Conjetura débil de Goldbach

Conjetura resuelta sobre los números primos

En teoría de números , la conjetura débil de Goldbach , también conocida como conjetura de Goldbach impar , problema ternario de Goldbach o problema de los 3 primos , establece que

Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres primos . (Un primo puede usarse más de una vez en la misma suma).

Esta conjetura se llama "débil" porque si se demuestra la conjetura fuerte de Goldbach (relativa a las sumas de dos primos), entonces también sería cierta, pues si todo número par mayor que 4 es la suma de dos primos impares, al sumar 3 a cada número par mayor que 4 se obtendrán los números impares mayores que 7 (y el propio 7 es igual a 2+2+3).

En 2013, Harald Helfgott publicó una prueba de la conjetura débil de Goldbach. ^[2] La prueba fue aceptada para su publicación en la serie Annals of Mathematics Studies ^[3] en 2015, y ha estado siendo revisada y modificada desde entonces; en el proceso se están haciendo públicos capítulos completamente arbitrados y casi en su forma final. ^[4]

Algunos plantean la conjetura como

Todo número impar mayor que 7 puede expresarse como la suma de tres primos impares. ^[5]

Esta versión excluye 7 = 2+2+3 porque requiere el primo par 2. En el caso de números impares mayores que 7, es ligeramente más estricta, ya que también excluye sumas como 17 = 2+2+13, que se permiten en la otra formulación. La prueba de Helfgott cubre ambas versiones de la conjetura. Al igual que la otra formulación, esta también se desprende inmediatamente de la conjetura fuerte de Goldbach.

Orígenes

La conjetura se originó en la correspondencia entre Christian Goldbach y Leonhard Euler . Una formulación de la conjetura fuerte de Goldbach, equivalente a la más común en términos de sumas de dos primos, es

Todo número entero mayor que 5 puede escribirse como la suma de tres números primos.

La conjetura débil es simplemente esta afirmación restringida al caso en que el número entero es impar (y posiblemente con el requisito adicional de que los tres primos en la suma sean impares).

Cronología de resultados

En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que, asumiendo la hipótesis generalizada de Riemann , la conjetura débil de Goldbach es verdadera para todos los números impares suficientemente grandes . En 1937, Ivan Matveevich Vinogradov eliminó la dependencia de la hipótesis generalizada de Riemann y demostró directamente (ver el teorema de Vinogradov ) que todos los números impares suficientemente grandes pueden expresarse como la suma de tres primos. La prueba original de Vinogradov, ya que utilizó el ineficaz teorema de Siegel-Walfisz , no dio un límite para "suficientemente grande"; su estudiante K. Borozdkin (1956) dedujo que es suficientemente grande. ^[6] La parte entera de este número tiene 4.008.660 dígitos decimales, por lo que verificar cada número por debajo de esta cifra sería completamente inviable. ${\displaystyle e^{e^{16.038}}\approx 3^{3^{15}}}$

En 1997, Deshouillers , Effinger, te Riele y Zinoviev publicaron un resultado que mostraba ^[7] que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach para todos los números. Este resultado combina una afirmación general válida para números mayores que 10 ²⁰ con una extensa búsqueda por computadora de los casos pequeños. Saouter también realizó una búsqueda por computadora que cubría los mismos casos aproximadamente al mismo tiempo. ^[8]

Olivier Ramaré demostró en 1995 que todo número par n ≥ 4 es de hecho la suma de, como máximo, seis primos, de lo que se sigue que todo número impar n ≥ 5 es la suma de, como máximo, siete primos. Leszek Kaniecki demostró que todo entero impar es una suma de, como máximo, cinco primos, según la hipótesis de Riemann . ^[9] En 2012, Terence Tao demostró esto sin la hipótesis de Riemann; esto mejora ambos resultados. ^[10]

En 2002, Liu Ming-Chit ( Universidad de Hong Kong ) y Wang Tian-Ze redujeron el umbral de Borozdkin a aproximadamente . El exponente sigue siendo demasiado grande para admitir la comprobación de todos los números más pequeños por computadora. (Las búsquedas por computadora sólo han llegado hasta 10 ¹⁸ para la conjetura fuerte de Goldbach, y no mucho más allá de eso para la conjetura débil de Goldbach). ${\displaystyle n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}}$

En 2012 y 2013, el matemático peruano Harald Helfgott publicó un par de artículos que mejoraban las estimaciones de los arcos mayores y menores lo suficiente como para probar incondicionalmente la conjetura débil de Goldbach. ^{[11] [12] [2] [13] [14]} Aquí, los arcos mayores son la unión de intervalos alrededor de los racionales donde es una constante. Los arcos menores se definen como . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle \left(a/q-cr_{0}/qx,a/q+cr_{0}/qx\right)}$ ${\displaystyle a/q,q<r_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\setminus {\mathfrak {M}}}$

Referencias

1. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Banda 1), San Petersburgo 1843, págs.
2. Helfgott, Harald A. (2013). "La conjetura ternaria de Goldbach es verdadera". arXiv : 1312.7748 [math.NT].
3. "Anales de estudios matemáticos". Princeton University Press . 14 de diciembre de 1996. Consultado el 5 de febrero de 2023 .
4. "Harald Andrés Helfgott". webusers.imj-prg.fr . Consultado el 6 de abril de 2021 .
5. Weisstein, Eric W. "Conjetura de Goldbach". MathWorld .
6. Helfgott, Harald Andrés (2015). "El problema ternario de Goldbach". arXiv : 1501.05438 [matemáticas.NT].
7. Deshouillers, Jean-Marc; Effinger, Gove W.; Te Riele, Herman JJ; Zinoviev, Dmitrii (1997). "Un teorema completo de Vinogradov de 3 primos bajo la hipótesis de Riemann" (PDF) . Anuncios electrónicos de investigación de la American Mathematical Society . 3 (15): 99–104. doi : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0 . MR  1469323.
8. Yannick Saouter (1998). "Comprobación de la conjetura de Goldbach impar hasta 1020" (PDF) . Math. Comp. 67 (222): 863–866. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00928-4 . MR  1451327.
9. Kaniecki, Leszek (1995). "Sobre la constante de Šnirelman bajo la hipótesis de Riemann" (PDF) . Acta Arithmetica . 72 (4): 361–374. doi : 10.4064/aa-72-4-361-374 . MR  1348203.
10. Tao, Terence (2014). "Todo número impar mayor que 1 es la suma de cinco primos como máximo". Matemáticas. Comp. 83 (286): 997–1038. arXiv : 1201.6656 . doi :10.1090/S0025-5718-2013-02733-0. MR  3143702. S2CID  2618958.
11. Helfgott, Harald A. (2012). "Arcos menores para el problema de Goldbach". arXiv : 1205.5252 [math.NT].
12. Helfgott, Harald A. (2013). "Arcos mayores para el teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [math.NT].
13. Helfgott, Harald Andres (2014). "El problema ternario de Goldbach" (PDF) . En Jang, Sun Young (ed.). Actas del Congreso Internacional de Matemáticos de Seúl . Vol. 2. Seúl, Corea del Sur: Kyung Moon SA. págs. 391–418. ISBN. 978-89-6105-805-6.OCLC 913564239  .{{cite book}}: Mantenimiento CS1: fecha y año ( enlace )
14. Helfgott, Harald A. (2015). "El problema ternario de Goldbach". arXiv : 1501.05438 [math.NT].