Conjetura de Egan

Conjetura en geometría

En geometría , la conjetura de Egan da una condición suficiente y necesaria para los radios de dos esferas y la distancia de sus centros, de modo que exista un símplex , que está completamente contenido dentro de la esfera mayor y encierra completamente a la esfera menor. La conjetura generaliza una igualdad descubierta por William Chapple (y luego de forma independiente por Leonhard Euler ), que es un caso especial del teorema de clausura de Poncelet , así como la desigualdad de Grace-Danielsson en una dimensión superior.

La conjetura fue propuesta en 2014 por el matemático australiano y autor de ciencia ficción Greg Egan . La parte "suficiente" se demostró en 2018 y la parte "necesaria" en 2023.

Lo esencial

Para un triángulo arbitrario ( -símplex), el radio de su círculo inscrito , el radio de su círculo circunscrito y la distancia de sus centros están relacionados a través del teorema de Euler en geometría : ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$,

que fue publicado por William Chapple en 1746 ^[1] y por Leonhard Euler en 1765. ^[2]

Para dos esferas ( -esferas) con radios respectivos y , que cumplen , existe un tetraedro ( -símplex) (no regular), que está completamente contenido dentro de la esfera mayor y encierra completamente a la esfera menor, si y solo si la distancia de sus centros cumple la desigualdad de Grace-Danielsson: ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r<R}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d^{2}\leq (R+r)(R-3r)}$.

Este resultado fue demostrado independientemente por John Hilton Grace en 1917 y G. Danielsson en 1949. ^{[3] [4]} Anthony Milne describió una conexión de la desigualdad con la teoría de la información cuántica . ^[5]

Conjetura

Consideremos un espacio euclidiano de dimensión 1 para . Para dos esferas con radios respectivos y , que cumplen , existe un símplex , que está completamente contenido dentro de la esfera más grande y encierra completamente a la esfera más pequeña, si y solo si la distancia de sus centros cumple: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r<R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d^{2}\leq (R+(n-2)r)(R-nr)}$.

La conjetura fue propuesta por Greg Egan en 2014. ^[6]

Para el caso , donde la desigualdad se reduce a , la conjetura también es verdadera, pero trivial. Una -esfera está compuesta simplemente de dos puntos y un -símplex es simplemente un intervalo cerrado . El -símplex deseado de dos -esferas dadas puede simplemente elegirse como el intervalo cerrado entre los dos puntos de la esfera más grande, que contiene a la esfera más pequeña si y solo si contiene ambos puntos con la distancia respectiva y desde el centro de la esfera más grande, es decir, si y solo si se satisface la desigualdad anterior. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle d\leq R-r}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |d-r|}$ ${\displaystyle d+r}$

Estado

Greg Egan demostró que la condición es suficiente en una publicación de blog de John Baez en 2014. Se perdieron debido a una reorganización del sitio web, pero las partes centrales se copiaron en la publicación del blog original. Otros comentarios de Greg Egan el 16 de abril de 2018 se refieren a la búsqueda de una conjetura generalizada que involucre a los elipsoides . ^[6] Sergei Drozdov publicó un artículo en ArXiv que muestra que la condición también es necesaria en octubre de 2023. ^[7]

Referencias

1. Chapple, William, Miscellanea Curiosa Mathematica (ed.), Un ensayo sobre las propiedades de los triángulos inscritos y circunscritos alrededor de dos círculos dados (1746) , vol. 4, págs. 117-124, fórmula en la parte inferior de la página 123
2. Leversha, Gerry; Smith, GC (noviembre de 2007), The Mathematical Gazette (ed.), Euler y la geometría del triángulo , vol. 91, págs. 436–452{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Grace, JH (1918), Proc. London Math. (ed.), Tetrahedra in relationship to spheres and quadrics (Tetraedros en relación con esferas y cuadráticos ) , vol. Soc.17, págs. 259–271
4. Danielsson, G. (1952), Johan Grundt Tanums Forlag (ed.), Prueba de la desigualdad d2≤(R+r)(R−3r) para la distancia entre los centros de las esferas circunscrita e inscrita de un tetraedro , pp. 101–105
5. Anthony Milne (2 de abril de 2014). «Las desigualdades de Euler y Grace-Danielsson para triángulos y tetraedros anidados: una derivación y generalización utilizando la teoría de la información cuántica» . Consultado el 22 de noviembre de 2023 .
6. John Báez (1 de julio de 2014). "Desigualdad de Grace-Danielsson" . Consultado el 22 de noviembre de 2023 .
7. Drozdov, Sergei (16 de octubre de 2023). "La conjetura de Egan se cumple". arXiv : 2310.10816 [math.MG].