La noción de conjunto nulo no debe confundirse con el conjunto vacío tal como se define en la teoría de conjuntos . Aunque el conjunto vacío tiene medida de Lebesgue cero, también hay conjuntos no vacíos que son nulos. Por ejemplo, cualquier conjunto contable no vacío de números reales tiene medida de Lebesgue cero y, por lo tanto, es nulo.
De manera más general, en un espacio de medidas dado, un conjunto nulo es un conjunto tal que
Ejemplos
Todo subconjunto finito o contablemente infinito de los números reales es un conjunto nulo. Por ejemplo, el conjunto de números naturales y el conjunto de números racionales son ambos contablemente infinitos y, por lo tanto, son conjuntos nulos cuando se los considera subconjuntos de los números reales.
Supongamos que es un subconjunto de la recta real tal que para cada existe una secuencia de intervalos abiertos (donde el intervalo tiene longitud ) tal que
Cualquier subconjunto (medible) de un conjunto nulo es en sí mismo un conjunto nulo (por la monotonicidad de ).
En conjunto, estos hechos muestran que los conjuntos nulos de forman un ideal 𝜎 del álgebra 𝜎 . En consecuencia, los conjuntos nulos pueden interpretarse como conjuntos insignificantes , lo que produce una noción teórica de medida de " casi en todas partes ".
Esta condición se puede generalizar al uso de cubos en lugar de intervalos. De hecho, se puede hacer que la idea tenga sentido en cualquier variedad , incluso si no hay ninguna medida de Lebesgue allí.
La construcción estándar del conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto nulo e incontable ; sin embargo, son posibles otras construcciones que asignan al conjunto de Cantor cualquier medida.
Todos los subconjuntos cuya dimensión es menor que tienen medida de Lebesgue nula en Por ejemplo, las líneas rectas o los círculos son conjuntos nulos en
Lema de Sard : el conjunto de valores críticos de una función suave tiene medida cero.
Si es la medida de Lebesgue para y π es la medida de Lebesgue para , entonces la medida del producto. En términos de conjuntos nulos, la siguiente equivalencia se ha denominado teorema de Fubini : [2]
Para y
Usos
Los conjuntos nulos juegan un papel clave en la definición de la integral de Lebesgue : si las funciones y son iguales excepto en un conjunto nulo, entonces es integrable si y sólo si es, y sus integrales son iguales. Esto motiva la definición formal de espacios como conjuntos de clases de equivalencia de funciones que difieren sólo en conjuntos nulos.
Una medida en la que todos los subconjuntos de conjuntos nulos son mensurables es completa . Cualquier medida no completa se puede completar para formar una medida completa afirmando que los subconjuntos de conjuntos nulos tienen medida cero. La medida de Lebesgue es un ejemplo de medida completa; en algunas construcciones, se define como la finalización de una medida Borel incompleta .
Un subconjunto del conjunto de Cantor que no es medible por Borel
La medida Borel no está completa. Una construcción simple es comenzar con el conjunto estándar de Cantor que es cerrado, por lo tanto, medible por Borel, y que tiene medida cero, y encontrar un subconjunto del cual no es medible por Borel. (Dado que la medida de Lebesgue está completa, esto es, por supuesto, Lebesgue mensurable).
Primero, debemos saber que todo conjunto de medidas positivas contiene un subconjunto no mensurable. Sea la función de Cantor , una función continua que es localmente constante y aumenta monótonamente con y Obviamente, es contable, ya que contiene un punto por componente de Por lo tanto, tiene medida cero, también tiene medida uno. Necesitamos una función estrictamente monótona , así que considere que, dado que es estrictamente monótona y continua, es un homeomorfismo . Además, tiene medida uno. Sea no medible y sea inyectivo , lo tenemos y por lo tanto es un conjunto nulo. Sin embargo, si Borel fuera medible, entonces también sería medible Borel (aquí usamos el hecho de que la preimagen de un Borel establecida por una función continua es medible; es la preimagen de a través de la función continua ) Por lo tanto, es nula, pero conjunto medible no Borel.
El término se refiere a la invariancia nula de las medidas de traslación, asociándola con la invariancia completa encontrada con la medida de Haar .
Algunas propiedades algebraicas de los grupos topológicos se han relacionado con el tamaño de los subconjuntos y los conjuntos nulos de Haar. [4]
Los conjuntos nulos de Haar se han utilizado en grupos polacos para mostrar que cuando A no es un conjunto exiguo, entonces contiene una vecindad abierta del elemento de identidad . [5] Esta propiedad lleva el nombre de Hugo Steinhaus ya que es la conclusión del teorema de Steinhaus .
Ver también
Función Cantor : función continua que no es absolutamente continua
Conjunto vacío : conjunto matemático que no contiene elementos.
Nada – Ausencia total de cualquier cosa; lo contrario de todo
Referencias
^ Francos, John (2009). Una introducción (concisa) a la integración de Lebesgue . La biblioteca de matemáticas para estudiantes. vol. 48. Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 28. doi :10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.
^ van Douwen, Eric K. (1989). "Teorema de Fubini para conjuntos nulos". Mensual Matemático Estadounidense . 96 (8): 718–21. doi :10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR 2324722. SEÑOR 1019152.
^ Solecki, S. (2005). "Tamaños de subconjuntos de grupos y conjuntos nulos de Haar". Análisis Geométrico y Funcional . 15 : 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074 . doi :10.1007/s00039-005-0505-z. SEÑOR 2140632. S2CID 11511821.