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Conjeturas locales de Langlands

En matemáticas , las conjeturas locales de Langlands , introducidas por Robert Langlands  (1967, 1970), forman parte del programa Langlands . Describen una correspondencia entre las representaciones complejas de un grupo algebraico reductivo G sobre un campo local F y las representaciones del grupo Langlands de F en el grupo L de G. Esta correspondencia no es una biyección en general. Las conjeturas pueden considerarse como una generalización de la teoría de campos de clases locales desde grupos abelianos de Galois a grupos no abelianos de Galois.

Conjeturas locales de Langlands para GL 1

Las conjeturas locales de Langlands para GL 1 ( K ) se derivan de (y son esencialmente equivalentes a) la teoría de campos de clases locales . Más precisamente, el mapa de Artin da un isomorfismo del grupo GL 1 ( K ) = K * a la abelianización del grupo Weil . En particular, las representaciones suaves irreducibles de GL 1 ( K ) son unidimensionales ya que el grupo es abeliano, por lo que pueden identificarse con homomorfismos del grupo Weil a GL 1 ( C ). Esto da la correspondencia de Langlands entre homomorfismos del grupo Weil con GL 1 ( C ) y representaciones suaves irreducibles de GL 1 ( K ).

Representaciones del grupo Weil

Las representaciones del grupo Weil no se corresponden del todo con representaciones suaves irreducibles de grupos lineales generales. Para obtener una biyección, hay que modificar ligeramente la noción de representación del grupo Weil, a algo llamado representación Weil-Deligne. Consiste en una representación del grupo Weil en un espacio vectorial V junto con un endomorfismo nilpotente N de V tal que wNw −1 =|| w || N , o equivalentemente una representación del grupo Weil-Deligne . Además, la representación del grupo Weil debería tener un núcleo abierto y debería ser (Frobenius) semisimple.

Para cada representación Weil-Deligne n -dimensional compleja semisimple de Frobenius ρ del grupo Weil de F hay una función L L ( s ,ρ) y un factor ε local ε( s ,ρ,ψ) (dependiendo de un carácter ψ de F ).

Representaciones de GL n ( F )

Las representaciones de GL n ( F ) que aparecen en la correspondencia local de Langlands son representaciones complejas suaves e irreducibles.

Las representaciones complejas, suaves e irreductibles son automáticamente admisibles.

La clasificación de Bernstein-Zelevinsky reduce la clasificación de representaciones suaves irreductibles a representaciones cúspides.

Para cada representación compleja irreducible admisible π hay una función L L ( s ,π) y un factor ε local ε( s ,π,ψ) (dependiendo de un carácter ψ de F ). De manera más general, si hay dos representaciones admisibles irreducibles π y π' de grupos lineales generales, hay funciones L de convolución de Rankin-Selberg locales L ( s ,π×π') y ε-factores ε( s ,π×π', ψ).

Bushnell y Kutzko (1993) describieron las representaciones irreducibles admisibles de grupos lineales generales sobre campos locales.

Conjeturas locales de Langlands para GL 2

La conjetura local de Langlands para GL 2 de un campo local dice que existe una biyección (única) π desde representaciones Weil-Deligne semisimples bidimensionales del grupo Weil hasta representaciones suaves irreducibles de GL 2 ( F ) que preserva L -funciones, ε-factores, y conmuta con torsión por caracteres de F * .

Jacquet y Langlands (1970) verificaron las conjeturas locales de Langlands para GL 2 en el caso de que el campo de residuos no tenga la característica 2. En este caso, las representaciones del grupo Weil son todas de tipo cíclico o diédrico. Gelfand y Graev (1962) clasificaron las representaciones suaves irreducibles de GL 2 ( F ) cuando F tiene una característica de residuo impar (ver también (Gelfand, Graev y Pyatetskii-Shapiro 1969, capítulo 2)), y afirmaron incorrectamente que la clasificación para residuos pares característica difiere sólo insignificantemente del caso de característica de residuo impar. Weil (1974) señaló que cuando el campo residuo tiene la característica 2, hay algunas representaciones bidimensionales extra excepcionales del grupo Weil cuya imagen en PGL 2 ( C ) es de tipo tetraédrico u octaédrico. (Para las conjeturas globales de Langlands, las representaciones bidimensionales también pueden ser de tipo icosaédrico, pero esto no puede suceder en el caso local ya que los grupos de Galois tienen solución). Tunnell (1978) demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL 2 ( K ) sobre los números 2-ádicos y sobre campos locales que contienen una raíz cúbica de la unidad. Kutzko (1980, 1980b) demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL 2 ( K ) en todos los campos locales.

Cartier (1981) y Bushnell & Henniart (2006) expusieron la prueba.

Conjeturas locales de Langlands para GL n

Las conjeturas locales de Langlands para grupos lineales generales establecen que existen biyecciones únicas π ↔ ρ π desde clases de equivalencia de representaciones admisibles irreducibles π de GL n ( F ) hasta clases de equivalencia de representaciones Weil-Deligne complejas semisimples continuas de Frobenius n -dimensionales ρ π de el grupo Weil de F , que conserva L -funciones y ε-factores de pares de representaciones, y coincide con el mapa de Artin para representaciones unidimensionales. En otras palabras,

Laumon, Rapoport y Stuhler (1993) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL n ( K ) para campos locales característicos positivos K . Carayol (1992) hizo una exposición de su trabajo.

Harris y Taylor (2001) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL n ( K ) para los campos locales característicos 0 K . Henniart (2000) dio otra prueba. Carayol (2000) y Wedhorn (2008) expusieron su trabajo.

Conjeturas locales de Langlands para otros grupos

Borel (1979) y Vogan (1993) analizan las conjeturas de Langlands para grupos más generales. Las conjeturas de Langlands para grupos reductivos arbitrarios G son más complicadas de enunciar que las de grupos lineales generales, y no está claro cuál debería ser la mejor manera de enunciarlas. En términos generales, las representaciones admisibles de un grupo reductivo se agrupan en conjuntos finitos disjuntos llamados L -paquetes, que deberían corresponder a algunas clases de homomorfismos, llamados L -parámetros, desde el grupo de Langlands local hasta el grupo L de G. Algunas versiones anteriores utilizaron el grupo Weil-Deligne o el grupo Weil en lugar del grupo Langlands local, lo que da una forma ligeramente más débil de la conjetura.

Langlands (1989) demostró las conjeturas de Langlands para grupos sobre los campos locales de Arquímedes R y C dando la clasificación de Langlands de sus representaciones admisibles irreducibles (hasta equivalencia infinitesimal) o, de manera equivalente, de sus módulos irreducibles .

Gan y Takeda (2011) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo de similitud simpléctica GSp(4) y las utilizaron en Gan y Takeda (2010) para deducirlas para el grupo simpléctico Sp(4).

Referencias

enlaces externos