Lista de conjeturas de Paul Erdős

El prolífico matemático Paul Erdős y sus diversos colaboradores formularon muchas conjeturas matemáticas famosas sobre un amplio campo de temas y, en muchos casos, Erdős ofreció recompensas monetarias por resolverlas.

No resuelto

La conjetura de Erdős-Gyárfás sobre ciclos con longitudes iguales a una potencia de dos en gráficas con grado mínimo 3.
La conjetura de Erdős-Hajnal de que en una familia de gráficos definida por un subgrafo inducido excluido, cada gráfico tiene una camarilla grande o un conjunto independiente grande. ^[1]
La conjetura de Erdős-Mollin-Walsh sobre ternas consecutivas de números poderosos.
La conjetura de Erdős-Selfridge de que un sistema de cobertura con módulos distintos contiene al menos un módulo par.
La conjetura de Erdős-Straus sobre la ecuación diofántica 4/ n = 1/ x + 1/ y + 1/ z .
La conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas en secuencias con sumas divergentes de recíprocos.
La conjetura de Erdős-Szekeres sobre el número de puntos necesarios para garantizar que un conjunto de puntos contenga un polígono convexo grande.
La conjetura de Erdős-Turán sobre bases aditivas de números naturales.
"Una conjetura sobre secuencias enteras de rápido crecimiento con series recíprocas racionales" .
Una conjetura con Norman Oler ^[2] sobre el empaquetado de círculos en un triángulo equilátero con un número de círculos uno menor que un número triangular .
El problema de superposición mínima para estimar el límite de M ( n ).
Una conjetura de que la expansión ternaria de contiene al menos un dígito 2 por cada . ^[3] $2^{n}$ $n>8$
La conjetura de que la ecuación de Erdős-Moser , $1 k + 2 k + \dots + (m - 1) k = m k$ , no tiene soluciones excepto $11 + 2 1 = 3 1$ .

Resuelto

La conjetura de Erdős-Faber-Lovász sobre la coloración de las uniones de camarillas, demostrada (para todas las n grandes) por Dong Yeap Kang, Tom Kelly, Daniela Kühn , Abhishek Methuku y Deryk Osthus . ^[4]
La conjetura de la suma de Erdős en conjuntos, probada por Joel Moreira, Florian Karl Richter y Donald Robertson en 2018. La prueba apareció en " Annals of Mathematics " en marzo de 2019. ^[5]
La conjetura de Burr-Erdős sobre los números de gráficos de Ramsey, probada por Choongbum Lee en 2015. ^[6]^[7]
Una conjetura sobre coloraciones equitativas probada en 1970 por András Hajnal y Endre Szemerédi y ahora conocida como teorema de Hajnal-Szemerédi . ^[8]
Una conjetura que habría reforzado el teorema de Furstenberg-Sárközy al afirmar que el número de elementos en un conjunto de enteros positivos sin diferencias cuadradas sólo podía exceder la raíz cuadrada de su valor más grande en un factor polilogarítmico, refutada por András Sárközy en 1978. [ ^9]
La conjetura de Erdős-Lovász sobre sistemas delta débiles/fuertes, demostrada por Michel Deza en 1974. ^[10]
La conjetura de Erdős-Heilbronn en teoría combinatoria de números sobre el número de sumas de dos conjuntos de residuos módulo a primo, probada por Dias da Silva y Hamidoune en 1994. ^[11]
La conjetura de Erdős-Graham en la teoría combinatoria de números sobre representaciones monocromáticas de la unidad en fracciones egipcias, probada por Ernie Croot en 2000. ^[12]
La conjetura de Erdős-Stewart sobre la ecuación diofántica n ! + 1 = p _k^a p _{k +1}^b , resuelto por Florian Luca en 2001. ^[13]
La conjetura de Cameron-Erdős sobre conjuntos de números enteros sin suma, demostrada por Ben Green y Alexander Sapozhenko en 2003-2004. ^[14]
La conjetura de Erdős-Menger sobre caminos disjuntos en gráficos infinitos, probada por Ron Aharoni y Eli Berger en 2009. ^[15]
El problema de las distintas distancias de Erdős . Larry Guth y Nets Katz demostraron el exponente correcto en 2010 , pero la potencia correcta de log n aún está indeterminada. ^[dieciséis]
La conjetura de Erdős-Rankin sobre brechas primas, probada por Ford , Green , Konyagin y Tao en 2014. ^[17]
El problema de discrepancia de Erdős en sumas parciales de secuencias ±1. Terence Tao anunció una solución en septiembre de 2015; fue publicado en 2016. ^[18]
La conjetura de Erdős sin cuadrados de que los coeficientes binomiales centrales C(2 n , n ) nunca están libres de cuadrados para n > 4 se demostró en 1996. ^[19]^[20]
La conjetura del conjunto primitivo de Erdős de que la suma de cualquier conjunto primitivo A (un conjunto donde ningún miembro del conjunto divide a otro miembro) alcanza su máximo en el conjunto de números primos, demostrado por Jared Duker Lichtman en 2022. ^[21]^[22]^[23] $\sum _{n\in A}{\frac {1}{n\log n}}$
El problema de Erdős-Sauer sobre el número máximo de aristas que puede tener un gráfico de n-vértices sin contener un subgrafo k- regular , resuelto por Oliver Janzer y Benny Sudakov ^[24]^[25]

