Feigenbaum originalmente relacionó la primera constante con las bifurcaciones que duplican el período en el mapa logístico , pero también demostró que se cumple para todos los mapas unidimensionales con un único máximo cuadrático . Como consecuencia de esta generalidad, todo sistema caótico que corresponda a esta descripción se bifurcará al mismo ritmo. Feigenbaum hizo este descubrimiento en 1975, [2] [3] y lo publicó oficialmente en 1978. [4]
La primera constante
La primera constante de Feigenbaum δ es la relación límite de cada intervalo de bifurcación al siguiente entre cada período que se duplica , de un mapa de un parámetro
donde f ( x ) es una función parametrizada por el parámetro de bifurcación a .
Una aproximación racional simple es: 621/133 , que es correcto con 5 valores significativos (al redondear). Para mayor precisión use 1228/263 , lo cual es correcto con 7 valores significativos.
Es aproximadamente igual a 10/π-1 , con un error del 0,0047%
Ilustración
Mapas no lineales
Para ver cómo surge este número, considere el mapa real de un parámetro
Aquí a es el parámetro de bifurcación, x es la variable. Los valores de a para los cuales el período se duplica (por ejemplo, el valor más grande para a sin órbita de período 2 , o el valor más grande de a sin órbita de período 4 ), son a 1 , a 2 , etc. Estos se tabulan a continuación: [6 ]
La relación de la última columna converge a la primera constante de Feigenbaum. La misma cifra surge para el mapa logístico
con parámetro real a y variable x . Tabulando nuevamente los valores de bifurcación: [7]
la constante de Feigenbaum es la relación límite entre los diámetros de círculos sucesivos en el eje real en el plano complejo (ver animación a la derecha).
El parámetro de bifurcación es un punto raíz del componente del período 2 n . Esta serie converge al punto de Feigenbaum c = −1,401155...... La relación de la última columna converge a la primera constante de Feigenbaum.
Otros mapas también reproducen esta proporción; en este sentido, la constante de Feigenbaum en la teoría de la bifurcación es análoga a π en geometría y e en cálculo .
La segunda constante
La segunda constante de Feigenbaum o constante alfa de Feigenbaum (secuencia A006891 en el OEIS ),
es la relación entre el ancho de una púa y el ancho de uno de sus dos subpúas (excepto la púa más cercana al pliegue). Se aplica un signo negativo a α cuando se mide la relación entre la subpúa inferior y el ancho de la púa. [8]
Estas cifras se aplican a una gran clase de sistemas dinámicos (por ejemplo, grifos que gotean ante el crecimiento de la población). [8]
Una aproximación racional simple es 13/11 × 17/11 × 37/27 = 8177/3267 .
Otros valores
La ventana del período 3 en el mapa logístico también tiene una ruta hacia el caos que duplica el período, alcanzando el caos en , y tiene sus propias dos constantes de Feigenbaum. m [9] y Apéndice F.2 [10]
Propiedades
Se cree que ambos números son trascendentales , aunque no se ha demostrado que lo sean. [11] De hecho, no existe prueba conocida de que alguna de las constantes sea siquiera irracional .
La primera prueba de la universalidad de las constantes de Feigenbaum fue realizada por Oscar Lanford —con asistencia informática— en 1982 [12] (con una pequeña corrección de Jean-Pierre Eckmann y Peter Wittwer de la Universidad de Ginebra en 1987 [13] ). Con el paso de los años, se descubrieron métodos no numéricos para diferentes partes de la prueba, lo que ayudó a Mikhail Lyubich a producir la primera prueba no numérica completa. [14]
^ La constante de Feigenbaum (4.669) – Numberphile , consultado el 7 de febrero de 2023
^ Feigenbaum, MJ (1976). "Universalidad en dinámicas discretas complejas" (PDF) . Informe anual de la División Teórica de Los Álamos 1975–1976 .
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Referencias
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Thurlby, Judi (2021). Cálculos rigurosos de puntos fijos de renormalización y atractores (Doctor). Universidad de Portsmouth.
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