conjunto meyer

En matemáticas, un conjunto de Meyer o casi una red es un conjunto X relativamente denso de puntos en el plano euclidiano o un espacio euclidiano de dimensiones superiores tal que su diferencia de Minkowski consigo mismo es uniformemente discreta . Los conjuntos de Meyer tienen varias caracterizaciones equivalentes; Llevan el nombre de Yves Meyer , quien los introdujo y estudió en el contexto de la aproximación diofántica. Hoy en día, los conjuntos de Meyer son más conocidos como modelo matemático para cuasicristales . Sin embargo, el trabajo de Meyer precede al descubrimiento de los cuasicristales en más de una década y estuvo enteramente motivado por cuestiones de teoría de números. ^{[1] [2]}

Definición y caracterizaciones

Un subconjunto X de un espacio métrico es relativamente denso si existe un número r tal que todos los puntos de X están a una distancia r de X , y es uniformemente discreto si existe un número ε tal que no hay dos puntos de X que estén a una distancia r de X. ε el uno del otro. Un conjunto que es a la vez relativamente denso y uniformemente discreto se llama conjunto Delone . Cuando X es un subconjunto de un espacio vectorial , su diferencia de Minkowski X  −  X es el conjunto { x  −  y  |  x ,  y  en  X } de diferencias de pares de elementos de X . ^[3]

Con estas definiciones, un conjunto de Meyer puede definirse como un conjunto X relativamente denso para el cual X  −  X es uniformemente discreto. De manera equivalente, es un conjunto Delone para el cual X  −  X es Delone, ^[1] o un conjunto Delone X para el cual existe un conjunto finito F con X  −  X  ⊂  X  +  F ^[4]

Algunas caracterizaciones equivalentes adicionales involucran el conjunto

${\displaystyle X^{\epsilon }=\{y\mid |x\cdot y-1|\leq \varepsilon {\text{ for all }}x\in X\}}$

definido para X y ε dados , y aproximando (cuando ε se acerca a cero) la definición de la red recíproca de una red . Un conjunto relativamente denso X es un conjunto de Meyer si y sólo si

• Para todo ε  > 0, X ^ε es relativamente denso, o equivalentemente
• Existe un ε con 0 <  ε  < 1/2 para el cual X ^ε es relativamente denso. ^[1]

Un carácter de un subconjunto aditivamente cerrado de un espacio vectorial es una función que asigna el conjunto al círculo unitario en el plano de números complejos , de modo que la suma de dos elementos cualesquiera se asigna al producto de sus imágenes. Un conjunto X es un conjunto armonioso si, para cada carácter χ en la clausura aditiva de X y cada ε  > 0, existe un carácter continuo en todo el espacio que ε -se aproxima a χ . Entonces un conjunto X relativamente denso es un conjunto de Meyer si y sólo si es armonioso. ^[1]

Ejemplos

Los juegos Meyer incluyen

• Los puntos de cualquier red.
• Los vértices de cualquier mosaico rómbico de Penrose ^[5]
• La suma de Minkowski de otro conjunto de Meyer con cualquier conjunto finito no vacío ^[4]
• Cualquier subconjunto relativamente denso de otro conjunto de Meyer ^[6]

Referencias

1. Moody, Robert V. (1997), "Conjuntos de Meyer y sus duales", Las matemáticas del orden aperiódico de largo alcance (Waterloo, ON, 1995), Serie C de Institutos de Ciencias Avanzadas de la OTAN: Ciencias físicas y matemáticas, vol. 489, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. 403–441, SEÑOR  1460032.
2. Lagarias, JC (1996), "Concepto de Meyer de conjuntos cuasicristalinos y cuasiregulares", Communications in Mathematical Physics , 179 (2): 365–376, doi :10.1007/bf02102593, MR  1400744.
3. Moody da diferentes definiciones de densidad relativa y discreción uniforme, especializadas en grupos localmente compactos, pero señala que estas definiciones coinciden con las habituales para espacios vectoriales reales.
4. Moody (1997), Sección 7.
5. Moody (1997), Sección 3.2.
6. Moody (1997), Corolario 6.7.