Ver también

Lista de cosas que llevan el nombre de Paul Erdős

Referencias

^ Erdős, P .; Hajnal, A. (1989), "Teoremas de tipo Ramsey", Combinatoria y complejidad (Chicago, IL, 1987), Matemáticas aplicadas discretas , 25 (1–2): 37–52, doi : 10.1016/0166-218X(89 )90045-0 , SEÑOR 1031262.
^ Oler, Norman (1961), "Un problema de embalaje finito", Canadian Mathematical Bulletin , 4 (2): 153–155, doi : 10.4153/CMB-1961-018-7 , MR 0133065.
^ Lagarias, Jeffrey C. (2009), "Expansiones ternarias de potencias de 2", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , Segunda Serie, 79 (3): 562–588, arXiv : math/0512006 , doi :10.1112/jlms/ jdn080, SEÑOR 2506687, S2CID 15615918
^ Houston-Edwards, Kelsey (5 de abril de 2021), "Los matemáticos resuelven la conjetura de coloración de Erdős", Revista Quanta , consultado el 5 de abril de 2021
^ Moreira, J.; Richter, FK; Robertson, D. (2019), "Una prueba de una conjetura resumida de Erdős", Annals of Mathematics , 189 (2): 605–652, arXiv : 1803.00498 , doi : 10.4007/annals.2019.189.2.4, MR 3919363, S2CID 119158401, Zbl 1407.05236.
^ Kalai, Gil (22 de mayo de 2015), "Choogbum Lee demostró la conjetura de Burr-Erdős", Combinatoria y más , consultado el 22 de mayo de 2015
^ Lee, Choongbum (2017), "Números de Ramsey de gráficos degenerados", Annals of Mathematics , 185 (3): 791–829, arXiv : 1505.04773 , doi :10.4007/annals.2017.185.3.2, S2CID 7974973
^ Hajnal, A .; Szemerédi, E. (1970), "Prueba de una conjetura de P. Erdős", Teoría combinatoria y sus aplicaciones, II (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) , Holanda Septentrional, págs. 601–623, MR 0297607.
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^ Deza, M. (1974), "Solution d'un problème de Erdős-Lovász", Journal of Combinatorial Theory , Serie B (en francés), 16 (2): 166–167, doi : 10.1016/0095-8956( 74)90059-8 , SEÑOR 0337635.
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^ Croot, Ernest S. III (2000), Fracciones unitarias , Ph.D. tesis, Universidad de Georgia , Atenas. Croot, Ernest S. III (2003), "Sobre una conjetura colorante sobre fracciones unitarias", Annals of Mathematics , 157 (2): 545–556, arXiv : math.NT/0311421 , Bibcode : 2003math..... 11421C , doi :10.4007/annals.2003.157.545, S2CID 13514070.
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^ Sapozhenko, AA (2003), "La conjetura de Cameron-Erdős", Doklady Akademii Nauk , 393 (6): 749–752, SEÑOR 2088503. Green, Ben (2004), "La conjetura de Cameron-Erdős", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 36 (6): 769–778, arXiv : math.NT/0304058 , doi :10.1112/S0024609304003650, MR 2083752, S2CID 119615076.
^ Aharoni, Ron ; Berger, Eli (2009), "Teorema de Menger para gráficos infinitos", Inventiones Mathematicae , 176 (1): 1–62, arXiv : math/0509397 , Bibcode :2009InMat.176....1A, doi :10.1007/s00222- 008-0157-3, S2CID 15355399.
^ Guth, Larry ; Katz, Nets H. (2015), "Sobre el problema de las distintas distancias de Erdő en el plano", Annals of Mathematics , segunda serie, 181 (1): 155–190, arXiv : 1011.4105 , doi : 10.4007/annals.2015.181.1.2.
^ Vado, Kevin; Verde, Ben; Konyagin, Sergei; Tao, Terence (2016), "Grandes brechas entre números primos consecutivos", Annals of Mathematics , segunda serie, 183 (3): 935–974, arXiv : 1408.4505 , doi : 10.4007/annals.2016.183.3.4
^ Tao, Terence (2016). "El problema de la discrepancia de Erdős". Análisis discreto : 1–29. arXiv : 1509.05363 . doi :10.19086/da.609. ISSN 2397-3129. SEÑOR 3533300. S2CID 59361755.
^ Sárközy, A. (1985), "Sobre divisores de coeficientes binomiales. I", Journal of Number Theory , 20 (1): 70–80, doi : 10.1016/0022-314X(85)90017-4 , SEÑOR 0777971
^ Ramaré, Olivier; Granville, Andrew (1996), "Límites explícitos de sumas exponenciales y escasez de coeficientes binomiales libres de cuadrados", Mathematika , 43 (1): 73–107, doi :10.1112/S0025579300011608
^ Lichtman, Jared Duker (4 de febrero de 2022). "Una prueba de la conjetura del conjunto primitivo de Erdő". arXiv : 2202.02384 [matemáticas.NT].
^ Cepelewicz, Jordana (6 de junio de 2022). "El proyecto paralelo de un estudiante de posgrado demuestra la conjetura de los números primos". Revista Quanta . Consultado el 6 de junio de 2022 .
^ Harán, Brady. "Primos y conjuntos primitivos". Numéfilo . Consultado el 21 de junio de 2022 .
^ Janzer, Oliver; Sudakov, Benny (26 de abril de 2022). "Resolución del problema de Erdős-Sauer en subgrafos regulares". arXiv : 2204.12455 [matemáticas.CO].
^ "Nueva prueba muestra cuándo debe surgir la estructura en los gráficos". Revista Quanta . 2022-06-23 . Consultado el 26 de junio de 2022 .

enlaces externos

Fan Chung, "Problemas abiertos de Paul Erdős en teoría de grafos"
Fan Chung, versión viva de "Problemas abiertos de Paul Erdős en teoría de grafos"