En matemáticas , se dice que dos números reales distintos de cero a y b son conmensurables si su razón es a/b es un número racional ; de lo contrario, a y b se denominan inconmensurables . (Recuerde que un número racional es aquel que es equivalente a la relación de dos números enteros ). Existe una noción más general de conmensurabilidad en la teoría de grupos .
Por ejemplo, los números 3 y 2 son conmensurables porque su razón ,3/2 , es un número racional. Los números y también son conmensurables porque su razón, , es un número racional. Sin embargo, los números y 2 son inconmensurables porque su razón, , es un número irracional .
En términos más generales, de la definición se desprende inmediatamente que si a y b son dos números racionales cualesquiera distintos de cero, entonces a y b son conmensurables; también es inmediato que si a es un número irracional cualquiera y b es un número racional cualquiera distinto de cero, entonces a y b son inconmensurables. Por otra parte, si tanto a como b son números irracionales, entonces a y b pueden ser conmensurables o no.
A los pitagóricos se les atribuye la prueba de la existencia de números irracionales . [1] [2] Cuando la relación de las longitudes de dos segmentos de línea es irracional, los segmentos de línea en sí mismos (no solo sus longitudes) también se describen como inconmensurables.
En el Libro V de los Elementos de Euclides se desarrolló una doctrina griega antigua, más general y tortuosa, de proporcionalidad para la magnitud geométrica , con el fin de permitir pruebas que involucraran longitudes inconmensurables, evitando así argumentos que se aplicaban sólo a una definición históricamente restringida del número .
La noción de conmensurabilidad de Euclides se anticipa de pasada en la discusión entre Sócrates y el niño esclavo en el diálogo de Platón titulado Menón , en el que Sócrates utiliza las capacidades inherentes del niño para resolver un problema geométrico complejo a través del método socrático. Desarrolla una prueba que es, para todos los efectos, de naturaleza muy euclidiana y habla del concepto de inconmensurabilidad. [3]
El uso proviene principalmente de traducciones de los Elementos de Euclides , en los que dos segmentos de línea a y b se denominan conmensurables con precisión si existe un tercer segmento c que puede colocarse de extremo a extremo un número entero de veces para producir un segmento congruente con a y también, con un número entero diferente, un segmento congruente con b . Euclides no utilizó ningún concepto de número real, pero utilizó una noción de congruencia de segmentos de línea y de que uno de esos segmentos es más largo o más corto que otro.
Eso a/b es racional es una condición necesaria y suficiente para la existencia de algún número real c , y de los enteros m y n , tales que
Suponiendo, por simplicidad, que a y b son positivos , se puede decir que una regla , marcada en unidades de longitud c , podría utilizarse para medir tanto un segmento de línea de longitud a como uno de longitud b . Es decir, existe una unidad de longitud común en función de la cual se pueden medir a y b ; este es el origen del término. De lo contrario, el par a y b son inconmensurables .
En teoría de grupos , se dice que dos subgrupos Γ 1 y Γ 2 de un grupo G son conmensurables si la intersección Γ 1 ∩ Γ 2 es de índice finito tanto en Γ 1 como en Γ 2 .
Ejemplo: Sean a y b números reales distintos de cero. Entonces, el subgrupo de los números reales R generado por a es conmensurable con el subgrupo generado por b si y solo si los números reales a y b son conmensurables, en el sentido de que a / b es racional. Por lo tanto, la noción de conmensurabilidad de la teoría de grupos generaliza el concepto para los números reales.
Existe una noción similar para dos grupos que no se dan como subgrupos del mismo grupo. Dos grupos G 1 y G 2 son ( abstractamente ) conmensurables si hay subgrupos H 1 ⊂ G 1 y H 2 ⊂ G 2 de índice finito tales que H 1 es isomorfo a H 2 .
A veces se dice que dos espacios topológicos conexos por caminos son conmensurables si tienen espacios de recubrimiento homeomorfos de láminas finitas . Según el tipo de espacio en consideración, se podría querer usar equivalencias de homotopía o difeomorfismos en lugar de homeomorfismos en la definición. Si dos espacios son conmensurables, entonces sus grupos fundamentales son conmensurables.
Ejemplo: dos superficies cerradas cualesquiera de género al menos 2 son conmensurables entre sí.
