Consistencia de Fisher

En estadística , la consistencia de Fisher , llamada así en honor a Ronald Fisher , es una propiedad deseable de un estimador que afirma que si el estimador se calculara utilizando toda la población en lugar de una muestra , se obtendría el valor verdadero del parámetro estimado. ^[1]

Definición

Supongamos que tenemos una muestra estadística X ₁ , ..., X _n donde cada X _i sigue una distribución acumulativa F _θ que depende de un parámetro desconocido θ . Si un estimador de θ basado en la muestra se puede representar como un funcional de la función de distribución empírica F̂ _n :

${\displaystyle {\hat {\theta }}=T({\hat {F}}_{n})\,,}$

Se dice que el estimador es consistente de Fisher si:

${\displaystyle T(F_{\theta })=\theta \,.}$^[2]

Mientras los X _i sean intercambiables , un estimador T definido en términos de X _i se puede convertir en un estimador T′ que se puede definir en términos de F̂ _n promediando T sobre todas las permutaciones de los datos. El estimador resultante tendrá el mismo valor esperado que T y su varianza no será mayor que la de T .

Si se puede aplicar la ley fuerte de los grandes números , las funciones de distribución empíricas F̂ _n convergen puntualmente a F _θ , lo que nos permite expresar la consistencia de Fisher como un límite: el estimador es consistente de Fisher si

${\displaystyle T\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\hat {F}}_{n}\right)=\theta .\,}$

Ejemplo de población finita

Supongamos que nuestra muestra se obtiene de una población finita Z ₁ , ..., Z _m . Podemos representar nuestra muestra de tamaño n en términos de la proporción de la muestra n _i  /  n que toma cada valor en la población. Escribiendo nuestro estimador de θ como T ( n ₁  /  n , ..., n _m  /  n ), el análogo poblacional del estimador es T ( p ₁ , ..., p _m ), donde p _i  =  P ( X  =  Z _i ). Por lo tanto, tenemos consistencia de Fisher si T ( p ₁ , ..., p _m ) = θ.

Supongamos que el parámetro de interés es el valor esperado μ y el estimador es la media de la muestra , que se puede escribir

${\displaystyle n^{-1}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}I(X_{i}=Z_{j})Z_{j},}$

donde I es la función indicadora . El análogo poblacional de esta expresión es

${\displaystyle n^{-1}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}p_{j}Z_{j}=n^{-1}\sum _{i=1}^{n}\mu =\mu ,}$

Así que tenemos la consistencia de Fisher.

Papel en la estimación de máxima verosimilitud

Maximizar la función de verosimilitud L da una estimación que es consistente con Fisher para un parámetro b si

${\displaystyle E\left[{\frac {d\ln L}{db}}\right]=0{\text{ at }}b=b_{0},\,}$

donde b ₀ representa el valor verdadero de b . ^{[3] [4]}

Relación con la consistencia asintótica y la imparcialidad

El término consistencia en estadística se refiere generalmente a un estimador que es asintóticamente consistente . La consistencia de Fisher y la consistencia asintótica son conceptos distintos, aunque ambos apuntan a definir una propiedad deseable de un estimador. Si bien muchos estimadores son consistentes en ambos sentidos, ninguna definición abarca la otra. Por ejemplo, supongamos que tomamos un estimador T _n que es tanto consistente de Fisher como asintóticamente consistente, y luego formamos T _n  +  E _n , donde E _n es una secuencia determinista de números distintos de cero que convergen a cero. Este estimador es asintóticamente consistente, pero no consistente de Fisher para ningún n .

La media de la muestra es una estimación consistente y no sesgada de la media de la población según el método de Fisher, pero no todas las estimaciones consistentes de Fisher son no sesgadas. Supongamos que observamos una muestra de una distribución uniforme en (0,θ) y deseamos estimar θ. El máximo de la muestra es consistente con el método de Fisher, pero está sesgado hacia abajo. Por el contrario, la varianza de la muestra es una estimación no sesgada de la varianza de la población, pero no es consistente con el método de Fisher.

Papel en la teoría de la decisión

Una función de pérdida es consistente con Fisher si el minimizador de población del riesgo conduce a la regla de decisión óptima de Bayes. ^[5]

Referencias

1. Fisher, RA (1922). "Sobre los fundamentos matemáticos de la estadística teórica". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico . 222 (594–604): 309–368. Bibcode :1922RSPTA.222..309F. doi : 10.1098/rsta.1922.0009 . hdl : 2440/15172 . JFM  48.1280.02. JSTOR  91208.
2. Cox, DR, Hinkley DV (1974) Estadística teórica , Chapman y Hall, ISBN 0-412-12420-3 . (definido en la pág. 287) 
3. Jurečková, Jana ; Jan Picek (2006). Métodos estadísticos robustos con R. Prensa CRC. ISBN 1-58488-454-1.
4. "El aumento natural se refiere a las tasas netas de crecimiento de la población". Archivado desde el original el 13 de marzo de 2009. Consultado el 9 de enero de 2009 .
5. Lee, Yoonkyung (primavera de 2008). "Consistencia" (PDF) . Estadística 881: aprendizaje estadístico avanzado . Universidad Estatal de Ohio.