Conjugación de isometrías en el espacio euclidiano

En un grupo , el conjugado por g de h es ghg ⁻¹ .

Traducción

Si h es una traducción, entonces su conjugación por una isometría puede describirse como la aplicación de la isometría a la traducción:

• La conjugación de una traducción por una traducción es la primera traducción.
• La conjugación de una traslación por una rotación es una traslación por un vector de traslación rotado.
• La conjugación de una traducción por una reflexión es una traducción por un vector de traducción reflejado.

Por lo tanto, la clase de conjugación dentro del grupo euclidiano E ( n ) de una traslación es el conjunto de todas las traslaciones de la misma distancia.

El subgrupo más pequeño del grupo euclidiano que contiene todas las traslaciones a una distancia dada es el conjunto de todas las traslaciones. Por lo tanto, este es el cierre conjugado de un singleton que contiene una traslación.

Por lo tanto, E ( n ) es un producto directo del grupo ortogonal O ( n ) y el subgrupo de traslaciones T , y O ( n ) es isomorfo con el grupo cociente de E ( n ) por T :

O ( n ) E ( n ) /T ${\displaystyle \cong }$

Así, hay una partición del grupo euclidiano con en cada subconjunto una isometría que mantiene fijos los orígenes y su combinación con todas las traslaciones.

Cada isometría está dada por una matriz ortogonal A en O ( n ) y un vector b :

${\displaystyle x\mapsto Ax+b}$

y cada subconjunto del grupo cociente está dado únicamente por la matriz A.

De manera similar, para el grupo ortogonal especial SO ( n ) tenemos

SO ( n ) E ⁺ ( n ) / T ${\displaystyle \cong }$

Inversión

El conjugado de la inversión en un punto por una traslación es la inversión en el punto trasladado, etc.

Así, la clase de conjugación dentro del grupo euclidiano E ( n ) de inversión en un punto es el conjunto de inversiones en todos los puntos.

Como una combinación de dos inversiones es una traslación, la clausura conjugada de un singleton que contiene una inversión en un punto es el conjunto de todas las traslaciones y las inversiones en todos los puntos. Este es el grupo diedro generalizado dih ( R ⁿ ).

De manera similar, { I , − I } es un subgrupo normal de O ( n ), y tenemos:

mi ( norte ) / dih ( R ^norte ) O ( norte ) / { yo , − yo } ${\displaystyle \cong }$

Para n impar también tenemos:

O ( n ) SO ( n ) × { I , − I } ${\displaystyle \cong }$

y por lo tanto no sólo

O ( n ) / SO ( n ) { Yo , − Yo } ${\displaystyle \cong }$

pero también:

O ( n ) / { I , − I } SO ( n ) ${\displaystyle \cong }$

Para n par tenemos:

mi ⁺ ( norte ) / dih ( R ^norte ) SO ( norte ) / { I , − I } ${\displaystyle \cong }$

Rotación

En 3D, la conjugación de una traslación de una rotación sobre un eje es la rotación correspondiente sobre el eje trasladado. Dicha conjugación produce el desplazamiento helicoidal conocido por expresar un movimiento euclidiano arbitrario según el teorema de Chasles .

La clase de conjugación dentro del grupo euclidiano E (3) de una rotación alrededor de un eje es una rotación del mismo ángulo alrededor de cualquier eje.

El cierre conjugado de un singleton que contiene una rotación en 3D es E ⁺ (3).

En 2D es diferente en el caso de una rotación de k pliegues: el cierre conjugado contiene k rotaciones (incluida la identidad) combinadas con todas las traducciones.

E (2) tiene grupo cociente O (2) / C _k y E ⁺ (2) tiene grupo cociente SO (2) / C _k . Para k = 2 esto ya fue tratado anteriormente.

Reflexión

Los conjugados de una reflexión son reflexiones con un plano de espejo trasladado, rotado y reflejado. La clausura conjugada de un singleton que contiene una reflexión es el E ( n ) entero.

Rotorreflexión

La clase lateral izquierda y también la clase lateral derecha de una reflexión en un plano combinada con una rotación en un ángulo dado sobre un eje perpendicular es el conjunto de todas las combinaciones de una reflexión en el mismo plano o en un plano paralelo, combinada con una rotación en el mismo ángulo sobre el mismo eje o en un eje paralelo, conservando la orientación.

Grupos de isometría

Se dice que dos grupos de isometría son iguales hasta la conjugación con respecto a las transformaciones afines si hay una transformación afín tal que todos los elementos de un grupo se obtienen tomando los conjugados por esa transformación afín de todos los elementos del otro grupo. Esto se aplica, por ejemplo, a los grupos de simetría de dos patrones que son ambos de un tipo particular de grupo de papel tapiz . Si solo consideráramos la conjugación con respecto a las isometrías, no permitiríamos el escalado y, en el caso de una red paralelogrammática , el cambio de forma del paralelogramo . Sin embargo, tenga en cuenta que el conjugado con respecto a una transformación afín de una isometría en general no es una isometría, aunque se conservan el volumen (en 2D: área) y la orientación .

Grupos cíclicos

Los grupos cíclicos son abelianos, por lo que el conjugado por cada elemento de cada elemento es este último.

Zmn / _ZmZn ._​ ​_​ ${\displaystyle \cong }$

Z _mn es el producto directo de Z _m y Z _n si y solo si m y n son coprimos . Así, por ejemplo, Z ₁₂ es el producto directo de Z ₃ y Z ₄ , pero no de Z ₆ y Z ₂ .

Grupos diedros

Consideremos el grupo de puntos de isometría 2D D _n . Los conjugados de una rotación son los mismos y la rotación inversa. Los conjugados de una reflexión son las reflexiones rotadas por cualquier múltiplo de la unidad de rotación completa. Para n impar, todas son reflexiones, y para n par, la mitad de ellas.

Este grupo, y más generalmente, el grupo abstracto Dih _n , tiene el subgrupo normal Z _m para todos los divisores m de n , incluido el propio n .

Además, Dih _{2 n} tiene dos subgrupos normales isomorfos con Dih _n . Ambos contienen los mismos elementos de grupo que forman el grupo Z _n , pero cada uno tiene además una de las dos clases de conjugación de Dih _{2 n} \ Z _{2 n} .

De hecho:

Dih _mn / Z _n Dih _n ${\displaystyle \cong }$

Dih _{2 n} / Dih _n Z ₂ ${\displaystyle \cong }$

Dih _{4 n + 2} Dih _{2 n + 1} × Z ₂ ${\displaystyle \cong }$

Referencias