Concepto en geometría diferencial
En matemáticas , la curvatura constante es un concepto procedente de la geometría diferencial . Aquí, la curvatura se refiere a la curvatura seccional de un espacio (más precisamente una variedad ) y es un número único que determina su geometría local. [1] Se dice que la curvatura seccional es constante si tiene el mismo valor en cada punto y para cada plano tangente bidimensional en ese punto. Por ejemplo, una esfera es una superficie de curvatura positiva constante.
Clasificación
Las variedades de Riemann de curvatura constante se pueden clasificar en los tres casos siguientes:
Propiedades
- Todo espacio de curvatura constante es localmente simétrico , es decir, su tensor de curvatura es paralelo .
- Todo espacio de curvatura constante es localmente máximamente simétrico, es decir, tiene varias isometrías locales , donde está su dimensión.
- Por el contrario, existe una afirmación similar pero más fuerte: todo espacio máximamente simétrico, es decir, un espacio que tiene isometrías (globales) , tiene curvatura constante.
- ( Teorema de Killing-Hopf ) La cubierta universal de una variedad de curvatura seccional constante es uno de los espacios modelo:
- Un espacio de curvatura constante que es geodésicamente completo se llama forma espacial y el estudio de las formas espaciales está íntimamente relacionado con la cristalografía generalizada (consulte el artículo sobre forma espacial para más detalles).
- Dos formas espaciales son isomorfas si y sólo si tienen la misma dimensión, sus métricas poseen la misma firma y sus curvaturas seccionales son iguales.
Referencias
- ^ Caminha, A. (1 de julio de 2006). "Sobre hipersuperficies espaciales de variedades de Lorentz de curvatura seccional constante". Revista de Geometría y Física . 56 (7): 1144-1174. doi : 10.1016/j.geomphys.2005.06.007. ISSN 0393-0440.
Otras lecturas
