Relación de conmutación canónica

Relación satisfecha por variables conjugadas en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , la relación de conmutación canónica es la relación fundamental entre cantidades conjugadas canónicas (cantidades que están relacionadas por definición de modo que una es la transformada de Fourier de otra). Por ejemplo, $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I} }$$

entre el operador de posición x y el operador de momento p _x en la dirección x de una partícula puntual en una dimensión, donde [ x , p _x ] = x p _x − p _x x es el conmutador de x y p _x  , i es la unidad imaginaria , y ℏ es la constante de Planck reducida h /2π , y es el operador unitario. En general, la posición y el momento son vectores de operadores y su relación de conmutación entre diferentes componentes de la posición y el momento se puede expresar como donde es el delta de Kronecker . ${\displaystyle \mathbb {I} }$ $${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Esta relación se atribuye a Werner Heisenberg , Max Born y Pascual Jordan (1925), ^{[1] [2] quienes la llamaron una "condición cuántica" que sirve como postulado de la teoría;} E. Kennard (1927) ^[3] observó que implicaba el principio de incertidumbre de Heisenberg . El teorema de Stone-von Neumann da un resultado de unicidad para los operadores que satisfacen (una forma exponencial de) la relación de conmutación canónica.

Relación con la mecánica clásica

Por el contrario, en la física clásica , todos los observables conmutan y el conmutador sería cero. Sin embargo, existe una relación análoga, que se obtiene reemplazando el conmutador por el corchete de Poisson multiplicado por i ℏ , $${\displaystyle \{x,p\}=1\,.}$$

Esta observación llevó a Dirac a proponer que las contrapartes cuánticas , ĝ de los observables clásicos f , g satisfacen ${\displaystyle {\hat {f}}}$ $${\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}$$

En 1946, Hip Groenewold demostró que una correspondencia sistemática general entre conmutadores cuánticos y corchetes de Poisson no podía mantenerse de manera consistente. ^{[4] [5]}

Sin embargo, se dio cuenta además de que tal correspondencia sistemática existe, de hecho, entre el conmutador cuántico y una deformación del corchete de Poisson, hoy llamado corchete de Moyal , y, en general, entre los operadores cuánticos y los observables y distribuciones clásicos en el espacio de fases . De este modo, finalmente dilucidó el mecanismo de correspondencia consistente, la transformada de Wigner-Weyl , que subyace a una representación matemática equivalente alternativa de la mecánica cuántica conocida como cuantificación de deformación . ^{[4] [6]}

Derivación de la mecánica hamiltoniana

Según el principio de correspondencia , en ciertos límites las ecuaciones cuánticas de estados deben aproximarse a las ecuaciones de movimiento de Hamilton . Estas últimas establecen la siguiente relación entre la coordenada generalizada q (por ejemplo, la posición) y el momento generalizado p : $${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}}$$

En mecánica cuántica, el hamiltoniano , la coordenada (generalizada) y el momento (generalizado) son todos operadores lineales. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$

La derivada temporal de un estado cuántico está representada por el operador (por la ecuación de Schrödinger ). De manera equivalente, dado que en la imagen de Schrödinger los operadores no dependen explícitamente del tiempo, se puede observar que los operadores evolucionan en el tiempo (para una perspectiva contraria en la que los operadores dependen del tiempo, véase la imagen de Heisenberg ) de acuerdo con su relación de conmutación con el hamiltoniano: ${\displaystyle -i{\hat {H}}/\hbar }$ $${\displaystyle {\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$$ $${\displaystyle {\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.}$$

Para que esto se concilie en el límite clásico con las ecuaciones de movimiento de Hamilton, debe depender completamente de la aparición de en el hamiltoniano y debe depender completamente de la aparición de en el hamiltoniano. Además, dado que el operador hamiltoniano depende de los operadores de coordenadas y momento (generalizados), puede verse como un funcional, y podemos escribir (usando derivadas funcionales ): ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]}$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ $${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]}$$ $${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,.}$$

Para obtener el límite clásico debemos entonces tener $${\displaystyle [{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .}$$

Relaciones de Weyl

El grupo generado por la exponenciación del álgebra de Lie tridimensional determinada por la relación de conmutación se denomina grupo de Heisenberg . Este grupo puede representarse como el grupo de matrices triangulares superiores con unos en la diagonal. ^[7] ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle 3\times 3}$

Según la formulación matemática estándar de la mecánica cuántica , los observables cuánticos como y deberían representarse como operadores autoadjuntos en algún espacio de Hilbert . Es relativamente fácil ver que dos operadores que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas anteriores no pueden estar acotados . Ciertamente, si y fueran operadores de clase traza , la relación da un número distinto de cero a la derecha y cero a la izquierda. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}$

