Espacio universal

En matemáticas , un espacio universal es un espacio métrico determinado que contiene todos los espacios métricos cuya dimensión está limitada por alguna constante fija. Existe una definición similar en dinámica topológica .

Definición

Dada una clase de espacios topológicos, es universal para si cada miembro de se inserta en . Menger enunció y demostró el caso del siguiente teorema. El teorema en su generalidad completa fue demostrado por Nöbeling. ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} \in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle \textstyle d=1}$

Teorema: ^[1] El cubo -dimensional es universal para la clase de espacios métricos compactos cuya dimensión de recubrimiento de Lebesgue es menor que . ${\displaystyle \textstyle (2d+1)}$ ${\displaystyle \textstyle [0,1]^{2d+1}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$

Nöbeling fue más allá y demostró:

Teorema: El subespacio constituido por un conjunto de puntos cuyas coordenadas, como máximo, son racionales es universal para la clase de espacios métricos separables cuya dimensión de recubrimiento de Lebesgue es menor que . ${\displaystyle \textstyle [0,1]^{2d+1}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle d}$

El último teorema fue generalizado por Lipscomb a la clase de espacios métricos de peso , : Existe un espacio métrico unidimensional tal que el subespacio de que consiste en un conjunto de puntos, como máximo cuyas coordenadas son "racionales" (adecuadamente definidas), es universal para la clase de espacios métricos cuya dimensión de recubrimiento de Lebesgue es menor que y cuyo peso es menor que . ^[2] ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \alpha >\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \textstyle J_{\alpha }}$ ${\displaystyle \textstyle J_{\alpha }^{2d+1}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$

Espacios universales en dinámica topológica

Consideremos la categoría de sistemas dinámicos topológicos que consiste en un espacio métrico compacto y un homeomorfismo . El sistema dinámico topológico se llama minimal si no tiene subconjuntos cerrados invariantes no vacíos propios. Se llama infinito si . Un sistema dinámico topológico se llama factor de si existe una aplicación sobreyectiva continua que es equivariante , es decir, para todo . ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ ${\displaystyle \textstyle T}$ ${\displaystyle \textstyle |X|=\infty }$ ${\displaystyle \textstyle (Y,S)}$ ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ ${\displaystyle \textstyle \varphi :X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \textstyle \varphi (Tx)=S\varphi (x)}$ ${\displaystyle \textstyle x\in X}$

De manera similar a la definición anterior, dada una clase de sistemas dinámicos topológicos, es universal si cada miembro de se integra en mediante una función continua equivariante. Lindenstrauss demostró el siguiente teorema: ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} \in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} }$

Teorema ^[3] : Sea . El sistema dinámico topológico métrico compacto donde y es el homeomorfismo de desplazamiento ${\displaystyle \textstyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ ${\displaystyle \textstyle X=([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \textstyle (\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots )}$

es universal para la clase de sistemas dinámicos topológicos métricos compactos cuya dimensión media es estrictamente menor que y que poseen un factor mínimo infinito. ${\displaystyle \textstyle {\frac {d}{36}}}$

En el mismo artículo, Lindenstrauss preguntó cuál es la constante más grande tal que un sistema dinámico topológico métrico compacto cuya dimensión media es estrictamente menor que y que posee un factor mínimo infinito se incrusta en . Los resultados anteriores implican . La pregunta fue respondida por Lindenstrauss y Tsukamoto ^[4] quienes demostraron que y Gutman y Tsukamoto ^[5] quienes demostraron que . Por lo tanto, la respuesta es . ${\displaystyle \textstyle c}$ ${\displaystyle \textstyle cd}$ ${\displaystyle \textstyle ([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \textstyle c\geq {\frac {1}{36}}}$ ${\displaystyle \textstyle c\leq {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle c\geq {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle c={\frac {1}{2}}}$

Véase también

• Propiedad universal
• Espacio universal de Urysohn
• Dimensión media

Referencias

1. Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (2015) [1941]. "Teoremas de recubrimiento e incrustación V §3 Incrustaciones de un espacio compacto n-dimensional en I2n+1: Teorema V.2". Teoría de la dimensión . Princeton Mathematical Series. Vol. 4. Princeton University Press. págs. 56–. ISBN 978-1400875665.
2. Lipscomb, Stephen Leon (2009). "La búsqueda de espacios universales en la teoría de la dimensión" (PDF) . Avisos Amer. Math. Soc . 56 (11): 1418–24.
3. Lindenstrauss, Elon (1999). "Dimensión media, factores de entropía pequeños y un teorema de incrustación. Teorema 5.1". Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math . 89 (1): 227–262. doi :10.1007/BF02698858. S2CID  2413058.
4. Lindenstrauss, Elon; Tsukamoto, Masaki (marzo de 2014). "Dimensión media y un problema de incrustación: un ejemplo". Revista israelí de matemáticas . 199 (2): 573–584. doi : 10.1007/s11856-013-0040-9 . ISSN  0021-2172. S2CID  2099527.
5. Gutman, Yonatan; Tsukamoto, Masaki (1 de julio de 2020). "Incorporación de sistemas dinámicos mínimos en cubos de Hilbert". Inventiones Mathematicae . 221 (1): 113–166. arXiv : 1511.01802 . Código Bibliográfico :2020InMat.221..113G. doi :10.1007/s00222-019-00942-w. ISSN  1432-1297. S2CID  119139371.