sus dos subpúas (excepto la púa más cercana al pliegue). Se aplica un signo negativo a α cuando se mide la relación entre la subpúa inferior y el ancho de la púa. ^[8]

Estas cifras se aplican a una gran clase de sistemas dinámicos (por ejemplo, grifos que gotean ante el crecimiento de la población). ^[8]

Una aproximación racional simple es13/11×17/11×37/27=8177/3267.

Otros valores

La ventana del período 3 en el mapa logístico también tiene una ruta hacia el caos que duplica el período y tiene sus propias dos constantes de Feigenbaum. (Apéndice F.2 ^[9] ). ${\displaystyle \delta =55.26,\alpha =9.277}$

Propiedades

Se cree que ambos números son trascendentales , aunque no se ha demostrado que lo sean. ^[10] De hecho, no existe prueba conocida de que alguna de las constantes sea siquiera irracional.

La primera prueba de la universalidad de las constantes de Feigenbaum fue realizada por Oscar Lanford —con asistencia informática— en 1982 ^[11] (con una pequeña corrección de Jean-Pierre Eckmann y Peter Wittwer de la Universidad de Ginebra en 1987 ^[12] ). Con el paso de los años, se descubrieron métodos no numéricos para diferentes partes de la prueba, lo que ayudó a Mikhail Lyubich a producir la primera prueba no numérica completa. ^[13]

Ver también

• Diagrama de bifurcación
• Teoría de la bifurcación
• Fallo en cascada
• función de feigenbaum
• Lista de mapas caóticos

Notas

1. La constante de Feigenbaum (4.669) – Numberphile , consultado el 7 de febrero de 2023
2. Feigenbaum, MJ (1976). "Universalidad en dinámicas discretas complejas" (PDF) . Informe anual de la División Teórica de Los Alamos 1975–1976 .
3. Alligood, KT; Sauer, TD; Yorke, JA (1996). Caos: una introducción a los sistemas dinámicos . Saltador. ISBN 0-387-94677-2.
4. Feigenbaum, Mitchell J. (1978). "Universalidad cuantitativa para una clase de transformaciones no lineales". Revista de Física Estadística . 19 (1): 25–52. Código Bib : 1978JSP....19...25F. doi :10.1007/BF01020332. S2CID  124498882.
5. Jordania, DW; Smith, P. (2007). Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales: introducción para científicos e ingenieros (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-920825-8.
6. Alligood, pag. 503.
7. Alligood, pag. 504.
8. Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Estudios de no linealidad. Libros de Perseo. ISBN 978-0-7382-0453-6.
9. Hilborn, Robert C. (2000). Caos y dinámica no lineal: una introducción para científicos e ingenieros (2ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-850723-2. OCLC  44737300.
10. Briggs, Keith (1997). Escalado de Feigenbaum en sistemas dinámicos discretos (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Melbourne .
11. Lanford III, Óscar (1982). "Una prueba asistida por computadora de las conjeturas de Feigenbaum". Toro. América. Matemáticas. Soc . 6 (3): 427–434. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X .
12. Eckmann, JP; Wittwer, P. (1987). "Una prueba completa de las conjeturas de Feigenbaum". Revista de Física Estadística . 46 (3–4): 455. Bibcode : 1987JSP....46..455E. doi :10.1007/BF01013368. S2CID  121353606.
13. Lyubich, Mikhail (1999). "Universalidad de Feigenbaum-Coullet-Tresser y conjetura de la vellosidad de Milnor". Anales de Matemáticas . 149 (2): 319–420. arXiv : matemáticas/9903201 . Código Bib : 1999 matemáticas ...... 3201L. doi :10.2307/120968. JSTOR  120968. S2CID  119594350.

Referencias

• Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, Caos: una introducción a los sistemas dinámicos, Libros de texto de ciencias matemáticas Springer, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1 
• Briggs, Keith (julio de 1991). "Un cálculo preciso de las constantes de Feigenbaum" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 57 (195): 435–439. Código Bib : 1991MaCom..57..435B. doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 .
• Briggs, Keith (1997). Escalado de Feigenbaum en sistemas dinámicos discretos (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Melbourne.
• Broadhurst, David (22 de marzo de 1999). "Constantes de Feigenbaum hasta 1018 decimales".

• Weisstein, Eric W. "Constante de Feigenbaum". MundoMatemático .

enlaces externos

• Constante de Feigenbaum – de Wolfram MathWorld
• Secuencia OEIS A006890 (expansión decimal de la velocidad de bifurcación de Feigenbaum)

Secuencia OEIS A006891 (expansión decimal del parámetro de reducción de Feigenbaum)

Secuencia OEIS A195102 (Expansión decimal del parámetro para la solución bicuadrática de la ecuación de Feigenbaum-Cvitanovic)

• Constante de Feigenbaum – PlanetMath
• Moriarty, Felipe; Bowley, Roger (2009). "δ - Constante de Feigenbaum". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
• Thurlby, Judi (2021). Cálculos rigurosos de puntos fijos de renormalización y atractores (Doctor). Universidad de Portsmouth.