Alternativamente, si y fueran operadores acotados, observe que , por lo tanto, las normas de los operadores satisfarían de modo que, para cualquier n , Sin embargo, n puede ser arbitrariamente grande, por lo que al menos un operador no puede ser acotado, y la dimensión del espacio de Hilbert subyacente no puede ser finita. Si los operadores satisfacen las relaciones de Weyl (una versión exponenciada de las relaciones de conmutación canónicas, descritas a continuación), entonces, como consecuencia del teorema de Stone–von Neumann , ambos operadores deben ser ilimitados. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}$ $${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,}$$ $${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar }$$

Aun así, estas relaciones de conmutación canónicas se pueden volver algo "más "mansas" al escribirlas en términos de los operadores unitarios (acotados) y . Las relaciones de trenzado resultantes para estos operadores son las llamadas relaciones de Weyl Estas relaciones pueden considerarse como una versión exponenciada de las relaciones de conmutación canónicas; reflejan que las traslaciones en posición y las traslaciones en momento no conmutan. Se pueden reformular fácilmente las relaciones de Weyl en términos de las representaciones del grupo de Heisenberg . ${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})}$ ${\displaystyle \exp(is{\hat {p}})}$ $${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).}$$

La unicidad de las relaciones de conmutación canónicas —en la forma de las relaciones de Weyl— está entonces garantizada por el teorema de Stone-von Neumann .

Por razones técnicas, las relaciones de Weyl no son estrictamente equivalentes a la relación de conmutación canónica . Si y fueran operadores acotados, entonces un caso especial de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff permitiría "exponenciar" las relaciones de conmutación canónicas a las relaciones de Weyl. ^[8] Dado que, como hemos señalado, cualquier operador que satisfaga las relaciones de conmutación canónicas debe ser ilimitado, la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff no se aplica sin suposiciones de dominio adicionales. De hecho, existen contraejemplos que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas pero no las relaciones de Weyl. ^[9] (Estos mismos operadores dan un contraejemplo a la forma ingenua del principio de incertidumbre). Estos problemas técnicos son la razón por la que el teorema de Stone–von Neumann se formula en términos de las relaciones de Weyl. ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

Una versión discreta de las relaciones de Weyl, en la que los parámetros s y t varían en , se puede realizar en un espacio de Hilbert de dimensión finita por medio de las matrices de reloj y de desplazamiento . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Generalizaciones

Se puede demostrar que $${\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}$$

Utilizando , se puede demostrar que por inducción matemática generalmente conocida como fórmula de McCoy. ^[10] ${\displaystyle C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}}$ $${\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {x}}^{n-k}{\hat {p}}^{m-k}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {p}}^{m-k}{\hat {x}}^{n-k}},}$$

Además, la fórmula simple válida para la cuantificación del sistema clásico más simple, puede generalizarse al caso de un Lagrangiano arbitrario . ^[11] Identificamos coordenadas canónicas (como x en el ejemplo anterior, o un campo Φ( x ) en el caso de la teoría cuántica de campos ) y momentos canónicos π _x (en el ejemplo anterior es p , o más generalmente, algunas funciones que involucran las derivadas de las coordenadas canónicas con respecto al tiempo): $${\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle \pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.}$$

Esta definición del momento canónico asegura que una de las ecuaciones de Euler-Lagrange tenga la forma $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.}$$

Las relaciones de conmutación canónicas entonces ascienden a donde δ _ij es el delta de Kronecker . $${\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,}$$

Invariancia de calibre

La cuantificación canónica se aplica, por definición, en coordenadas canónicas . Sin embargo, en presencia de un campo electromagnético , el momento canónico p no es invariante de calibre . El momento invariante de calibre correcto (o "momento cinético") es

${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-qA\,\!}$ ( unidades SI ) ( unidades cgs ),     ${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!}$

donde q es la carga eléctrica de la partícula , A es el potencial vectorial y c es la velocidad de la luz . Aunque la cantidad p _kin es el "momento físico", en el sentido de que es la cantidad que se identifica con el momento en experimentos de laboratorio, no satisface las relaciones de conmutación canónicas; sólo lo hace el momento canónico. Esto se puede ver de la siguiente manera.

El hamiltoniano no relativista para una partícula cargada cuantizada de masa m en un campo electromagnético clásico es (en unidades cgs) donde A es el potencial trivectorial y φ es el potencial escalar . Esta forma del hamiltoniano, así como la ecuación de Schrödinger Hψ = iħ∂ψ/∂t , las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz son invariantes bajo la transformación de calibre donde y Λ = Λ( x , t ) es la función de calibre. $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi }$$ $${\displaystyle A\to A'=A+\nabla \Lambda }$$ $${\displaystyle \phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \psi \to \psi '=U\psi }$$ $${\displaystyle H\to H'=UHU^{\dagger },}$$ $${\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)}$$

El operador de momento angular es y obedece las relaciones de cuantificación canónicas que definen el álgebra de Lie para so(3) , donde es el símbolo de Levi-Civita . Bajo transformaciones de calibre, el momento angular se transforma como $${\displaystyle L=r\times p\,\!}$$ $${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}$$ ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ $${\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}$$

El momento angular invariante de calibre (o "momento angular cinético") viene dado por que tiene las relaciones de conmutación donde es el campo magnético . La inequivalencia de estas dos formulaciones se muestra en el efecto Zeeman y el efecto Aharonov-Bohm . $${\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),}$$ $${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)}$$ $${\displaystyle B=\nabla \times A}$$

Relación de incertidumbre y conmutadores

Todas estas relaciones de conmutación no triviales para pares de operadores conducen a relaciones de incertidumbre correspondientes , ^[12] que implican contribuciones de expectativa semidefinidas positivas por parte de sus respectivos conmutadores y anticonmutadores. En general, para dos operadores hermíticos A y B , considere valores de expectativa en un sistema en el estado ψ , siendo las varianzas alrededor de los valores de expectativa correspondientes (Δ A ) ² ≡ ⟨( A − ⟨ A ⟩) ² ⟩ , etc.

Entonces donde [ A ,  B ] ≡ A B − B A es el conmutador de A y B , y { A ,  B } ≡ A B + B A es el anticonmutador . $${\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},}$$

Esto se deduce del uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , ya que |⟨ A ² ⟩| |⟨ B ² ⟩| ≥ |⟨ A B ⟩| ² , y A B = ([ A ,  B ] + { A ,  B })/2  ; y de manera similar para los operadores desplazados A − ⟨ A ⟩ y B − ⟨ B ⟩ . (Cf. derivaciones del principio de incertidumbre ).

Sustituyendo A y B (y teniendo cuidado con el análisis) obtenemos la conocida relación de incertidumbre de Heisenberg para x y p , como es habitual.

Relación de incertidumbre para operadores de momento angular

Para los operadores de momento angular L _x = y p _z − z p _y , etc., se tiene que donde es el símbolo de Levi-Civita y simplemente se invierte el signo de la respuesta bajo el intercambio por pares de los índices. Una relación análoga se cumple para los operadores de espín . $${\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}$$ ${\displaystyle \epsilon _{xyz}}$

Aquí, para L _x y L _y  , ^[12] en multipletes de momento angular ψ = | ℓ , m ⟩ , se tienen, para los componentes transversales del invariante de Casimir L _x ² + L _y ² + L _z ² , las relaciones z -simétricas

⟨ L _x ² ⟩ = ⟨ L _y ² ⟩ = ( ℓ  ( ℓ + 1) − m ² ) ℏ ² /2  ,

así como ⟨ L _x ⟩ = ⟨ L _y ⟩ = 0  .

En consecuencia, la desigualdad anterior aplicada a esta relación de conmutación especifica por lo tanto y , por lo tanto, entonces, produce restricciones útiles tales como un límite inferior en el invariante de Casimir : ℓ  ( ℓ + 1) ≥ | m | (| m | + 1) , y por lo tanto ℓ ≥ | m | , entre otras. $${\displaystyle \Delta L_{x}\,\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,}$$ $${\displaystyle {\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}\vert m\vert }$$ $${\displaystyle \ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,}$$

Véase también

• Cuantización canónica
• Álgebras CCR y CAR
• Espacio-tiempos conformásicos
• Derivada de Lie
• Soporte Moyal
• Teorema de Stone-von Neumann

Referencias

1. "El desarrollo de la mecánica cuántica".
2. Nacido, M.; Jordania, P. (1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858–888. Código bibliográfico : 1925ZPhy...34..858B. doi :10.1007/BF01328531. S2CID  186114542.
3. Kennard, EH (1927). "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen". Zeitschrift für Physik . 44 (4–5): 326–352. Código Bib : 1927ZPhy...44..326K. doi :10.1007/BF01391200. S2CID  121626384.
4. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode :1946Phy....12..405G. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
5. Hall 2013 Teorema 13.13
6. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.
7. Hall 2015 Sección 1.2.6 y Proposición 3.26
8. Véase la Sección 5.2 de Hall 2015 para una derivación elemental
9. Hall 2013 Ejemplo 14.5
10. McCoy, NH (1929), "Sobre fórmulas de conmutación en el álgebra de la mecánica cuántica", Transactions of the American Mathematical Society 31 (4), 793-806 en línea
11. Townsend, JS (2000). Un enfoque moderno de la mecánica cuántica . Sausalito, CA: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.
12. Robertson, HP (1929). "El principio de incertidumbre". Physical Review . 34 (1): 163–164. Código Bibliográfico :1929PhRv...34..163R. doi :10.1103/PhysRev.34.163.

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer.